Thông tin tài liệu
taTạ Hữu Nam-Trường THPT Chuyên Lương Văn Tuỵ Chuyên đề sử dụng dÃy số phụ để tìm giới hạn ( chuyên đề em không hiểu cô ơi,đây số tài liệu em thu nhặt trờn mng thụi!!!!!!!) Chng Lý thuyết d·y sè 1.Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: N* R n u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển u1, u2, u3,…, un, … Trong un = u(n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = {1,2,3,…, m} với m N* gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3,…,um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối - Dãy số (un) gọi là: Dãy đơn điệu tăng un+1 > un, với n = 1, 2, … Dãy đơn không giảm un+1 un, với moi n = 1, 2, … Dãy đơn điệu giảm un+1 < un, với n = 1, 2, … Dãy đơn điệu không tăng un+1 un, với n = 1, 2, … Dãy số (un) gọi - Dãy số bị chặn tồn số M cho un < M, với n = 1, 2, … - Dãy số bị chặn tồn số m cho un > m, với n = 1, 2, … - Dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Dãy số (un) gọi tuần hoàn với chu kì k un + k = un, với n DeThiMau.vn Dãy số (un) gọi dãy dừng tồn số N0 cho un = C với n N0, (C số, gọi số dừng) Cách cho dãy số - Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Ví dụ: n 1 1 un 5 n - Dãy số cho phương pháp truy hồi Ví dụ: Dãy số (un) xác định bởi: u1 1, u2 50 un 1 4un 5un 1 1975 n 2,3, - Dãy số cho phương pháp mơ tả: Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98 Với số nguyên n 1, xác định an +2 số dư phép chia an + an +1 cho 100 Một vài dãy số đặc biệt a) Cấp số cộng Định nghĩa Dãy số u1, u2, u3, … gọi cấp số cộng với công sai d (d 0) un = un – + d với n = 2, 3, … Tính chất un =u1 + (n – 1)d uk = uk 1 uk 1 với k =2, 3, … Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u1, u2, …, un u1 + un = uk + u n – k với k = 2, 3, …, n – Sn = u + u + … + u n = n n (u1 un ) 2u1 n 1 d 2 b)Cấp số nhân Định nghĩa Dãy số u1, u2, u3, … gọi cấp số nhân với công bội q (q 0, q 1) un = un – 1q với n = 2, 3, … Tính chất un = u1qn – với n = 2, 3, … uk2 uk 1uk 1 với k = 2, 3, … Sn = u + u + … + u n = u1 (q n 1) q 1 c)Dãy Fibonacci DeThiMau.vn Định nghĩa Dãy u1, u2,… xác định sau: u1 1, u2 un un 1 un n 3, gọi dãy Fibonacci Ta tìm cơng thức tổng quát dãy là: n 1 1 un 5 n Giới hạn dãy số Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực a hữu hạn với số dương (có thể bé tùy ý), ln tồn số n0 N (n0 phụ thuộc vào vào dãy số (un) xét), cho với số n N, n n0 ta ln có un a Khi kí hiệu nlim un a limun = a cịn nói dãy số (un) hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì Định lý Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ Định lý Nếu (un) a (vn) (un), (vn) C (vn) a Định lý 4.(Định lý kẹp giới hạn) Nếu với n n0 ta ln có un xn limun = limvn = a limxn = a Định lý (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) Định lý (Định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình cộng u1 u2 un có giới hạn a n Định lý phát biểu dạng tương đương sau: Định lý Stolz Nếu nlim un1 un a nlim un a n Ta cần chứng minh cho trường hợp a = DeThiMau.vn Vì lim un 1 un a nên với > tồn N0 cho với n N0, ta n có un 1 u n Khi đó, với n > N0 ta có un 1 u N u N 1 u N un un 1 u N n N n n n n 0 0 Giữ N0 cố định, ta tìm N1>N0 cho N1 u N Khi với n>N1 ta có u un 2 Vậy nên lim n n n n Định lý 7: Cho f: D D hàm liên tục Khi 1) Phương trình f(x) = x có nghiệm phương trình fn(x) = x có nghiệm 2) Gọi , mút trái, mút phải D Biết lim [f ( x) x] x lim [f ( x) x] dương âm Khi phương trình f(x) = x x có nghiệm phương trình fn(x) = x có nghiệm Trong fn(x) = f ( f ( ( f ( x) ) n lân Chứng minh 1) a) Nếu x0 nghiệm phương trình f(x) = x x0 nghiệm phương trình fn(x) = x b) Nếu phương trình f(x) = x vơ nghiệm f(x) – x > f(x) – x < với x D fn(x) – x > fn(x) – x < với x D nên phương trình fn(x) = x vô nghiệm 2) a)Giả sử phương trình f(x) = x có nghiệm x0 nghiệm phương trình fn(x) = x Đặt F(x) = f(x) – x F(x) liên tục (x0; ) ; x0 nên F(x) giữ nguyên dấu Nếu lim [f ( x) x] lim [f ( x) x] dương F(x) > x x khoảng (x0; ) ; x0 suy f(x) > x với x D\{x0} Xét x1 D\{x0} suy f(x1) > x1 f(f(x1)) > f(x1)> x1 Từ fn(x1) > x1 nên x1 khơnglà nghiệm phương trình fn(x) = x Vậy phương trình fn(x) = x có nghiệm x = x0 Nếu lim [f ( x) x] lim [f ( x) x] âm chứng minh tương tự x x DeThiMau.vn b)Ta thấy nghiệm phương trình f(x) = x nghiệm phương trình fn(x) = x, phương trình fn(x) = x có nghiệm phương trình f(x) = x có nghiệm Định lý Cho hàm f: D D hàm đồng biến, dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn), x N * Khi đó: a) Nếu x1< x2 dãy (xn) tăng b) Nếu x1> x2 dãy (xn) giảm Chứng minh a) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n = ta có x1 < x2 mệnh Giả sử mệnh đề với n = k (k 1) tức uk < uk +1 f(uk) < f(uk+1) suy uk+1 < uk+2 (đpcm) b) Chứng minh tương tự Định lý 9.Cho hàm f: D D hàm nghịch biến, dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn), x N * Khi đó: a) Các dãy (x2n+1) (x2n) đơn điệu, dãy tăng, dãy giảm b) Nếu dãy (xn) bị chặn = limx2n =limx2n+1 c) Nếu f(x) liên tục , nghiệm phương trình f(f(x)) = x (1) Vì phương trình (1) có nghiệm = limxn = = Chứng minh a) Vì f(x) hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến Áp dụng định lý ta có điều phải chứng minh b) Suy từ a) c) Ta có f(f(x2n) = f(x2n+1) = x2n+2 limf(f(x2n) =limx2n+2= , limx2n = f(x) liên tục nên f(f( ) = Chứng minh tương tự ta có f(f( ) = Vậy , nghiệm phương trình f(f(x)) = x DeThiMau.vn Chương GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2.1.GIỚI HẠN CỦA TỔNG Các tốn tìm giới hạn tổng ta thu gọn tổng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu hạng tử nối tiếp để hạng tử triệt tiêu, cuối đưa tổng biểu thức cịn chứa xn , sau tìm limxn Bài Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, …) xác định sau: x1 = xn 1 xn ( xn 1)( xn 2)( xn 3) với n = 1, 2, … n Đặt yn i 1 xi (n = 1, 2, ….) Tìm lim yn n Lời giải Ta có x2 = xn > với n = 1, 2, … xn 1 xn ( xn 1)( xn 2)( xn 3) x n xn xn2 xn xn2 xn (1) Từ suy xn+1 +1 = xn2 3xn = (xn + 1)(xn + 2) xn 1 x n 1 xn 1 x n 1 xn DeThiMau.vn 1 xn xn xn 1 n Do yn i 1 n 1 1 1 = xi i 1 xi xi 1 x1 xn 1 xn 1 Từ (1) xk+1 = xk2 3xk 3xk 3.3k 1 3k Ta dễ dàng chứng minh quy nạp xn > 3n-1 Nên lim yn n (2) (vì (2) xn+1 > 3n) Ta chứng minh limxn = với cách khác: Dễ thấy (xn) dãy tăng, giả sử limxn = a (a 1) Nên ta có a a(a 1)(a 2)(a 3) Suy a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a Vậy limxn = Bài Cho dãy (xn) (n = 1, 2, …) xác định bởi: x1 x xn 1 xn 1 xn 1 n (n 2,3, ) n Chứng minh dãy (yn) (n = 1, 2, …) với yn i 1 có giới hạn hữu xi2 hạn, tìm giới hạn Lời giải Từ giả thiết ta có xn > n Ta có xn – xn-1 = xn21 xn 1 xn 1 - xn-1 = xn21 xn 1 xn 1 > n 2 Do dãy (xn) tăng Giả sử limxn = a a > a a 4a a a = (vô lý) Vậy limxn = Từ xn = xn21 xn 1 xn 1 n suy xn2 ( xn 1) xn 1 1 xn xn 1 xn n Do n yn i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2 xi x1 x1 x2 x2 x3 xn xn 1 xn x1 x1 xn DeThiMau.vn Suy yn < n dãy (yn) tăng yn = yn-1 + > yn-1 xn Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn limyn = Bài Xét dãy số (xn) (n = 1, 2, 3, …) xác định bởi: x1 = xn 1 ( xn2 1) với n = 1, 2,3, … Đặt Sn 1 x1 x2 1 x n Tìm nlim Sn Lời giải Ta tổng qt hóa tốn sau: u1 a Cho dãy (un) thỏa mãn un2 (b c)un c u n 1 bc n Ta chứng minh Sn i 1 1 ui b u1 c un 1 c Thật Ta có un 1 un 1 c un2 (b c)un c suy bc un2 (b c)un bc (un b)(un c) bc bc Từ 1 un 1 c un c un b 1 un b un c un 1 c Khai triển ước lượng 1 u1 b u1 c u2 c 1 u2 b u2 c u3 c …………………… 1 un b un c un 1 c Do Sn 1 u1 c un 1 c Từ vận dụng vào toán với b =1, c = - ta có DeThiMau.vn Sn 1 1 x1 xn 1 xn 1 Mà xn+1 – xn = xn 1 > n N * nên dãy (xn) dãy tăng Giả sử lim xn a (a > 2) Thì 2a = a2 + suy a = Vô lý n Vậy nlim xn Do lim S n n Nhận xét Trong tốn tổng qt ta thay giá trị a, b, c khác để toán Chẳng hạn: Cho dãy số (un) thỏa mãn: u1 un2 un u n 1 Đặt Sn 1 u1 u2 2un Tìm limSn Bài Cho dãy số (xn) xác định bởi: x1 = 1; xn 1 (2 xn 1) 2012 xn Với n 2012 số nguyên dương Đặt un (2 xn 1) 2011 (2 x1 1) 2011 (2 x2 1) 2011 (2 x3 1) 2011 x2 x3 x3 xn 1 Tìm limun Lời giải Ta có xn+1 – xn = Suy (2 xn 1) 2012 , n 2012 xn xn 1 2( xn 1 xn ) (2 xn 1) 2011 (2 xn 1)(2 xn 1 1) 1006(2 xn 1 1) n (2 x i 1) 2011 1006 1006 xi 1 xi 1 i 1 i 1 xi x1 xn 1 n Mặt khác: xn + – xn nên dãy (xn) dãy số tăng n Nếu (xn) bị chặn limxn tồn Đặt limxn = a a a chặn hay limxn = suy lim (a 1) 2012 a (vô lý) Suy (xn) không bị 2012 xn 1 DeThiMau.vn =0 un Suy nlim 1006 Bài Cho dãy số (xn) với n = 1, 2, … xác định bởi: x1 = a, (a > 1), x2 = xn+2 = xn – lnxn (nN*) n 1 Đặt Sn (n k ) ln x2 k 1 (n 2) k 1 S Tìm lim n n n Lời giải Nhận xét x2n = 1, n =1, 2, … ln1 = suy lim x2 n n Tiếp theo ta chứng minh dãy (x2n+1) có giới hạn Xét hàm số f(x) = x – lnx liên tục đồng biến (1; + ) f’(x) = 1- >0 x với x > Trước hết ta chứng minh phương pháp quy nạp, dãy (x2n+1) bị chặn Theo giả thiết x1 = a > 1, giả sử x2k+1 > f(x2k+1) > f(1) > nên hiển nhiên x2k+3>1 tức dãy (x2n+1) bị chặn Tiếp theo ta chứng minh dãy (x2n+1) dãy giảm Thật vậy, x2n+1 > nên lnx2n+1> x2n+3 – x3n+1 = - lnx2n+1 < 0, tức dãy (x2n+1) dãy giảm Từ suy (x2n+1) có giới hạn c lim x2 n 1 n Chuyển qua giới hạn dãy số ta c = c – lnc c=1 Vậy dãy số (xn) có giới hạn Theo định lý Cessaro, ta có x x x2 n ( x x x2 n 1 ) ( x2 x4 x n ) lim hay lim 1 n n 2n 2n nx (n 1) ln x1 (n 2) ln x3 ln x2 n 3 n lim 1 n 2n 1 a S S lim n hay lim n x x n 2 n a 1 2.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ DeThiMau.vn Khi khảo sát hội tụ dãy số ta thường sử dụng định lý tính đơn điệu bị chặn, dãy khơng đơn điệu xét dãy với số chẵn, số lẻ Tuy nhiên có dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trường hợp thể ta thường xây dựng dãy số phụ đơn điệu, chứng minh dãy số phụ có giới hạn, sau chứng minh dãy số ban đầu có giới hạn, dãy số phụ phải xây dựng từ dãy số Nhận xét: Mọi dãy dãy hội tụ hội tụ ngược lại limx2n = limx2n+1 = a limxn= a Một cách tổng quát ta có Cho số nguyên m limxmn+i = a i = 0, 1, 2, …, m – limxn= a Bài Dãy số (xn) xác đinh công thức: x0 x1 5 xn xn xn 1 Chứng minh dãy (xn) hội tụ Lời giải Xét dãy số (an) xác định a0= 1, an 1 2an , dễ thấy (an) giảm dần Ta chứng tỏ max{x2n, x2n+1} an, n (1) Thật vậy, (1) với n = n = Giả sử (1) với n (an) dãy giảm nên 5x2n+2 = x2n + 2x2n+1 3an x2n+2 an+1 Và 5x2n+3 = x2n+1 + 2x2n+2 an + 2an+1 3an x2n+3 an+1 Như (1) với n + hay (1) n = 0, 1, 2, … Dễ thấy xn > n từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limx2n = limx2n+1 = suy limxn=0 Nhận xét: Việc đưa vào dãy phụ (an) có tác dụng chặn hai dãy (x2n) (x2n+1) làm chúng hội tụ điểm Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm số hạng tổng quát n 1 1 xn C1 C2 n Thay giá trị x0, x1 để tìm C1, C2 từ tìm limxn =0 Bài DeThiMau.vn Dãy (xn) xác định bởi: x0 , x1 , x2 0;1 2 3 xn 3 xn xn Chứng minh dãy (xn) hội tụ Lời giải Ta xét dãy số (an) xác định bởi: a0= max{x0, x1, x2}, an 1 2an2 Dễ thấy dãy số (an) giảm dần Ta chứng tỏ max{x3n, x3n+1, x3n+2} an, n (1) Thật vậy, (1) với n = 0, 1, 2, …, Giả sử (1) với n (an) dãy giảm nên ta có: 3x3n+3 = x32n x32n 2an2 x3n 3 an 1 3x3n+4 = x32n 1 x32n 3 an2 an21 2an2 x3n an 1 3x3n+5 = x32n x32n an2 an21 2an2 x3n 5 an 1 Như vậy, (1) với n + 1, theo nguyên lý quy nạp, (1) chứng minh Dễ thấy xn > Từ theo nguyên lý kẹp ta có limx3n+i = (i = 0, 1, 2) limxn = Từ cách chọn dãy số phụ ta có dãy số sau hội tụ với x0, x1, x2, x3 thuộc (0; 1) xn 3 xn2 xn 1 xn , xn 3 xn2 xn2 xn21 xn 3 xn2 xn xn 1 xn xn 1 xn xn2 xn xn 1 … Bài Dãy (xn) xác định bởi: x0 , x1 , x2 xn 3 xn xn Chứng minh dãy (xn) hội tụ Lời giải Ta xây dựng hai dãy (an) (bn) sau: a0 max{x0 , x1 , x2 , 2} an 1 2an b0 min{x0 , x1 , x2 , 2} bn 1 2bn Dãy (an) dãy giảm dần 2, dãy (bn) tăng dần DeThiMau.vn Bằng quy nạp dễ chứng minh bn 1 min{x3n , x3n 1 , x3n } max{x3n , x3n 1 , x3n } an n Từ đó, dẫn đến limx3n =limx3n+1 = limx3n+2 = suy limxn = Bài Cho dãy (xn) (n = 0, 1, 2…) xác định sau: x0, x1, x2 số dương cho trước xn xn 1 x n xn 1 với n Chứng minh dãy (xn) hội tụ tìm giới hạn dãy Lời giải Ta xây dựng hai dãy (an) (bn) sau: a0 max{x0 , x1 , x2 ,9} n 0,1, 2, an 1 an b0 min{x0 , x1 , x2 ,9} n 0,1, 2, bn 1 bn Dãy (an) dãy giảm dần 9, dãy (bn) tăng dần suy lim an lim bn n n Ta chứng minh bn 1 min{x3n , x3n 1 , x3n } max{x3n , x3n 1 , x3n } an n (1) Thật vậy, với n = (1) hiển nhiên Giả sử (1) với n = k, với n = k + ta có bn bn 1 bn x3k 3 x3k x3k 1 x3k an an 1 an bn bn 1 bn x3k x3k 3 x3k x3k 1 an an 1 an bn bn 1 bn x3k 5 x3k x3k 3 x3k an an 1 Vậy (1) với n = k + Theo nguyên lý quy nạp (1) với số tự nhiên n Từ theo định lý kẹp ta có lim x3n lim x3n 1 lim x3n lim an lim bn n n n n n Nên nlim xn Dưới số tốn tìm giới hạn dãy số dạng xn+1 = f(xn)(dãy số xác định gọi cho dạng lặp) Đây dạng toán thường gặp tốn tìm giới hạn dãy số, dãy số hoàn toàn xác định biết f giá trị ban đầu x0 Do hội tụ dãy số phụ thuộc vào tính chất f(x) x0 Một đặc điểm quan trọng khác dãy số dạng a giới hạn dãy số a nghiệm phương trình x = f(x) DeThiMau.vn Bài Cho dãy số (xn) xác định sau: xn x1= 0, xn + = với n N* 27 Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải x Nhận xét xn 0, nN* Xét hàm số f(x) = nghịch biến 27 khoảng [0; + ) Khi xn+1 = f(xn) , nN* f(x) f(0) nên xn Ta có x1 = 0, x2 = 1, x3 = nên x1 x3 x4 = f(x3) f(x1)=x2 27 Bây ta chứng minh phương pháp quy nạp x2n – x2n + 1, x2n+2 x2n với nN* Thật vậy, giả sử có x2n-1 x2n + f(x2n-1) f(x2n+1) nên x2n x2n+2 f(x2n) f(x2n+2) suy x2n+1 x2n+3 Tương tự, giả sử có x2n x2n+2 f(x2n) f(x2n+2) suy x2n+1 x2n+3 f(x2n+1) f(x2n+3) suy x2n+2 x2n+4 Vậy dãy (x2n-1) dãy tăng dãy (x2n) dãy giảm thuộc [0; 1] nên có giới hạn hữu hạn: lim x2 n a , lim f ( x2 n 1 ) b n n Và a = lim x2 n lim f ( x2 n 1 ) lim f ( f ( x2 n )) f ( f (a)) n n n Nên a 27 27 a suy a = 3 Tương tự ta tìm b = Vậy a = b = 1 nên lim xn n 3 Bài 6: Cho dãy số thực (xn) xác định sau: x1 = 0, x2 = xn+2 = 2 x n với n= 1, 2, 3, … Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Lời giải Xét hàm số f(x) = 2 x xác dịnh R DeThiMau.vn Với n N*, ta có xn+4 = f(xn+2) = f(f(xn)) hay xn+4 = g(xn), g hàm số xác định R g(x) = f(f(x)) x R (1) Dễ thấy hàm số f giảm R, hàm số g tăng R Vì từ (1) suy với k{1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k), nN dãy đơn điệu, Hơn nữa, từ cách xác định dãy (xn) dễ thấy xn , n N* Do với k {1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k) dãy hội tụ Với k {1; 2; 3; 4}, đặt lim x4 n k ak ta có ak Hơn nữa, x hàm số g liên tục R nên từ (1) suy g(ak) = ak (2) Xét hàm số h(x) = g(x) – x [0; 2] Ta có h’(x) = 2- (f(x) + x).(ln2)2 – < x [0;2] (do f(x) + x > x [0;2] ) Suy ra, hàm số h giảm [0; 2] Vì có nhiều điểm x [0;2] cho h(x) = hay g(x) = x Mà g(1) = nên từ (2) ta ak = với k {1; 2; 3; 4} Từ đây, dãy (xn) hợp bốn dãy (x4n+k) nên dãy (xn) hội tụ lim xn x Bài Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình x2n+1 = x + có nghiệm thực Gọi nghiệm xn Tính lim x n n Lời giải: Nếu x < -1 x2n+1 < x < x+1 Nếu – x x2n+1 – x = (-x)(1x2n) < suy x2n+1 < x + Nếu < x x2n+1 x < x + Vậy x nghiệm phương trình x2n+1 = x + ta phải có x > Đặt fn(x) = x2n+1 – x – Ta có fn’(x) = (2n+1)x2n – > [1, +) suy hàm f tăng nửa khoảng Vì f(1) = - < f(2) = 22n+1 – > nên phương trình có nghiệm xn thuộc (1, 2) Theo lý luận trên, nghiệm suy Xét fn+1 = x2n+3 – x – Ta có fn+1(1) = - < fn+1(xn) = xn2n+3 – xn – = xn2n+3 – xn2n+1 > Từ ta suy < xn+1 < xn Dãy {xn} giảm bị chặn 1, suy dãy (xn) có giới hạn hữu hạn a, a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi xn a với n ta tìm n đủ lớn cho: xn2n+1 a2n+1 > Trong ta có xn + < x1 + < Mâu thuẫn fn(xn) = Bài DeThiMau.vn x1 2007 Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: x n 1 xn xn2 n 1/ Chứng minh dãy số (xn) bị chặn 2/ Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Hiển nhiên xn > xn 1 xn xn2 = 1 n x 1 n Vậy xn 2007 với n dãy bị chặn Cách 1: Hàm f(x) = x x2 1 = 1 nghịch biến ( 3; ) nên chứng x 1 minh dãy (x2n) (x2n+1) đơn điệu Theo 1/các dãy bị chặn xn nên có limx2n =a; limx2n+1 =b; Từ x n 1 b a b2 1 a b a2 1 g(x) = x x x2 1 a Suy a có g’(x) = - a 1 x n2 b b ( x 1) x qua giới hạn ta có : b2 1 > x nên g(x) đồng biến từ a = b hay limx2n =limx2n+1 limxn = a= b Lúc a nghiệm pt x x x= x 1 15 lim xn = Cách f(x) = x x 1 f’(x) = - ( x 1) f ' ( x) DeThiMau.vn 2 x > 15 Có f(x) = x x x x 1 ( x 3) x2 x2 1 x x 1(l ) 15 ( x x) 2( x x) x= =a 2 x x Áp dụng định lý Lagrang có: x n 1 a f ( x n ) f (a ) f ' ( n ) x n a Do limxn = a = 2 x n a ( 2 ) n x1 a n 15 Bài Cho dãy số (xn) thỏa mãn: x1 a , a xn 1 a a xn n N * Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn Lời giải Bằng quy nạp chứng minh xn a n N * Xét hàm f(x) = f '( x) a a x , x 0; a có xn+1 = f(xn) 1 a ax ax , x 0; a Suy f(x) hàm nghịch biến Do dãy (xn) tách thành hai dãy (x2n) (x2n+1), dãy tăng dãy giảm, mặt khác lại có dãy (xn) bị chặn nên tồn limx2n = α, limx2n+1= , α, nghiệm phương trình: f(f(x)) = x a a a ax x Xét hàm F(x) = a a a a x x , với x 0; a F '( x) a a a ax a a ax a ax ax với x 0; a , ta có DeThiMau.vn 1 a ax ax a a a a a a a a 1 1 a a a 2 0,12 0,3 a a 2 2 Thay vai trò x a a a ax a a x chứng minh tương tự ta có a a a x 0,3 Suy F’(x) < - 0,9 < nên F(x) hàm nghịch biến, lại có F(0) > 0, F( a ) < nên phương trình F(x) có nghiệm Do Suy limx2n = limx2n+1 = limxn Vậy có limxn= T với T thỏa mãn f(f(T)) = T 2.3.DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI PHƯƠNG TRÌNH Dãy số có mối quan hệ chặt chẽ với phương trình điều thấy rõ qua hai nội dung phương trình sai phân tuyến tính giải phương trình đặc trưng, giới hạn dãy số thường giải từ phương trình Đây nội dung quan trọng phần dãy số Với dạng tốn tìm giới hạn dãy số có liên quan đến phương trình ta thường xét tính đơn điệu hàm số, áp dụng định lý Lagrange định lý giới hạn kẹp Bài Giả sử xn thuộc khoảng (0; 1) nghiệm phương trình 1 0 x x 1 xn Chứng minh dãy (xn) hội tụ Tìm giới hạn x Nhận xét: xn xác định hàm số f n ( x) 1 liên x 1 xn tục đơn điệu (0, 1) Tuy nhiên, ta xác định giá trị cụ thể xn Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ xn, ta khơng cần đến điều Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Với tính bị chặn hiển nhiên 0< xn< Với tính đơn điệu, ta ý chút đến mối liên hệ fn(x) fn+1(x): fn+1(x) = fn(x) + f n 1 ( x) f n ( x) để chứng minh tính đơn điệu xn DeThiMau.vn Đây chìa khố x n 1 Lời giải x xn xác định hàm số f n ( x) 1 liên tục đơn x 1 xn điệu (0; 1) Để chứng minh dãy hội tụ ta chứng minh dãy (xn) bị chặn đơn điệu, hiển nhiên dãy bị chặn < xn < Bây ta chứng minh dãy (xn) đơn điệu Ta thấy < xn < nên f n 1 ( xn ) f n ( xn ) 1 0 xn n xn n Trong fn+1(0+) > Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0; xn) có nghiệm fn+1(x) Nghiệm xn+1 Suy xn+1 < xn Tức dãy số (xn) giảm, dãy số bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh dãy số có giới hạn Ta dễ dàng chứng minh kết sau: 1 1 ln n n 1 (Có thể chứng minh cách đánh giá ln 1 ) n n Thật vậy, giả sử nlim xn a Khi dãy (xn) giảm nên ta có xn a n Do 1 n , nên tồn N cho với n N ta có n 1 1 n a Khi với n N 0 1 1 1 1 0 xn xn xn n x n 1 2 n a a Điều mâu thuẫn Vậy phải có nlim xn Bài 2: Cho số thực a > Đặt fn(x) = a10xn+10 + xn + … + x + (n = 1, 2, …) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a ln có nghiệm xn (0; ) dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n Lời giải DeThiMau.vn Với n, đặt gn(x) = fn(x) – a, gn(x) hàm liên tục, tăng [0; + ) Ta có gn(0) = – a < 0; gn(1) = a10 + n + – a > nên gn(x) = có nghiệm xn (0; + ) Để chứng minh tồn giới hạn nlim xn , ta chứng minh dãy (xn) (n = 1, 2, …) tăng bị chặn Ta có 1 1 g n 1 a10 1 a a 1 = a 1 a n 1 n 10 1 1 n 1 a 1 9 a a a 1 a a a a 1 1 a Suy xn , n = 1, 2, … Mặt khác, từ gn(xn) = a10 xnn 10 xnn a , suy xngn(xn) = a10 xnn 11 xnn 1 xn axn gn+1(xn) = xngn(xn) + + axn – a = axn + – a < xn a Vì gn+1 hàm tăng = gn+1(xn+1) > gn+1(xn) nên xn < xn+1 Vậy dãy (xn) (n = xn 1, 2, …) tăng bị chặn, nên tồn nlim Nhận xét Ta chứng minh lim xn n cách chứng minh bất a đẳng thức 1 a a 1 1 a a n 1 xn a Thật vậy, ta có aa x 10 n 10 n 1 x xn a 1 a 10 n n n 10 Suy 1 a a 1 a n 10 10 n 1 a 1 1 xn a a 1 Từ xn a a 1 1 a a n 1 DeThiMau.vn n 1 1 1 1 xn a a ... nói dãy số (un) hội tụ a Dãy số khơng hội tụ gọi dãy phân kì Định lý Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy. .. 2.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ DeThiMau.vn Khi khảo sát hội tụ dãy số ta thường sử dụng định lý tính đơn điệu bị chặn, dãy khơng đơn điệu xét dãy với số chẵn, số lẻ Tuy nhiên có dãy số... ta thường xây dựng dãy số phụ đơn điệu, chứng minh dãy số phụ có giới hạn, sau chứng minh dãy số ban đầu có giới hạn, dãy số phụ phải xây dựng từ dãy số Nhận xét: Mọi dãy dãy hội tụ hội tụ ngược
Ngày đăng: 31/03/2022, 08:45
Xem thêm:
