CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca b a² + b² + ≥ ab + a + b a c d a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc b c2 ab ac 2bc e a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e) 1 1 1 f với a, b, c > a b c ab bc ca g a b c ab bc ca với a, b, c ≥ Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a b3 a b a b a4 + b4 ≥ a³b + ab³ với a, b ≥ 2 c a + ≥ 4a d a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 6 1 a b e a b ; với a, b ≠ f ; với ab ≥ 1 a b ab b a g (a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a² + b²); với ab > a a ac Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh (1) Áp dụng (1) chứng b b bc minh bất đảng thức sau a b c 2 a ab bc ca a b c d b 2 abc bcd cda dab ab bc cd da c 3 abc bcd cda dab Bài Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1) Áp dụng (1) chứng minh bất đảng thức sau a b2 c2 a b c a (a b c) 3(ab bc ca) b 3 abc ab bc ca c a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) d với a, b, c > 3 Bài Cho a, b không âm Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1) Áp dụng (1) chứng minh bất đảng thức sau 1 1 a ; với a, b, c > a b3 abc b3 c3 abc c3 a abc abc 1 ; với a, b, c > abc = b a b b c3 c3 a 1 1 ; với a, b, c > abc = c a b 1 b c 1 c a 1 d 4(a b3 ) 4(b3 c3 ) 4(c3 a ) 2(a b c) ; Bài Chứng minh bất đẳng thức Min–cốp–xki: DeThiMau.vn với a, b, c ≥ a x b y (a b) (x y) (1) Áp dụng (1) chứng minh bất đảng thức sau a Cho a, b ≥ thỏa a + b = Chứng minh: a b 1 b Tìm GTNN biểu thức P = a b b a c Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 1 x y z 82 x y z d Cho x, y, z > thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức sau: P = 223 x 223 y 223 z Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) b abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > d a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³ HD: a Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b 2bc c2 b Gợi ý a² > a² – (b – c)² c Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > d Phân tích thành nhân tử Bài Cho a, b, c > Chứng minh a (a b)(b c)(c a) 8abc b (a b c)(a b c2 ) 9abc bc ca ab abc c (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc d a b c ab bc ca abc a b c e f ab bc ca bc ca ab Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a (a b3 c3 ) (a b c) a b c b 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) c 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ a b3 HD: a Chú ý: a 2b 2ab b a b Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b) c Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) chứng minh được: 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² 1 Bài 10 Cho a, b > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh: a b ab 1 1 a ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 b 2 ; với a, b, c > ab bc ca 2a b c a 2b c a b 2c DeThiMau.vn 1 1 1 Chứng minh: 1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca abc d ; với a, b, c > ab bc ca 2xy 8yz 4xz e Cho x, y, z > thỏa x + 2y + 3z = 12 Chứng minh: 6 x 2y 2y 4z 4z x f Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh: 1 1 1 2 pa pb pc a b c HD: Biến đổi tương đương chứng minh (1) ab (a b) d (1) ab e Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z a + b + c = 12 1 4 f pa pb pa pb c 1 Bài 11 Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng (1) chứng minh a b c abc bất đẳng thức: 1 a (a b c2 ) (a b c) ab bc ca x y z b Cho x, y, z > thỏa x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P = x 1 y 1 z 1 c Cho a, b, c > thỏa a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức sau 1 P= a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 30 d Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh a b c2 ab bc ca Bài 12 Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x a y ; với x > b y ; với x > x x 1 x x3 c y ; với < x < d y ; với x > 1 x x x Bài 13 Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a y = (x + 3)(5 – x) với –3 ≤ x ≤ b y = (x + 3)(5 – 2x) với –3 ≤ x ≤ 5/2 x x2 c y ; với x > d y x 2 x 3 Bài 14 Chứng minh bất đẳng thức sau: 735 a a² + b² ≥ 2, với a + b = b 3a 5b , với 2a – 3b = 47 c a b , với a + 2b = d (x 2y 1) (2x 4y 5) 5 Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức sau: c Cho a, b, c > thỏa DeThiMau.vn 1 , với a + b ≥ b a b3 , với a + b ≥ c a b , với a + b ≥ d a b , với a + b = Bài 16 Cho x, y, z ba số dương x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z Bài 17 Cho x, y, z ba số dương x + y + z ≤ Chứng minh: 1 x y z 82 x y z HD: a a b 1 9 9 2 x x (1 ) x x x x 82 x x Suy 1 P (x y z) x y z 82 (1) 1 1 80 1 (x y z) 82 9x 9y 9z x y z Bài 18 Cho a, b, c thỏa a b c Chứng minh bất đẳng thức Hay P ≥ (1) (2) 4a 4b 4c 21 HD: x y z x y z Từ suy (1) Bài 19 Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a A , với x + y = b B = x + y, với x 4y x y Bài 20 Tìm GTLN biểu thức A x y y x , với x, y thỏa x² + y² = Bài 21 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: a A x x , với –2 ≤ x ≤ b B x x , với ≤ x ≤ c C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 1 HD: c y 2x 4y 6x Bài 22 Giải bất phương trình sau: 3 2x 2x x a 2x b 5 m(x 2) x m x Bài 23 Giải biện luận bất phương trình sau: Bài 24 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a m²x + ≥ m + (3m – 2)x b mx – m² > mx – Bài 25 Giải hệ bất phương trình sau: DeThiMau.vn 4x x 3x 2x a b c 3x 4x 2x 19 2x Bài 26 Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau: 6x 4x 15x 2x a b 8x 2(x 4) 3x 14 2x 25 Bài 27 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 7x 4x 19 x 1 a b 2x 3m mx 4 12x x 4x x mx x 4m 2mx c d 3x 2x (3m 2)x m Bài 28 Giải bất phương trình a (x + 1)(x – 1)(x – 2) > b (2x – 7)(5 – x) ≥ c x² – x – 20 – 2(x – 11) > d x³ + 8x² + 17x + 10 < Bài 29 Giải bất phương trình (2x 5)(x 2) x 3 x 5 2x a b c 0 1 4x x 1 x 2x 2x x d e 1 x x 2x 1 2x Bài 30 Giải bất phương trình a 5x 12 b 3x 15 c x x d 2x x Bài 31 Giải biện luận bất phương trình 2x m mx m a b c x 1(x m 2) 0 0 x 1 x 1 Bài 32 Xét dấu biểu thức sau: a 3x² – 2x + b (x² – 4x + 3)(x – 5) c 2x² – 7x + (3x x)(3 x ) d 4x x Bài 33 Giải bất phương trình: a –2x² + 5x – < b 5x² – 4x – 12 < c –2x² + 3x – ≥ 4x 3x 3x x d x² – x – ≤ e f 0 0 x 3x x 5x Bài 34 Giải hệ bất phương trình sau: 2x 9x 2x x 2x 5x a b c 2 x x 3x 10x x 3x 10 x 4x x 2x x 2x d e 4 f 1 2 13 x x 5x x 2x DeThiMau.vn Bài 35 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x a 3x² + 2(m – 1)x + m + > b x² + (m + 1)x + 2m + > c mx² + 9m – 1)x + m – < d (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > e 3(m 6)x 3(m 3)x 2m Bài 36 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm a (m – 3)x² + (m + 2)x – > b (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + < c mx² + 2(m – 1)x + ≥ d (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + > Bài 37 Giải bất phương trình c x x a 2x 5x b x x 3x d x 4x x 4x e x 3x x 2x x2 f 3 g x 4x 1 h x 5x x2 x Bài 38 Giải phương trình sau: a x x 2x 11 b x 3x x c x x x Bài 39 Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a 2x 1 x 3 3x 5x 3x 5x b 5x 5x 13 d 24 x x c x 1 x 1 e 47 2x 35 2x 4 f Bài 40 Giải bất phương trình sau: x 4356 x x x 4356 x x a x x 12 x b x x 12 x c x 4x 21 x d x 3x 10 x e 2x 6x x f 2x x g x x 2x h x x 3 2x Bài 41 Giải bất phương trình: a (x 3)(8 x) 26 x 11x b (x 5)(x 2) x(x 3) c (x 1)(x 4) x 5x 28 Bài 42 Giải bất phương trình: d 3x 5x 3x 5x x 4x x x x x a b 2 3 x 2x x4 Bài 43 Giải bất phương trình sau: a x x b x x Bài 44 Giải bất phương trình sau: a x 4x 4x 17 b x x c x 3x x d x 5x x e x x 5x f x 2x 2x DeThiMau.vn ... y 2x 4y 6x Bài 22 Giải bất phương trình sau: 3 2x 2x x a 2x b 5 m(x 2) x m x Bài 23 Giải biện luận bất phương trình sau: Bài 24 Tìm m để bất phương trình sau... 2x (3m 2)x m Bài 28 Giải bất phương trình a (x + 1)(x – 1)(x – 2) > b (2x – 7)(5 – x) ≥ c x² – x – 20 – 2(x – 11) > d x³ + 8x² + 17x + 10 < Bài 29 Giải bất phương trình (2x 5)(x... 1 2x Bài 30 Giải bất phương trình a 5x 12 b 3x 15 c x x d 2x x Bài 31 Giải biện luận bất phương trình 2x m mx m a b c x 1(x m 2) 0 0 x 1 x 1 Bài 32 Xét