Thông tin tài liệu
Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a0 a có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x , x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab c ab ; bc a bc; ca b ca e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y R, ta có: (ax by )2 (a2 b2 )( x y ) Dấu "=" xảy ay = bx Trang 30 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A2 + A2 B + A.B với A, B + A2 B AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) e) a b c2 2a(ab2 a c 1) f) g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) i) a2 b2 c2 ab ac 2bc 1 1 1 với a, b, c > a b c ab bc ca k) a b c ab bc ca với a, b, c HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 2 2 d) (a b c)2 a f) (b c) 2 e) (a b ) (a c) (a 1) g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 a a a a h) b c d e 2 2 2 2 2 1 1 1 i) 0 b b c c a a 2 k) a b b c c a Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 a b a) ; với a, b b) a b a3b ab3 c) a 4a d) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > e) a b g) a 3 a 2 HD: a) a6 b b6 a ; với a, b 2 (a b)(a b)2 f) 1 a 1 b ; với ab 1 ab h) (a5 b5 )(a b) (a b )(a2 b2 ) ; với ab > b) (a3 b3 )(a b) Trang 31 DeThiMau.vn Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B c) (a 1)2 (a2 2a 3) d) Sử dụng đẳng thức a3 b3 (a b)3 3a2 b 3ab2 BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) Bài 2 2 (b a)2 (ab 1) 0 e) (a b ) (a a b b ) f) g) (a2 1)2 h) ab(a b)(a3 b3 ) (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a b c d 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 4) 256abcd HD: a) a b 2a2 b2 ; c2 d 2c2 d ; a2 b2 c2 d 2abcd b) a2 2a; b2 2b; c2 2c c) a2 4a; b2 4b; c2 4c; d 4d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a a ac (1) Áp dụng chứng b b bc minh bất đảng thức sau: a b c a b c d a) b) 2 2 ab bc ca abc bcd cd a d ab ab bc cd da c) 3 abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1) (a – b)c < a ac b ba c cb a) Sử dụng (1), ta được: , , ab abc bc abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: abcd abc ac b b b Tương tự, abcd bcd bd c c c abcd cd a ac d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm ab ab abd c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) (a b c) 3(a b c ) a2 b2 c2 a b c b) c) (a b c)2 3(ab bc ca) d) a b c abc(a b c) 2 2 Trang 32 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B e) Bất đẳng thức – Bất phương trình abc ab bc ca với a,b,c>0 3 f) a b c abc a b c HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 a2 b b2 a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 1 1 a) ; với a, b, c > a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc 1 b) với a, b, c > abc = 1; a3 b3 b3 c c a3 1 1 c) 1; với a, b, c > abc = a b 1 b c 1 c a 1 Bài d) e*) 4(a3 b3 ) 4(b3 c3 ) 4(c3 a3 ) 2(a b c) ; sin A sin B sin C cos A B C cos cos ; 2 với a, b, c với ABC tam giác HD: (1) (a2 b2 )(a b) a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) a3 b3 abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) ab(a b c) d) Từ (1) 3(a3 b3 ) 3(a2 b ab2 ) 4(a3 b3 ) (a b)3 (2) Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) e) Ta có: C AB C cos cos 2 sin A sin B cos Sử dụng (2) ta được: a b 4(a3 b3 ) sin A sin B 4(sin A sin B) 4.2.cos Tương tự, A , sin B sin C cos C C cos 2 sin C sin A cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Bài Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 x b2 y (a b)2 ( x y )2 (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b thoả a b Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = a2 1 a2 b2 b2 b2 a2 c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Chứng minh: x2 x y2 y z2 Trang 33 DeThiMau.vn z2 82 Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm GTNN biểu thức: P= 223 x 223 y 223 z2 HD: Bình phương vế ta được: (1) (a2 b2 )( x y ) ab xy (*) Nếu ab xy (*) hiển nhiên Nếu ab xy bình phương vế ta được: (*) (bx ay )2 (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: a2 b2 (1 1)2 (a b)2 b) Sử dụng (1) P 2 1 1 (a b) (a b)2 17 a b ab 1 (với a, b > 0) a b ab c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: Chú ý: 1 1 x y z ( x y z) x2 y2 z2 x y z 2 2 Chú ý: 2 ( x y z) 82 xyz 1 (với x, y, z > 0) x y z xyz d) Tương tự câu c) Ta có: P 223 ( x y z)2 2010 Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y Bài Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a b c)(a2 b2 c2 ) 9abc a) (a b)(b c)(c a) 8abc c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc d) bc ca ab a b c ; với a, b, c > a b c e) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc ab bc ca abc ; với a, b, c > ab bc ca a b c ; với a, b, c > g) bc ca ab f) HD: a) a b ab ; b c bc ; c a ca đpcm b) a b c 33 abc ; a2 b2 c2 a2 b2 c2 đpcm c) (1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca abc ab bc ca 33 a2 b2c2 a b c 33 abc (1 a)(1 b)(1 c) 33 abc 33 a2 b2c2 abc 1 abc bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2 c 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm d) a b ab b c bc c a ac e) VT 2(a2 b b2 c c2 a) a3b3c3 6abc f) Vì a b ab nên ab ab ab bc bc ca ca ; Tương tự: a b ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca 2 (vì ab bc ca a b c ) a b c 1 1 1 g) VT = bc ca ab 1 = (a b) (b c) (c a) 3 3 2 bc ca ab Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b x y z x z y Khi đó, VT = 3 (2 3) y x x z y z 2 Trang 35 DeThiMau.vn Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c Bài b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3 a3 b3 b3 c c a3 HD: a) VT = a2 b2 c2 a c b a c b Chú ý: a3 b3 a2 b2 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2 c bc2 c2 a ca2 Chú ý: a3 b3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3 ) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab 1 1 1 a) ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > ab bc ca a b c a b c a b 2c 1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: 1 a b c a b c a b c a b 2c ab bc ca abc d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x y z 12 Chứng minh: x y y 4z 4z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c 1 1 HD: (1) (a b) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: ; ; a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 c) Áp dụng a) b) ta được: a b c a b c a b c a b 2c 11 1 ab d) Theo (1): (a b) ab 4a b ab Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Bài Cho a, b > Chứng minh Trang 36 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B Bài Bất đẳng thức – Bất phương trình Cho a, b, c > Chứng minh BĐT sau: 1 (1) Áp dụng chứng minh a b c abc 1 a) (a2 b2 c2 ) (a b c) ab bc ca b) Cho x, y, z > thoả x y z Tìm GTLN biểu thức: P = x y z x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P= 2 a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 30 a2 b2 c2 ab bc ca 1 e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: cos A cos B cos 2C 1 1 HD: Ta có: (1) (a b c) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) VT 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) (a b c) 2(a b c) abc Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: x 11 y 11 z 11 1 P= = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 9 Suy ra: P Ta có: x 1 y 1 z 1 x y z 4 Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P = x y z kx ky kz 9 a2 2bc b2 2ca c2 2ab (a b c)2 d) VT 2 ab bc ca a b c 1 = a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca c) Ta có: P 30 (a b c)2 ab bc ca 1 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 3 1 e) Áp dụng (1): cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C Trang 37 DeThiMau.vn Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B 6 Bài Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x ; x a) y ; x b) y x x 1 3x x ; x 1 ;x c) y d) y x 1 2x 1 Chú ý: cos A cos B cos 2C x3 e) y x ; x 1 1 x x f) y g) y x2 4x ; x0 x h) y x 6 1 x = d) Miny = 5 f) Miny = e) Miny = x ; x0 ; x0 x3 b) Miny = x = HD: a) Miny = x = c) Miny = x2 g) Miny = x = 30 x = 3 h) Miny = 5 x = x = 27 Bài Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x ); x b) y x (6 x ); x c) y ( x 3)(5 x ); x e) y (6 x 3)(5 x ); g) y d) y (2 x 5)(5 x ); x 2 f) y x x2 30 x5 ; x0 x2 x 3 HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = ( x 2 x ) 2 e) Maxy = x = g) Ta có: x x x ( x 2)3 27 x Maxy = x = 1 27 Bài a) Trang 38 DeThiMau.vn x2 ( x 2)3 27 Nguyễn Văn B Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) Với a, b, x, y R, ta có: (ax by )2 (a2 b2 )( x y ) Dấu "=" xảy ay = bx Với a, b, c, x, y, z R, ta có: (ax by cz)2 (a2 b2 c2 )( x y z2 ) Hệ quả: (a b)2 2(a2 b2 ) Bài (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3a2 4b2 , với 3a 4b c) 7a2 11b2 b) 3a2 5b2 2464 , với 3a 5b 137 e) 2a2 3b2 , với 2a 3b d) a2 b2 735 , với 2a 3b 47 , với a 2b f) ( x y 1)2 (2 x y 5)2 HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 3a, 5b 5 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 7a, 11b 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 BĐT a2 b2 Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2 b2 , với a b b) a3 b3 , với a b c) a b , với a b d) a b , với a b HD: a) (1a 1b)2 (12 12 )(a2 b2 ) đpcm b) a b b a b3 (1 a)3 3a 3a2 a3 1 1 b a 3 a 2 4 3 c) (12 12 )(a b ) (a2 b2 )2 đpcm d) (12 12 )(a2 b2 ) (a b)2 a2 b2 Bài (12 12 )(a b ) (a2 b2 )2 a b Cho x, y, z ba số dương x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P (1 x ) (1 y ) (1 z) Trang 39 DeThiMau.vn Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B Dấu "=" xảy x y z x y z Vậy Max P = x y z Cho x, y, z ba số dương x y z Chứng minh rằng: Bài x2 x y2 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: y 9 x (1 ) x x x Tương tự ta có: y2 y z2 x2 x z2 9 y (2), y 82 82 9 x x 82 z2 z (1) 9 z z 82 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 80 1 ( x y z) x y z x y z 82 1 80 2 ( x y z) 82 82 x y z x y z Dấu "=" xảy x y z P Bài 1 ( x y z) = 82 x y z Cho a, b, c thoả a b c Chứng minh: (1) (2) 4a 4b 4c 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) Chú ý: x y z x y z Dấu "=" xảy x = y = z = Từ (1) Bài Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A , với x + y = b) B x y , với x 4y x y 2 HD: a) Chú ý: A = x y Áp dụng BĐT (B) với số: x ; ; y; ta được: x y 4 25 x y ( x y) x y x 4y 25 4 Dấu "=" xảy x ; y Vậy minA = x ; y 5 5 2 2 3 b) Chú ý: x y x y Áp dụng BĐT (B) với số: x; y; ; x ta được: y Trang 40 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B Bất đẳng thức – Bất phương trình 2 3 2 3 3 ( x y ) x y x y x y x y Dấu "=" xảy x Bài 3 Tìm GTLN biểu thức sau: ;y 3 Vậy minB = 3 a) A x y y x , với x, y thoả x y HD: a) Chú ý: x y 2( x y ) A ( x y )(1 y x ) x y 2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: Dấu "=" xảy x y Bài a) A x x , với –2 x b) B x x , với x x y2 c) C y x , với 36 x 16 y d) D x y , với HD: a) A (12 12 )(7 x x 2) Dấu "=" xảy x 2 A (7 x ) ( x 2) Dấu "=" xảy x = –2 x = maxA = x ; b) B minA = x = –2 x = (62 82 )( x x ) 10 Dấu "=" xảy x = 43 25 B ( x 1) (3 x ) x Dấu "=" xảy x = maxB = 10 x = 43 ; 25 minB = x = 1 c) Chú ý: 36 x 16 y (6 x )2 (4 y )2 Từ đó: y x y x 1 1 y x 16 y 36 x 4 16 5 15 25 y 2x C y 2x 4 4 9 15 25 minC = x , y ; maxC = x , y 20 20 4 y 2x x y2 d) Chú ý: (3 x )2 (2 y )2 Từ đó: x y x y 36 4 1 x y x y 9 4 5 x y 7 D x y 2x y minD = –7 x , y ; Bài a) Trang 41 DeThiMau.vn maxD = x , y 5 ... b c)(b c a)(c a b) Bài a) Trang 34 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: ab + Với a, b 0, ta... Maxy = x = 1 27 Bài a) Trang 38 DeThiMau.vn x2 ( x 2)3 27 Nguyễn Văn B Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki:... 2 Trang 35 DeThiMau.vn Bất đẳng thức – Bất phương trình Nguyễn Văn B Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c Bài b) 3(a3 b3 c3 )
Ngày đăng: 31/03/2022, 14:02
Xem thêm:
