(SKKN mới NHẤT) SKKN áp dụng định lý vi ét giải các bài toán liên quan đến việc so sánh nghiệm của phương trình bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRUNG TÂM GDTX-DN NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Người thực hiện: Trần Ánh Dương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2016 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC TT Nội dung Trang I Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề 10 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 12 11 III Kết luận, kiến nghị 12 12 Kết luận 12 13 Kiến nghị 13 14 Tài liệu tham khảo 14 download by : skknchat@gmail.com I Mở đầu: Lý chọn đề tài: Định lí Vi-ét phần quan trọng chương trình tốn học phổ thơng nêu sách giáo khoa Đại số lớp 10 Khai thác định lý Viét ứng dụng giải toán liên quan đến việc phải so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực; tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (đoạn); tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng (đoạn), đặc biệt chương trình bỏ “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” Khi học xong định lý Vi-ét học sinh giải tốn dạng tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm trái dấu Nhưng chuyển sang tốn có dạng tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực học sinh lúng túng khơng tìm phương pháp giải Giải vấn đề vừa đặt ra, sau học sinh giải số dạng tốn sau: - Tìm điều kiện để phương trình tham số đưa phương trình bậc hai có nghiệm (Dạng: ; ; phương trình tham số bậc đối xứng…) - Tìm điều kiện để hàm số đồng biến khoảng, đoạn, … - Tìm điều kiện để cực đại cực tiểu hàm số nằm khoảng, đoạn… - Bài tốn phải so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực Chính vậy, chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải toán liên quan đến việc so sánh nghiệm phương trình bậc hai’’ Nó thực có ích q trình tơi dạy ơn thi học sinh giỏi cấp tỉnh hệ GDTX ôn thi THPT Quốc gia Tạo hứng thú cho học sinh mơn tốn Tơi xin đưa để bạn đồng nghiệp tham khảo cho ý kiến Mục đích nghiên cứu: Thực đề tài tơi muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong q trình dạy học tơi nhận thấy dạng tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực lớp 10 dạng toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (đoạn), tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu hàm số khoảng (đoạn) lớp 12 đa số em học sinh cịn lúng túng chưa có phương pháp giải Vì tơi chọn đề tài để đưa download by : skknchat@gmail.com phương pháp giúp em tháo gỡ khó khăn vừa nêu Qua cho học sinh thấy sáng tạo linh hoạt giải tốn Từ đem đến cho học sinh say mê yêu thích học toán, đem lại kết cao học tập Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu định lí Vi-ét, nghiệm tam thức bậc hai so với số α, tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng, toán cực trị hàm số phải sử dụng định lí Vi-ét Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: a Định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: có nghiệm Ngược lại, hai số có tổng tích nghiệm phương trình b Các ứng dụng định lí Vi-ét việc so sánh nghiệm: * Cho phương trình bậc hai: có nghiệm giả sử Đặt: thì: + Nếu hai nghiệm Hai nghiệm trái dấu ( + Nếu Hai nghiệm dương ( + Nếu Hai nghiệm âm ( ) ) ) * Định lí tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm bậc nhất: Hàm số có đạo hàm khoảng K : a Nếu hàm số đồng biến K (bằng không số hữu hạn điểm); download by : skknchat@gmail.com b Nếu hàm số nghịch biến K (bằng không số hữu hạn điểm) * Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực trị * Cách giải bất phương trình bậc hai Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình dạy học mơn Tốn đại số lớp 10, dạy phần tam thức bậc hai, mà cụ thể toán “ so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thức α”, thấy học sinh thường lúng túng việc giải toán cách giải trực tiếp bất phương trình, bất phương trình thường bất phương trình vơ tỷ học sinh thường dễ mắc sai lầm, nhiều cách giải dài dòng phức tạp Để giúp em vượt qua trở ngại tự tin hơn, làm tốt giải tốn loại tơi chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải toán liên quan đến việc so sánh nghiệm phương trình bậc hai’’ Các sáng kiến để giải vấn đề: a Bài toán mở đầu: * So sánh nghiệm phương trình bậc hai: (1) với số thực Giải: Cách 1: Đặt: , ta phương trình: Ta có: Nếu Nếu Khi tốn trở thành so sánh nghiệm phương trình bậc hai với Nếu phương trình và: + , phương trình (1) có hai nghiệm có hai nghiệm và + , phương trình (1) có hai nghiệm + , phương trình (1) có hai nghiệm Cách 2: download by : skknchat@gmail.com Trường hợp 1: Bài tốn u cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm lớn Giả sử phương trình (1) có nghiệm Khi đó: Để phương trình (1) có nghiệm lớn thì: Trường hợp 2: Bài tốn u cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm nhỏ Giả sử phương trình (1) có nghiệm Khi đó: Để phương trình (1) có nghiệm nhỏ thì: Trường hợp 3: Bài tốn u cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ Giả sử phương trình (1) có nghiệm Khi đó: Để phương trình (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ thì: b Các dạng tập: Dạng 1: Dạng tập so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ Giải: Đặt: x = y+1, ta phương trình: (2) Để phương trình (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ 1, tức phương trình (1) có hai nghiệm thỗ mãn: (Giả sử ) Vì nên tốn trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu Kết luận: phương trình cho có nghiệm phân biệt, nghiệm lớn nghiệm nhỏ Ví dụ 2: Cho phương trình: (1) a Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn b Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) Giải: a) Ta có Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm , theo Vi-ét ta có: (2) Phương trình (1) có hai nghiệm lớn download by : skknchat@gmail.com Vậy, với m > phương trình cho có nghiệm phân biệt lớn b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) Vậy với phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) Dạng 2: Dạng tập tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, đoạn hàm số đạt cực đại, cực tiểu khoảng, đoạn Ví dụ 3: Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến khoảng (-1; 1) Giải: TXĐ: D = R Ta có: Giả sử y’ có hai nghiệm Hàm số nghịch biến khoảng (-1; 1) , theo Vi-ét ta có: khoảng (-1; 1) download by : skknchat@gmail.com Vậy giá trị m cần tìm là: Ví dụ 4: Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu a) thỏa mãn: ; b) Giải: Có TXĐ: D = R; Có Để hàm số có cực trị phương trình có hai nghiệm phân biệt Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm a) Hàm số có CĐ, CT thỏa mãn Từ (*) (**) suy giá trị m cần tìm là: b)Hàm số có CĐ, CT thỏa mãn download by : skknchat@gmail.com Vậy giá trị m cần tìm thỏa mãn u cầu Dạng 3: Một số tốn khác Ví dụ 5: Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm Giải: Ta thấy, phương trình (1) khơng nhận x = làm nghiệm Chia hai vế phương trình (1) cho ta phương trình: Đặt: , điều kiện Ta phương trình: (2) Để phương trình (1) có nghiệm, phương trình (2) phải có nghiệm thoả mãn: Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: , ta tìm điều kiện cho phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm thỏa mãn: + Để phương trình (2) vơ nghiệm: + Để phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn: Đặt: (3) , ta phương trình: (4) Để phương trình (2) có hai nghiệm thỗ mãn , phương trình (3) phải có hai nghiệm phương trình (4) có hai nghiệm Để phương trình (3) có hai nghiệm thoã mãn: thoã mãn: thoã mãn: download by : skknchat@gmail.com (5) Để phương trình (4) có hai nghiệm thoã mãn: (6) Từ (5) (6), ta có Vậy, để phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm thỏa mãn: , thì: Vậy, để phương trình (1) có nghiệm thì: Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm Giải: (1) Để phương trình (1) có nghiệm, phương trình: (2) phải có nghiệm Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm , ta tìm điều kiện cho phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm: mà + Để (2) vô nghiệm vô nghiệm + Để (2) có hai nghiệm mà Đặt: , ta phương trình: (3) download by : skknchat@gmail.com Để (2) có hai nghiệm có hai nghiệm: mà , phương trình (3) phải Vậy, để phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 7: Tìm m để hệ: (I) có nghiệm Giải: (I) Đặt: , điều kiện: , ta có hệ: Ta có, u; v có nghiệm phương trình: (II) (1) Để hệ (I) có nghiệm hệ (II) phải có nghiệm Để hệ (II) có nghiệm phương trình (1) phải có hai nghiệm Đặt: , ta phương trình: Để phương trình (1) có hai nghiệm phương trình (2) phải có hai nghiệm (2) và , 10 download by : skknchat@gmail.com Vậy, với hệ (I) có nghiệm Bài tập áp dụng: 1.Cho phương trình: a) Có hai nghiệm lớn b) Có hai nghiêm phân biệt lớn Cho phương trình: a) Có nghiệm thuộc khoảng Tìm m để phương trình: Tìm m để phương trình: b) Có hai nghiêm phân biệt, mà nghiệm lớn phương trình thuộc khoảng Tìm điều kiện m để hàm số: a) đồng biến b) nghịch biến khoảng (-1; 1) đồng biến x  c) d) đồng biến khoảng (0;3) Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: Cho hàm số cực tiểu Tìm m để hàm số có cực đại, thỏa mãn: a) b) c) ; ; ; Tìm m để phương trình: Cho phương trình: có hai nghiệm phân biệt .Tìm m để phương trình: 11 download by : skknchat@gmail.com a) Có nghiệm b) Có nghiệm phân biệt Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục thân, đồng nghiệp nhà trường: - Đề tài bắt đầu thực từ năm học 2014-2015 trực tiếp lớp 12B 1, thực năm học 2015-2016 lớp 10B3 Kết đa số em biết so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực Vi-ét, giải băn khoăn, e ngại cho học sinh giải dạng tốn Đề tài góp phần nâng cao kết học tập mơn Tốn nói riêng, kết học tập em nhà trường nói chung - Kết khảo sát lớp 12B1, lớp 10B3 đa số em làm dạng toán tam thức bậc hai liên quan đến tam thức bậc hai Cụ thể sau: Trước vận dụng SKKN Sau vận dụng SKKN Lớp Số học sinh Số học sinh Số học sinh Số học sinh không đạt đạt không đạt đạt Lớp 12B1 9,2% 90,8% 4,8% 95,2% Lớp 10B3 12,5% 87,5% 8,4% 91,6% - Những kết khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tơi kết luận mục đích nghiên cứu đề tài hồn thành đề tài có tính khả thi cao - Tôi hy vọng rằng, cuấn tài liệu mà thầy giáo dạy Tốn yêu thích, đồng thời giúp em học sinh học tốt phần tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai, hàm số đơn điệu, cực trị hàm số Qua góp phần nâng cao kết học tập em III Kết luận, kiến nghị: Kết luận: Trong chương trình Đại số lớp 10 cũ có trình bày định lí đảo dấu tam thức bậc hai, nên giải tốn có liên quan đến việc phải so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực đó, học sinh khơng gặp q nhiều khó khăn có sở lí thuyết để áp dụng Bây giờ, chương trình lược bỏ định lí đảo dấu tam thức bậc hai, nên viết tơi giúp em học sinh giải lượng lớn toán so sánh nghiệm mà chương trình tốn phổ thơng 12 download by : skknchat@gmail.com Kiến nghị: Đề tài có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt dùng cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi học sinh giỏi,… Vì thời gian tới, tơi tiếp tục nghiên cứu mở rộng để đề tài hoàn chỉnh hơn, thực tài liệu bổ ích Để đề tài hiệu thì: - Cần điều chỉnh phạm vi tập nhằm áp dụng nhiều đối tượng học sinh - Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm chuyên đề khác có liên quan - Cần có quan tâm, ủng hộ cấp lãnh đạo XÁC NHẬN CỦA GIÁM ĐỐC Như Thanh, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Trần Ánh Dương 13 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức: Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội, 2005 Lê Hồng Đức (Chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc: Phương pháp giải tốn đại số, NXBĐHSP, 2004 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)- Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10, NXBGD,2006 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Cấn Văn Tuất – Nguyễn Tiến Tài, Giải tích 12, NXBGD,2008 14 download by : skknchat@gmail.com ... tốt giải toán loại chọn đề tài ‘? ?Áp dụng định lý Vi- ét giải toán liên quan đến vi? ??c so sánh nghiệm phương trình bậc hai? ??’ Các sáng kiến để giải vấn đề: a Bài toán mở đầu: * So sánh nghiệm phương. .. phải so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực Chính vậy, tơi chọn đề tài ‘? ?Áp dụng định lý Vi- ét giải toán liên quan đến vi? ??c so sánh nghiệm phương trình bậc hai? ??’ Nó thực có ích q trình. .. lí Vi- ét: Nếu phương trình bậc hai: có nghiệm Ngược lại, hai số có tổng tích nghiệm phương trình b Các ứng dụng định lí Vi- ét vi? ??c so sánh nghiệm: * Cho phương trình bậc hai: có nghiệm giả sử