Skkn kỹ thuật xử lí nhanh các bài toán liên quan đến môđun số phức bằng công cụ hình học góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề số phức trong chương trình môn toán thpt

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong thực tiễn qua trình dạy học ơn thi THPT QG, kỳ thi tốt nghiệp THPT, dạy chủ đề Số phức, thường tâm đắc với việc hướng cho học sinh nhìn số phức mắt hình học đối dạng tốn liên quan đến biểu diễn hình học cực trị số phức Những kỹ thuật thường xuyên áp dụng để giảng dạy cho lớp ban KHTN giúp giúp em có thêm hứng thú, tư tin gặp vấn đề, dạng tốn khó số phức xuất đề thi, điều giúp em giải vấn đề nhanh góp phần nâng cao chất lượng dạy học kết thi TN THPT môn Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy, định chọn đề tài: “Kỹ thuật xử lí nhanh tốn liên quan đến mơđun số phức cơng cụ hình học góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Số phức chương trình mơn Tốn THPT’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021–2022 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh giỏi lớp 12 nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp toán số phức đề thi Tốt nghiệp THPT đề thi ĐGNL ĐGTD tuyển sinh đầu vào trường Đại học năm 2022, sau khuyến khích em dựa vào điều đã học để sáng tạo tập hay nội dung chương trình, qua giúp em phát triển tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi tập mức độ vận dụng đề thi nêu 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào nội dung: Lớp tốn có mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra, quan sát - Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Số phức a Định nghĩa: Cho số phức có dạng: với , gọi phần thực , gọi phần ảo , gọi đơn vị ảo thỏa mãn b Biểu diễn hình học số phức Trên mặt phẳng tọa độ , số phức biểu diễn điểm Ngược lại, điểm biểu diễn số phức Nhận xét: +) ; skkn +) Nếu có điểm biểu diễn 2.1.2 Mối liên hệ số phức yếu tố hình học phẳng (nhìn số phức mắt hình học) (1) điểm biểu diễn hình học số phức với mặt phẳng tọa độ (2) Cho điểm biểu diễn số phức , số phức thay đổi thỏa mãn tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính (3) Biểu diễn hình học hai số phức hai điểm đối xứng qua trục nên tập hợp điểm biểu diễn hai số phức hình hai hình đối xứng qua trục (4) Nếu điểm biểu diễn hai số phức với trung điểm đoạn (5) Cho điểm biểu diễn hai số phức Số phức thay đổi thỏa mãn quỹ tích điểm biểu diễn số phức trung trực đoạn (6) Cho điểm biểu diễn hai số phức Số phức thay đổi thỏa mãn quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng (7) Cho hai số phức khơng đổi có điểm biểu diễn hai điểm Một số phức thay đổi thỏa mãn Khi + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường E-lip nhận làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức đoạn thẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Qua trao đổi với thầy cô giáo môn tốn nhà trường, tơi nhận thấy việc thầy cịn dạy em tìm lời giải cho tốn: Tìm mơ đun số phức, tìm GTLN, GTNN mô đun số phức theo phương pháp biến đổi trực tiếp dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để đánh giá Vì vậy, nhận thấy với cách làm đưa học sinh vào số thử thách việc làm thi Tốt nghiệp THPT thi ĐGNL, ĐGTD sau: Một là, thời gian em dành để tìm đáp số tốn nhiều thời gian Hai là, số toán phức tạp em gặp khó khăn việc định hướng tìm lời giải Ngược lại, em có hướng giải tốn khơng đủ thời gian để tìm lời giải nên dẫn đến tình đốn mị Từ thực tế đó, địi hỏi cần có cách tư tốn theo cách giải tốn trắc nghiệm, việc khai thác tối đa tính trực quan việc biểu diễn số phức skkn hình học việc giải tốn việc làm cần thiết việc ơn tập ôn thi giai đoạn 2.3 Giải pháp thực Trong q trình dạy học ơn thi THPT năm gần đây, qua nghiên cứu đề thi thức Bộ giáo dục đào tạo năm 2018, 2019, 2020, 2021 tham khảo năm 2022 Bộ GD&ĐT số đề thi ĐGNL, ĐGTD, hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hình học để tìm lời giải cho số tốn vận dụng cao tìm giá trị mơđun số phức tìm GTLN, GTNN mơ đun số phức sau: Giải pháp Kỹ thuật xử lí nhanh tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường trịn Cần tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta biến đổi thành , để suy tập hợp đường trịn Các tính chất modun số phức thường sử dụng: *) *) , , Ví dụ 1.1 Cho số phức thỏa mãn Tập hợp điểm đường tròn sau đây? A B C D biểu diễn số phức Phân tích: Biến đổi thành dạng modun hai vế để sử dụng giả thiết Hướng dẫn Ta có Vậy tập hợp điểm đường trịn lấy Chọn A Ví dụ 1.2 Cho số phức thỏa mãn Trong mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có bán kính bao nhiêu? A B C D Phân tích: Biến đổi thành dạng lấy modun hai vế để sử dụng giả thiết Hướng dẫn Cách 1: Ta có skkn Vậy Chọn C Cách 2: Ta có Do Vậy Ví dụ 1.3 Cho số phức thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ A đường trịn có tâm B Phân tích: Biến đổi biểu thức C D thành dạng modun hai vế để sử dụng giả thiết Hướng dẫn lấy Cách 1: Ta có Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức Cách 2: Ta có: đường trịn có tâm Chọn B Khi Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm Tổng qt: Để tìm đường trịn biểu diễn số phức thỏa mãn w  (a  bi ) z  c  di với , ta thực biến đổi sau: w  (a  bi ) z  c  di Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán kính skkn với Ví dụ 1.4 Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện đồng thời Tập hợp điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ đường trịn có phương trình dạng Tính giá trị biểu thức A B C D Hướng dẫn , Gọi Khi điểm biểu diễn thuộc đường trịn có tâm bán kính , gọi trung điểm trung điểm Gọi điểm đối xứng của tam giác , có phương trình qua suy Vậy đường trung bình thuộc đường trịn tâm bán kính Chọn C Ví dụ 1.5 Gọi , hai số phức thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có bán kính A B C D Hướng dẫn Gọi điểm biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức Theo giả thiết , hai số phức thỏa mãn nên thuộc đường tròn tâm bán kính Mặt khác Gọi trung điểm suy điểm biểu diễn số phức và Do ta có Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm , bán kính Chọn A Giải pháp Kỹ thuật xử lí nhanh tốn cực trị mơđun số phức có điểm biểu diễn đường thẳng đường trịn skkn Ví dụ 2.1 Cho số phức A thỏa mãn Giá trị lớn B C D Hướng dẫn Ta có Gọi điểm biểu diễn số phức trịn tâm , bán kính Mặt khác , với Do lớn nằm trị lớn Ví dụ 2.2 Cho số phức thỏa mãn trị lớn giá trị nhỏ A B thuộc đường I K và giá Chọn D Gọi Khi C M giá D Hướng dẫn Biến đổi Khi điểm M biểu diễn thuộc đường trịn tâm , bán kính , nên có giá trị lớn hay nhỏ M giao điểm đường thẳng OI với đường tròn nên hiệu Chọn A M1 M0 O I Nhận xét Cần nhận xét vị trí O đường tròn tâm I Ví dụ 2.3 Cho số phức thoả mãn Khi có giá trị lớn là: A B C D Phân tích: Bài tốn quy xét khoảng cách từ điểm A đến điểm M thuộc đường tròn Hướng dẫn Gọi điểm biểu diễn số phức Biến đổi thuộc đường tròn tâm Xét điểm lớn Chọn D Ví dụ 2.4 Cho số phức Tính A thỏa mãn B C skkn D 7 Hướng dẫn Đặt với Từ Gọi số phức quỹ tích đường trịn tâm , bán kính Dễ thấy điểm nên điểm biểu diễn Đặt nằm miền đường tròn Chọn C Ví dụ 2.5 Cho số phức mơđun lớn Số phức A thỏa mãn điều kiện có mơđun bằng: B C Hướng dẫn Cách (Hình học véc tơ) Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi , H Để IM lớn vị trí M cần tìm H cho M D K , I O Suy có Chọn B Cách (Hình học tổng hợp) Tính suy thay số Cách (Hình học véc tơ) Gọi ta có: ta chọn cho , để hướng , Với Ví dụ 2.6 Biết số phức đạt giá trị lớn Tính thỏa mãn biểu thức A B C D Phân tích: Bài tốn quy xét vị trí điểm M thuộc giao đường tròn đường thẳng skkn Hướng dẫn Cách (Hình học tọa độ) Gọi M thuộc đường trịn (C), tâm I(3; 4), R = ta có: Để T lớn d tiếp xúc với đường trịn (C), (lấy t > 0) Ta có M(5; 5) nên Chọn D Cách (Hình học véc tơ) Gọi M thuộc đường tròn (C), tâm I(3; 4), R = Gọi Đến ta cần xác định vị trí M cho hướng Hay Ví dụ 2.7 Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A B C D Phân tích: Quan sát biểu thức tốn ta quy đường thẳng đường tròn Hướng dẫn Đặt , trước hết xét , biểu diễn thuộc đường trịn tâm , bán kính R Mặt khác ta có suy đường thẳng nên IM nhỏ IM vuông góc với M Khi , chứng tỏ Ví dụ 2.8 Cho số phức thỏa mãn Chọn A Giá trị nhỏ A B C Hướng dẫn skkn D 9 Giả sử biểu diễn Khi ta có Gọi , A ta cần tìm , A B khác phía M d Chọn B Ví dụ 2.9 Cho số phức A B B thỏa mãn Giá trị nhỏ C Hướng dẫn điểm biểu diễn số phức Gọi D , từ suy quỹ tích điểm Đặt đường thẳng nằm phía với đường thẳng Điểm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Khi Chọn C Nhận xét: Ví dụ 2.9 so với Ví dụ 2.8 hồn tồn gống phần giả thiết, khác chút biểu thức (VD 2.8) thay (VD 2.9) việc tính tốn phức tạp hai điểm A, B nằm hai phía đường thẳng (d) Ví dụ 2.10 Xét số phức thỏa mãn Gọi , giá trị nhỏ giá trị lớn A Tính C B D Hướng dẫn Gọi y F2 điểm biểu diễn số phức , gọi M Từ giả thiết Quỹ tích điểm đoạn thẳng Gọi F1 H Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra x -3 hình chiếu đoạn lên đường thẳng nằm skkn O 10 Lại có: Chọn B Ví dụ 2.11 Xét số phức thỏa mãn nhỏ Gọi lượt giá trị nhỏ giá trị lớn A Gọi Tính B C Hướng dẫn điểm biểu diễn số phức , gọi đoạn thẳng trực quan dễ kiểm tra hình chiếu Gọi lên đường thẳng lần D Ta có , nghĩa quỹ tích điểm , nhỏ thì Vẽ hình nằm ngồi đoạn Lại có: Chọn B Nhận xét: Có thể tạo lớp toán kiểu VD 2.10 VD 2.11 cách sau - Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức cho quỹ tích đoạn thẳng - Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn mô-đun với số phức biết - Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn đoạn thẳng Điều kiện kiểu chủ yếu dựa vào tính chất: điểm thuộc đoạn thẳng Ví dụ 2.12 Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A B C Hướng dẫn Gọi , ta có Tập hợp điểm biểu diễn số phức thoi (tính cạnh) với skkn Tính D thuộc miền của hình 11 Xét điểm , nằm ngồi hình thoi Theo hình vẽ *) đạt giá trị lớn , suy *) đạt giá nhỏ ( hình chiếu ), suy 10 A B 5 10 N C Chọn D Ví dụ 2.13 Cho số phức M, m GTLN, GTNN A H D Vậy I thỏa mãn Tính B C Gọi D Hướng dẫn +) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền phẳng (T) tơ đậm (hình vẽ) +) Gọi giao điểm đường thẳng đường tròn Ta có +) Gọi (C) đường trịn tâm +) Đường tròn (C) cắt miền (T) khi: Chọn B Giải pháp Kỹ thuật xử lí nhanh tốn cực trị mơđun số phức có liên quan đến hai nhiều số phức có điểm biểu diễn đoạn thẳng đường trịn Ví dụ 3.1 Cho hai số phức , thỏa mãn Gọi a, b giá trị lớn giá trị nhỏ Khi A 77 B 144 C 145 D 154 Phân tích: Bài tốn cho M N thuộc hai đường trịn Cần xét min, max đoạn MN skkn 12 Hướng dẫn nên Ta viết lại Tương tự tâm , suy thay Chọn D Ví dụ 3.2 Xét hai số phức thỏa mãn lớn A B Gọi , Gọi Ta có: số tâm ; ; điểm biểu diễn vectơ biểu diễn C Hướng dẫn ; Có Giá trị vectơ biểu diễn điểm biểu diễn ; D điểm biểu diễn vectơ biểu diễn ; ; Gọi điểm biểu diễn Ta có : Xét với Mà Chọn B hai nghiệm phức phương trình Tính Ví dụ 3.3 Giả sử A biểu diễn số phức Ta chia hai vế cho B C Hướng dẫn hay ta có skkn Đặt D ta có , nói cách khác hai số 13 thuộc đương trịn tâm O, bán kính R = Gọi A, B biểu diễn số từ suy OAB tam giác Không giảm tổng quát chọn , Chọn D Ví dụ 3.4 Trong số phức z thoả mãn mãn A -10 Giá trị nhỏ B có hai số phức C -5 thỏa D Hướng dẫn Ký hiệu , giải sử M biểu diễn z, A, B biểu diễn trung điểm AB Ta có tâm đường trịn Gọi H và: B H A O I nên ta cần ngược hướng Chọn A Nhận xét: Đôi ta xem Elip (thay đổi) đường trịn (thay đổi) nhìn nhận theo cách mở rộng xem elip ảo hay đường trịn ảo để giải tốn nhanh Ví dụ 3.5 Cho hai số phức , thỏa mãn , , Tìm giá trị lớn A B C D Hướng dẫn Gọi , , điểm biểu diễn cho , , mặt phẳng tọa độ Do trung điểm biểu diễn cho số phức Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến tam giác ta có Ta có , suy Gọi Chọn D Ví dụ 3.6 Cho số phức Đẳng thức xảy thỏa mãn skkn nằm 14 Tính giá trị nhỏ biểu thức A B C D Phân tích: Cho điểm M thuộc đường thẳng P, Q thuộc đường trịn Tìm Hướng dẫn Gọi Khi M thuộc trung trực AB có phương trình P, Q di chuyển hai đường tròn tâm I K bán kính R = Nhận xét , nghĩa nên hai đường thẳng , H I K Q P M Rõ ràng ta có tính đối xứng nên nhỏ P, Q thuộc đoạn MI, MK = 2MK Vậy Chọn A Ví dụ 3.7 Cho hai số phức thoả mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B C Hướng dẫn Gọi điểm biểu diễn số phức ; hai điểm biểu diễn hai số phức , Ta có Phương trình đường thẳng +) Do tập hợp điểm biểu diễn số phức đoạn thẳng +) skkn D 15 Gọi điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức Ta có Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn phương trình: có Do , suy khơng cắt đường trịn Gọi hình chiếu lên Dễ thấy nằm đoạn thẳng Gọi giao điểm đoạn với đường trịn Ta có Suy Chọn D Ví dụ 3.8 Xét số phức Tính A B thỏa đạt giá trị nhỏ D C Hướng dẫn • đường trịn • đường trịn • Đặt Tập hợp điểm biểu diễn số phức có tâm bán kính Tập hợp điểm biểu diễn số phức có tâm bán kính Từ ta có Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Khi Gọi điểm đối xứng qua đường thẳng phương trình đường thẳng Do khi ta tìm Chọn A Ví dụ 3.9 Xét ba số phức A Gọi Ta thoả mãn , Giá trị nhỏ B C Hướng dẫn điểm biểu diễn số phức D có với với đường trung trực skkn 16 qua trung điểm nhận làm VTPT với , bán kính đường trịn tâm với , bán kính đường trịn tâm Khi Lấy đối xứng qua , ta , bán kính với đường trịn tâm Khi Dấu “=” xảy Hay Chọn A Ví dụ 3.10 Với hai số phức thay đổi thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A Đặt B với C Hướng dẫn D số thực Từ suy Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức mặt phẳng phức đường thẳng Do nên tập hợp điểm biểu diễn cho số phức tâm đường trịn , bán kính Ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức điểm Gọi điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng skkn , ta tìm 17 Có với hai giao điểm với đường tròn , Khi đó, giao điểm Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ Chọn D Giải pháp 4: Kỹ thuật xử lí nhanh tốn mơđun số phức có liên quan đến số phức có điểm biểu diễn đường elip - Cho hai số phức khơng đổi có điểm biểu diễn hai điểm Một số phức thay đổi thỏa mãn Khi + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường E-lip nhận làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn B M A' I A B' Khi + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức Ví dụ 4.1 Cho số phức thỏa mãn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tính A B C Hướng dẫn Gọi đoạn thẳng Gọi D điểm biểu diễn số phức Đặt Theo nên quỹ tích điểm hai tiêu điểm Đặt , độ dài trục lớn , dễ thấy , tiêu cự đường E-lip có , độ dài trục bé tâm E-lip Suy Ví dụ 4.2 Cho số phức z thỏa mãn A B .Chọn B Tính C D Hướng dẫn Gọi điểm biểu diễn số phức z, Giả thiết trình nên M thuộc elip có phương (1) Hồn tồn tương tự M thuộc elip skkn (2) Quy đồng 18 cân ta có Ta việc thay số: Chọn A Nhận xét: Cách giải số em cịn băn khoăn, sau ta giải sau Theo giả thiết thứ suy (1) Theo quy tắc hình bình hành vào (1) ta (2) Hoàn toàn lập lại với giả thiết thứ hai: Đặt (3) từ (2) (3) suy hay thay trở (2) ta Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn giá trị lớn Tìm T A B C Gọi T D Hướng dẫn Thế Gọi vào giả thiết ta có điểm biểu diễn số phức w từ (1) ta có (1) biểu diễn số Mà ta có Bởi Chọn C Nhận xét: Nếu ta đưa Elip giải bình thường Tuy nhiên toán cho trường hợp đặc biệt nên ta xem xét để giải nhanh Ví dụ 4.4 Cho thỏa mãn Tìm giá trị lớn ? A Gọi B C Hướng dẫn D biểu diễn z, quỹ tích M Elip Nhận xét trung điểm ta cần tính độ dài lớn KM, vị trí cần tìm D, mà cho skkn K F1 I F2 D M 19 (không đổi) nên suy Vậy Chọn B Ví dụ 4.5 Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn A B Gọi C Hướng dẫn M thuộc elip (E), tâm Gọi hướng hay , D ,c= Vậy Ví dụ 4.6 Xét số phức A , Ta có Vậy ta cần xác định vị trí M cho Do ta có có tâm , Chọn A thỏa mãn Tính đạt giá trị lớn B C Hướng dẫn Gọi , trung điểm AB Chú ý D K B A M Điểm M chạy elip ảo (trục lớn 2m thay đổi) Vị trí M H, cho I H Hay ta có Chọn D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn nhiều năm học, đặc biệt từ năm học 2016-2017 bắt đầu hình thức thi trắc nghiệm, áp dụng đề tài giúp em học sinh cảm thấy tự tin say mê việc học tốn có thêm cơng cụ giải nhanh dạng toán đề thi Kết kỳ thi THPT QG (nay TN THPT) mà em tham gia thi, em giải nhanh gọn xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm kỳ thi Tôi thấy em tự tin có hứng thú học tập, có tinh thần tìm tịi học hỏi dạng tốn khó skkn 20 - Đề tài báo cáo dạng chuyên đề sinh hoạt chun mơn tổ Tốn trường THPT Triệu Sơn thầy góp ý đánh giá cao dùng làm tài liệu chuyên môn tổ áp dụng vào giảng dạy ôn thi TN THPT năm 2020, 2021 2022 - Từ năm học 2018-2019, liên tục tham gia giảng dạy từ 1-2 lớp (trong ln có lớp mũi nhọn ban KHTN) kết với tổ chun mơn nâng cao thành tích điểm trung bình mơn tốn kỳ thi TN THPT năm 2019, 2020 2021 góp phần đáng kể vào việc nâng cao thành tích nhà trường điểm trung bình kỳ thi TN THPT, cụ thể: + Năm 2019: Nhà trường có điểm trung bình xếp thứ tỉnh, mơn Tốn có điểm trung bình xếp thứ 29 tỉnh + Năm 2020: Nhà trường có điểm trung bình vươn lên xếp thứ tỉnh (sau THPT chuyên Lam Sơn, THPT Hàm Rồng THPT Bỉm Sơn), mơn Tốn có điểm trung bình 7,35 (tổng số thí sinh dự thi 336) vươn lên xếp thứ 09 tỉnh (tăng 20 bậc), xếp thứ Nhất khối trường THPT huyện Triệu Sơn + Năm 2021: Nhà trường có điểm trung bình tiếp tục giữ ổn định xếp thứ tỉnh, mơn Tốn có điểm trung bình 7,17 (tổng số thí sinh dự thi 330) giữ ổn vị trí tốp đầu tỉnh góp phần khơng nhỏ vào thành tích xếp hạng thứ toàn tỉnh nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua trình áp dụng vào thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn từ năm học 2018 - 2019, thân tơi nhận thấy có kết khả quan, tạo tự tin cho em học giải toán Trong phạm vi SKKN nên quan tâm đến số chủ đề nhỏ hướng xây dựng ví dụ mang tính chất gợi mở, phân hóa theo trình tự từ dễ đến khó, từ đơn lẻ đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp tạo điều kiện phát triển lực tư duy, khả sáng tạo phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Tôi thiết nghĩ với cách xây dựng thực ta mở rộng sang chủ đề khác, nội dung khác chương trình mơn Tốn Đó hướng mà nghiên cứu thời gian tới Đề tài không tránh hạn chế, tơi tiếp tục bổ sung hồn thiện dần năm học tới Tôi mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp để đề tài vào thực tiễn, áp dụng nhiều đạt hiệu cao giảng dạy 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài tiếp tục xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Tốn Tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường em học sinh giúp đỡ hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN skkn 21 viết khơng chép nội dung người khác Trịnh Quốc Phượng skkn ... hình học để tìm lời giải cho số tốn vận dụng cao tìm giá trị mơđun số phức tìm GTLN, GTNN mô đun số phức sau: Giải pháp Kỹ thuật xử lí nhanh tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến. .. diễn 2.1.2 Mối liên hệ số phức yếu tố hình học phẳng (nhìn số phức mắt hình học) (1) điểm biểu diễn hình học số phức với mặt phẳng tọa độ (2) Cho điểm biểu diễn số phức , số phức thay đổi thỏa... thẳng skkn , ta tìm 17 Có với hai giao điểm với đường trịn , Khi đó, giao điểm Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ Chọn D Giải pháp 4: Kỹ thuật xử lí nhanh tốn mơđun số phức có liên quan đến số phức