CHUYÊN đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 4a + b = 5ab Bài 1: Cho : HD : Từ : A= 2a > b > , Tính giá trị : TH 2: a − b = ⇔ 4a = b ( mâu thẫn 2a > b) a2 a − b = ⇔ a = b => A = = 4a − a 3a + 3b = 10ab 2 b>a>0 TH 1: TH 2: , Tính a − 3b = ⇔ a = 3b ( mâu thuẫn b > a > 0) a − 3a −1 3a − b = ⇔ 3a = b => A = = a + 3a A= x + y = 20 xy ( y < x < ) 2 x + y = 20 xy ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = x = y => A = TH1: 3x − x = 3x + x 9x = y TH2: (Mâu thuẫn 2y < 3x < 0) A= x − y = xy, ( y ≠ 0, x + y ≠ ) x− y x+ y ,Tính x − y = xy ⇔ x − xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = Từ x − y = ⇔ x = y => A = TH1: 2y − y = 2y + y x+ y =0 TH2: ( mâu thuẫn x + y # ) A= x + y = xy x> y>0 Bài 5: Cho HD: 3x − y 3x + y , Tính Từ: Bài 4: Cho HD: a −b a+b A= 3a + 3b = 10ab ⇔ 3a − 9ab − ab + 3b = ⇔ ( a − 3b ) ( 3a − b ) = Từ: Bài 3: Cho HD: ab 4a − b 2 4a + b = 5ab ⇔ 4a − 4ab − ab + b = ⇔ ( 4a − b ) ( a − b ) = TH 1: Bài 2: Cho HD: 2 , Tính x+ y x− y x + y = xy ⇔ x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = Từ: x = y => A = TH1: TH2: 2y + y =3 2y − y 2x = y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) x − xy A= 3x − y = 3z 2x + y = 7z x + y x, y ≠ Bài 6: Cho , Tính , HD: 3 x − y = z  x = 2z z − 12 z −8 => => A = =   z + z 13 2 x + y = z  y = 3z Từ gt ta có: P= xy = −1 Bài 7: Cho HD: 1 + y − xy x − xy , Tính P= −( x − y) 1 −x + y + = = =1 y ( y − x ) x ( x − y ) xy ( x − y ) −1( x − y ) Ta có: A= 3y − x = Bài 8: Cho HD: x 2x − 3y + y−2 x−6 , Tính giá trị y − x = => x = y − => A = y − ( y − 6) − y + = + = 12 y−2 3y − − Ta có: Bài 9: Tính biểu thức : x2 y2 z2 A= + + y + z2 − x2 z2 + x2 − y x2 + y − z2 a, với x.y.z =1 mẫu khác x y z P= − + − xy + x + yz − y + xz + z − b, với x.y.z =1 mẫu khác z  x  y  B =  − ÷ − ÷ + ÷ x  y  z  Bài 10: Cho x, y, z khác x- y- z =0, Tính giá trị của: a+b A= 2a + 2b2 = 5ab a −b Bài 11:Tình giá trị biểu thức: với b> a> 2 x + y 10 x− y y > x > 0, = M= xy x+ y Bài 12: Cho , tính giá trị biểu thức: 2a − 5− a  1 P= + , a ≠ ± ÷ 3a − 3a +  3 10a2 + 5a = Bài 13: Cho biểu thức: , Tính giá trị P biết: 2015a b c A= + + ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + Bài 14: Cho abc=2015, Tính HD : a 2bc b c A= + + ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + a 2bc b c ac + c + = + + = =1 ab ( + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + ac + c + B= Bài 15: Cho abc=2, Tính HD : a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + B= a b abc a b abc + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) A= a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + Bài 16: Cho abc=1, Tính HD : a 2bc b c a 2bc b c A= + + = + + =1 ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + ab ( + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + B= a b 2012c + − ab + a − 2012 bc + b + ac − 2012c − 2012 Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính HD : a b abc a b abc B= + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx Bài 18: Chứng minh xyz=1 HD : xyz xyz xyz xyz VT = + + = + + = = VP xyz + x yz + xy xyz + y + yz + z + zx xy ( z + xz + 1) y ( xz + + z ) + z + zx 2010 x y z + + =1 xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: HD : x yz y z VT = + + =1 xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + abc = 2016 Bài 20 : Tính giá trị biểu thức sau biết : 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac P= − + 3c − 2bc + 2016 3− 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a P= x + 2xy + y + 2yz + z + 2zx + + + x + xy + xz + y + yz + yx + z + zx + zy + Bài 21: Tính GTBT biết HD : yz( x + 2xy + 1) xz( y + 2yz + 1) xy( z + 2zx + 1) P= + + yz( x + xy + xz + 1) xz( y + yz + xy + 1) xy( z + zx + xy + 1) = ( 1+ y) + y( 1+ z) + 1+ z + z( 1+ x) + 1+ x + x( 1+ y) ( 1+ y) ( 1+ z) ( 1+ z) ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ y) = y 1 z x + + + + + + 1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x xyz = = y + 1+ z 1+ x + + =3 y + 1+ z x + Bài 22: Cho HD : a 10 = b A= , Tính 16a − 40ab 8a − 24ab 100 10 50 16 b − 40 b a 10 10 = => a = b => A = = =5 100 10 10 b 3 .b − 24 .b 9 a + b3 + c = 3abc a+b+c = Bài 23: Cho a,b,c khác đôi , CMR: HD : a + b = −c ⇔ ( a + b ) = −c ⇔ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −c ⇔ a + b3 + c = 3abc Ta có : a+b+c = a + b + c = 3abc Bài 24: Cho a,b,c khác đôi , CMR: HD : a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ac ) + 3abc Ta có : a + b3 + c = 3abc => ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Vì a + b + c − ab − bc − ca = ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = Mà Nên 2 ( Mâu thuẫn a+b+c = a + b + c = 3abc, ( a, b, c ≠ ) Bài 25: Cho HD : 3 , Tính a + b + c = => P = TH1 : a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b c a b c a , Mà a + b3 + c = 3abc a + b + c − ab − bc − ca = => a = b = c => P = ( + 1) ( + 1) ( + 1) = TH2 : a+b b+c c+a = = c a b Bài 26: Cho a,b,c khác đôi HD : a + b b + c c + a 2( a + b + c) = = = c a b a +b+c Từ gt )  a  b  c  P =  + ÷1 + ÷1 + ÷  b  c  a  a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc Ta có : a≠b≠c , Tính  a  b  c  B =  + ÷ + ÷ + ÷  b  c  a  Nên a + b + c = => B = TH1 : Nếu a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b c a b c a a + b + c ≠ => gt = => B = TH2 : a b + b c + c a = 3a b c 3 Bài 27: Cho HD : 3 3 2 , Tính a + b b + c a + c 2c 2a 2b = =8 b c a b c a  a  b  c  A =  + ÷ + ÷ + ÷  b  c  a  ab = x a+b b+c c+a y+ z x+ z x+ y  3 = bc = y => x + y + z = 3xyz => x + y + z = => A = b c a bc ac ab ac = z  Đặt − ab −bc − ac = = −1 bc ac ab x = y = z => a = b = c => A = Hoặc : Bài 28: Cho a,b,c số thỏa mãn: HD : gt=> T Tính  a  b  c  A =  + ÷1 + ÷ + ÷  b  c  a  a +b−c b+ c −a c + a −b a +b+ c = = = c a b a+b+c a + b + c = => A = TH1 : a +b−c b+c −a c +a −b = = c a b a+b b+c a+c = −1 a c a a + b + c ≠ => gt = => a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b => A = TH2 :  ax + by = c  bx + ay = a cx + ay = b  a + b + c = 3abc Bài 29: Cho x,y hai số thỏa mãn: , CMR : HD : ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c => ( a + b + c ) ( x + y − 1) = Cộng theo vế gt=> a + b + c = => a + b3 + c = 3abc TH1: x + y = => a = b = c > a + b3 + c3 = 3abc TH2: a + b2 + c2 N= ( a + b + c) a+b+c ≠ a + b + c = 3abc Bài 30: Cho , Tính giá trị HD: 3a => a = b = c => N = = 9a Từ gt A= x + y + z = xyz Bài 31: Cho HD: ( x + y) ( xyz y + z) ( z + x) , Rút gọn TH 1: x + y + z = => A = Từ gt=> xyz x3 = −1 TH : x = y = z => A = = − xyz x.2 x.2 x A = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) 3 Bài 32: Rút gọn : HD: a + b − 2c = x, b + c − 2a = y, c + a − 2b = z Đặt: A = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b ) ( x + y + z + ) = 1 + + =0 a b c A= 1 + + =0 a b c C= 1 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 33: Cho a,b,c khác đôi , Rút gọn: HD: 1 + + = ⇔ ab + bc + ca = => a + 2bc = a + bc − ab − ca = ( a − b ) ( a − c ) a b c Ta có: b + 2ac = ( b − a ) ( b − c ) , c + 2ba = ( c − a ) ( c − b ) Tương tự: 1 c−b+a−c+b−a A= + + = =0 ( a − b) ( a − c ) ( b − a ) ( b − c) ( c − a ) ( c − b) ( a − b) ( b − c ) ( c − a ) Khi đó: 1 1 1 + + =0 P= + + a b c a − 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 34: Cho a, b, c đơi khác , Tính 1 bc ac ab + + =0 B= + + a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 35: Cho a,b,c khác đôi , Rút gọn: HD: Theo 26 => ab ( c − b ) + ac ( a − c ) + ab ( b − a ) bc ac ab B= + + = ( a − b) ( a − c) ( b − a) ( b − c) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a ) Phân tích tử => B a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 36: Cho a,b,c khác đôi ,Rút gọn: HD: Theo 26 a ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c ( b − a ) a2 b2 c2 => C = + + = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a ) Phân tích tử =>C ≠ 1 + + =0 a b c A= bc ac ab + + a b2 c Bài 37: Cho a,b,c 0, , Tính HD: 1 1 1 + + = => + + = a b c a b c abc Từ gt = abc abc abc 1 1 A = + + = abc  + + ÷ = abc =3 a b c abc a b c  Khi đó: Bài 38: Cho x,y,z đơi khác ≠ 1 + + =0 x y z A= yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy , Tính A= ab bc ac + 2 + 2 2 a + b − c b + c − a c + a − b2 Bài 39: Cho a+b+c=0 a,b,c 0, Rút gọn HD: a + b + c = => a + b = −c => a + b + 2ab = c => a + b − c = −2ab Từ b + c2 − a = −2bc, c + a − b2 = −2ac Tương tự: , Khi đó: ab bc ac −3 A= + + = −2ab −2bc −2ac ≠ B= a2 b2 c2 + + a − b2 − c2 b2 − a − c c − a − b2 Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn HD: a + b + c = => b + c = −a => b + c + 2bc = a => a − b − c = 2bc Từ , 2 2 2 b − a − c = 2ac, c − a − b = 2ab Tương tự: , Khi đó: 2 a b c 3abc B= + + = a + b3 + c3 = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc ( ≠ A= ) 1 + + 2 2 2 b +c −a c + a −b a +b −c Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn HD: a + b + c = => b + c = − a => b + c + 2bc = a => b + c − a = −2bc Từ: c + a − b2 = −2ac, a + b − c = −2ab Tương tự: , Khi đó: 1 −1  a + b + c  A= + + =  ÷= −2bc −2ac −2ab  abc  Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c HD: Từ ≠ A= 0, Rút gọn a + b + c = => a + b3 + c = 3abc a b2 c + + bc ca ab A= , đó: a3 b3 c 3abc + + = =3 abc abc abc abc 1 + + = 0, ( x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ ) x y z Bài 43: Cho HD: yz xz xy + + x2 y z , Tính giá trị biểu thức: 1 a = ,b = ,c = x y z Với , Áp dụng kết câu a ta có: 1 1 1 yz zx xy xyz xyz xyz + 3+ 3= => + + = + + = xyz  + + ÷ = xyz =3 x y z xyz x y z x y z y z  xyz x 1 + + =0 a b c a + b2 + c = Bài 44: Cho a+b+c=1, , CMR: HD: a + b + c = ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = Từ , (1) 1 ab + bc + ca + + =0⇔ = ⇔ ab + bc + ca = a b c abc Mà: , thay vào (1)=> ĐPCM 1 1 1 + + = A= + + x + y + z = xyz x y z x y z ≠ Bài 45: Cho x,y,z 0, Thỏa mãn: , Tính HD:   x+ y+z 1 1 1 1  1 + + = ⇔ + + +  + + ÷= ⇔ + + +  ÷= x y z x y z x y z  xy yz zx   xyz  Từ: A + = => A = Nên 1 1 1 + + =2 + + =2 a + b + c = abc a b c a b2 c ≠ Bài 46: Cho a,b,c , , CMR: HD: 1 1 1 1  1   a +b+c  + + = ⇔ + + +  + + ÷= ⇔ + + +  ÷= a b c a b c a b c  ab bc ca   abc  a b c + + =0 x y z a + b + c = 0, x + y + z = Bài 47: Cho Bài 48: Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn : HD: a.x2 + b.y2 + c.z2 = , CMR: a+b+c = 1 + + =0 a b c , Tính A = a2 + b2 + c2 a + b + c = ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = Từ: , (1) 1 + + = ⇔ ab + bc + ca = a b c A + 2.0 = => A = thay vào (1) 1 1 1 + + =2 A= + + a + b + c = abc a b c a b c Bài 49: Cho , Tính HD: 1 1 1 1   + + = ⇔ + + +  + + ÷= a b c a b c  ab bc ca  Từ:  a +b+c  ⇔ A + 2 ÷= ⇔ A + = ⇔ A =  abc  Mà: 1 + + =3 a b c 1 + + =7 a b2 c2 Bài 50: CMR: Nếu a+b+c=abc Thì ta có: a b c x y z x2 y z + + =0 + + =1 A= + + x y z a b c a b c Bài 51: Cho , Tính HD: x y z x2 y z  xy yz zx   cxy + ayz + bzx  + + = ⇔ + + +  + + ÷= ⇔ A + 2 ÷= a b c a b c abc  ab bc ca    Từ: (1) a b c + + = ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z A + 2.0 = ⇔ A = Mà: thay vào (1) ta được: a2 b2 c x y z a b c + + = 0, + + = A= + + x y z a b c x y z Bài 52: Cho , Tính HD:  ab bc ca   abz + bcx + cay  a b c a2 b2 c2 + + = ⇔ + + +  + + ÷= ⇔ A +  ÷= x y z x y z xyz  xy yz zx    Từ: (1) x y z + + = ⇔ bcx + acy + abz = A + 2.0 = => A = a b c Mà: thay vào (1) ta được: a b c b2 c a + + = + + abc = b2 c2 a a b c Bài 53: Cho số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: , CMR ba số a,b,c phải có số bình phương số cịn lại HD: a b c b2 c2 a x = , y = , z = => = , = , = => xyz = b c a a x b y c z Đặt: 1 x + y + z = + + = xy + yz + zx x y z a = ( x + y + z ) = A + 2( x y + y z + z x ) Ta có : ( x + y + z ) = a + ( xy + yz + zx ) = ⇔ xy + yz + zx = , Mặt khác: −a a4 a4 ⇔ ( xy + yz + zx ) = ⇔ x y + y z + z x + xyz ( x + y + z ) = 4 x2 y + y z + z x2 = a4 a = A + a4 a4 = A+ Thay lên ta đươc : a + b + c = 2010, Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 Tính giá trị biểu thức: 4 A = a +b +c HD: ab + bc + ca = ( a + b + c) − ( a + b2 + c ) = − 2010 = −1005 2 Ta có: 2 a 2b + b 2c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) ( −1005 ) − 2abc.0 = 10052 => = A = a + b + c = ( a + b + c ) − ( a 2b + b 2c + c a ) = 2010 − 10052 = 2020050 => a + b4 + c4 = 2 2 ( a +b +c ) 1 + + =3 a b c Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: Bài 10: CMR: Nếu 1 + + =7 a b2 c a+b+c=abc Thì ta có: HD : ( a + b + c ) = ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = ⇔ a + b + c = −2 ( ab + bc + ca ) Ta có : (a + b + c ) = ( ab + bc + ca ) 2 ⇔ a + b + c + ( a 2b + b 2c + c a ) = ( a 2b + b 2c + c a + 2abc ( a + b + c ) ) 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 ⇔ a + b + c = ( a b + b c + c a ) ⇔ ( a + b + c ) = a + b + c + 2a b + 2b c + 2c a ⇔ ( a + b4 + c ) = ( a + b2 + c ) => ĐPCM x y + xy = −12 A = x3 + y3 xy + x + y = −1, Bài 101: Cho số x,y thỏa mãn: , Tính HD :  xy + ( x + y ) = −1  a + b = −1  a =  a = −4 ⇔ =>     ab = −12 b = −4  xy ( x + y ) = −12 b = Từ gt ta có : A = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) Khi Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính x2 + y2 x3 + y x− y a, b, c, HD : x + y = ( x + y ) − xy = 81 − 28 a, x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 93 − 3.14.9 = 351 b, 2 ( x − y ) = ( x + y ) − xy c, x5 + y = ( x3 + y ) ( x + y ) − x y ( x + y ) d, A = ( x3 − y ) − ( x + y ) x5 + y d, Bài 103: Cho x-y=2, Tính : HD : x − y = ( x − y ) + xy ( x − y ) Ta có : , Mà : 2 ( x + y ) = ( x − y ) + xy => A = 2.8 + 12 xy − ( + xy ) Bài 104: Cho HD: a+ b = ( ( ) ) ( ) , Tính giá trị biểu thức: ) ( ) ( C = a3 + b3 − a2 + b2 = 2( a + b) a2 − ab + b2 − a2 + b2 Ta có: = a2 − ab + b2 − a2 + b2 ( ( ) ( C = a3 + b3 − a2 + b2 ) ( ) ) ( ) ( ) = a2 + b2 − 2ab − a2 + b2 = − a2 + b2 − 2ab = − ( a + b) = −1 Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính x2 + y2 x3 + y a, b, HD : a, x + y = ( x − y ) + xy x− y c, x3 + y = ( x + y ) ( x + y ) − xy ( x + y ) b, , ( x + y) = ( x − y ) + xy = 49 + 4.60 , mà : A = a + b + 3ab ( a + b ) + 6a 2b ( a + b ) 3 Bài 106: Cho a+b=1, tính HD : a + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) a + b = ( a + b ) − 2ab Ta có : , A = ( x6 − y6 ) − ( x4 + y ) x2 − y = Bài 107: Cho HD : , Tính x4 + y4 = ( x2 − y ) + 2x2 y x6 − y = ( x2 − y ) ( x4 + y ) + x2 y ( x + y ) , mà : C = ( a + b3 ) − ( a + b ) , thay vào ta Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị biểu thức HD : C = ( a3 + b3 ) − ( a + b ) = ( a + b ) ( a − ab + b ) − ( a + b ) Ta có: 2 ( a − ab + b2 ) − ( a + b ) = − ( a + b ) − 2ab = − ( a + b ) = −1 = a + b + c =  2  a + b + c = 2012 A = a4 + b4 + c4 Bài 109: Cho số a, b, c thỏa mãn: , Tính HD: a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = −2 ( ab + bc + ca ) a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) 2 2 2 => 2  a + b2 + c  20122 − 2abc ( a + b + c ) =  = ÷   A = a + b + c = ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) = => ( x + y + z) =x +y +z 2 Bài 110: Cho HD : ( x + y + z) 1 + 3+ 3= x y z xyz x, y , z ≠ 20122 , CMR: = x + y + z => xy + yz + zx = => xy + yz + zx 1 = => + + = xyz x y z Từ : 1 + 3+ 3= x y z xyz Khi : ( a + b + c) = ( ab + bc + ca ) Bài 111: CMR: Nếu a=b=c HD: 2 a + b + c − ab − bc − ca = ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = Từ: 2 A = ( 2a + 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b ) a + b2 + c2 = m Bài 112: Cho , Tính theo m giá trị của: HD: Phân tích theo đẳng thức: ( 5a − 3b + 8c ) ( 5a − 3b − 8c ) = ( 3a − 5b ) a − b = 4c Bài 113: Cho , CMR: HD: VT = ( 5a − 3b ) − 64c = 25a − 30ab + 9b − ( 16a + 16b ) = ( 3a − 5b ) x2 + y + 1 + =4 x2 y2 Bài 114: Tìm x,y biết: HD:   1 x2 + − +  y2 + − ÷ = x y   x2 y z x2 + y + z + + = Bài 115: Tìm x,y,z biết : HD:  x2 x2   y y   z z   − ÷+  − ÷+  − ÷ =       Bài 116: Cho HD: x − yz y − zx z − xy = = a b c a= Đặt gt =k=> a − bc b − ca c − ab = = x y z , CMR : x − yz y − zx z − xy ,b = ,c = k k k ax + by + cz = 0, a + b + c = 2000 a − bc, b − ca, c − ab , sau tính: thay vào ax + by + cz bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) 2 = 2000 Bài 117: Cho , CMR : HD: ( ax + by + cz ) = ⇔ a x + b2 y + c z = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Từ bc ( y − yz + z ) + ac ( x − xz + z ) + ab ( x − xy + y ) Xét mẫu số: = bcy + bcz + acx + acz + abx + aby + ( a x + b y + c z ) = c ( ax + by + cz ) + b ( ax + by + cz ) + a ( ax + by + cz ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) VT = = 2000 a+b+c Bài 118: Cho a,b,c ba số khác thỏa mãn : ( ax + by + cz ) = x + y + z a + b2 + c2 ( HD: )( ) ay − bx cx − az bz − cy = = c b a , CMR : acy − bcx bcx − abz abz − acy = = = k = => ay − bx = cx − az = bz − cy = c2 b2 a2 Đặt gt=k=> 2 2 2 ( ay − bx ) = ( cx − az ) = ( bz − cy ) = ⇔ ( ay − bx ) + ( cx − az ) + ( bz − cy ) = => => ( a y + b2 x + c x + a z + b z + c y ) − ( aybx + cxaz + bzcy ) = (a y + a z + a x2 ) + ( b2 x2 + b y + b z ) + ( c x + c y + c z ) => − ( a x + b y + c z + 2axby + 2bycz + 2axcz ) = ⇔ ( a + b + c ) ( x + y + z ) − ( ax + by + cz ) = =>ĐPCM ax + by + cz = ( x + y + z ) ( a + b + c ) x − yz = a, y − zx = b, z − xy = c 2 Bài 119: Cho x, y , z ≠ Với HD: CMR :  x − xyz = ax  3 3  y − xyz = by => ax + by + cz = x + y + z − 3xyz  z − xyz = cz  Từ gt=> => ax + by + cz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( x + y + z ) ( a + b + c ) Bài 120: Cho số x,y,z thỏa mãn : HD: x2 + y + =   y + 2z +1 = z2 + 2x +1 =  Cộng theo vế gt ta được: (x A = x 2000 + y 2000 + z 2000 , Tính + x + 1) + ( y + y + 1) + ( z + z + 1) = => x = y = z = −1 P = x+ y+ z Bài 121: Cho số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính HD: ( x + 1) ( y + 1) =  2 ( x + 1) ( z + 1) = 16 => ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 4.16.9 => ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 24  ( y + 1) ( z + 1) = Từ gt ta có: 2x3 + y3 − xyz = − z3 27 Bài 122: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: , Tính giá trị biểu thức: HD:  6x + 3y − 2z N = 1−   6x − 3y + 2z 2018 2x3 + Vì 3 3 −2z3 y − xyz = ( 6x) + ( 3y) + ( 2z) = 108xyz 27 Áp dụng đẳng thức: a+ b+ c = a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a = b = c a3 + b3 + c3 = 3abc Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: 6x + 3y + 2z > => 6x = 3y = 2z , mà x, y,z dương nên thay vào ta có : 2018  6x + 3y − 2z  N =  2− 6x − 3y + 2z ÷   2018  2z + 2z − 2z  =  2− 2z − 2z + 2z ÷   =0 a+ 1 =b+ =c+ b c a Bài 123: Cho a,b,c ba số thực đôi khác khác 0, thỏa mãn: , CMR: abc=1 abc=-1 HD: 1 b−c c−a a −b a − b = − => a − b = , T => b − c = ,c − a = c b bc ca ab Từ gt=> ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) => a − b b − c c − a a 2b 2c − = ( a − b) ( b − c) ( c − a) = ( )( )( ) ( abc ) Nhân theo vế: ( abc ) = => abc = Vì a,b,c khác đơi nên , -1 ( ) by + cz = a, ax + cz = b ax + by = c Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: và , Trong a,b,c số dương 1 + + x +1 y +1 z +1 cho trước, CMR : , không phụ thuộc vào a,b,c HD: Cộng theo vế gt ta có: 2c a + b + c = ( ax + by + cz ) => a + b + c = ( c + cz ) = 2c ( + z ) => = z +1 a + b + c 2a 2b = , = x +1 a + b + c y +1 a + b + c Tương tự: x= Bài 125: Cho HD: a−b b−c c−a ,y= ,z = a+b b+c c+a x +1 = Tính a−b 2a +1 = a+b a+b ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) = ( 1− x) ( 1− y ) ( 1− z ) , Thì , Tương tự a+b b+c a +c b+c a+c b+a + + = −1 a −b b −c c − a b −c c − a a −b Bài 126: Cho a,b,c ba số thực khác nhau: CMR: HD: a+b 2a 2b b+c 2a 2c x= => x + = , x −1 = y= => y + = , y −1 = a −b a −b a −b b−c b−c b−c Đặt: , c+a 2c 2a z= => z + = , z −1 = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) c−a c−a c−a , Khi đó: xy + yz + zx = −1 Khi đó: x = by + cz y = ax + by z = ax + by Bài 127: Cho , x+y+z khác 1 A= + + 1+ a 1+ b 1+ c Tính giá trị: HD: x + y + z = ( ax + by + cz ) = ( ax + x ) = x ( a + 1) => 2x = a +1 x + y + z Cộng theo vế gt ta được: 2y 2z = , = b +1 x + y + z c +1 x + y + z Tương tự: 2a = by + cz  2b = ax + cz 1 M= + + 2c = ax + by x+2 y+2 z+2  a+b+c ≠ Bài 128: Cho , Rút gọn: HD: 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz ⇔ a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a ( x + ) Cộng theo vế gt tacó b a c = => = = y+2 a+b+c z +2 a+b+c x+2 a+b+c , Tương tự: , 2 2 2 2 a +b −c b +c −a c + a −b + + =1 2ab 2bc 2ac Bài 129: Cho , CMR ba số a,b,c có số tổng hai số HD: ( a + b2 − c ) c + ( b2 + c − a ) a + ( c + a − b2 ) b = 2abc Từ gt ta có: ( a + b − c + 2ab ) c + ( b + c − a − 2bc ) a + ( c + a − b − 2ac ) b = ( a + b + c) ( a + b − c) c + ( b − c + a) ( b − c − a) a + ( c − a + b) ( c − a − b) b = ( a + b − c) ( a + c − b) ( b + c − a) = c = a+b a+c=b hoặc: b+c = a bc ( y − z ) + ca ( z − x ) + ab ( x − y ) A= ax + by + cz = 2 ax + by + cz Bài 130: Cho , Rút gọn HD: ( ax + by + cz ) = ⇔ a x + b2 y + c z = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Từ bc ( y − yz + z ) + ac ( x − xz + z ) + ab ( x − xy + y ) Xét mẫu số: = bcy + bcz + acx + acz + abx + aby + ( a x + b y + c z ) = c ( ax + by + cz ) + b ( ax + by + cz ) + a ( ax + by + cz ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) A= ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) ax + by + cz = a+b+c Khi đó: B= x+ y+ z =0 Bài 131: Cho HD: x2 + y2 + z ( y − z) + ( z − x) + ( x − y) 2 , Rút gọn: ( x + y + z) Ta có: = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = ⇔ x + y + z = −2 ( xy + yz + zx ) ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) Khi đó: Mẫu = B= Vậy Bài 132: Cho số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c P = x + y + z1945 + 2017 ≠ x4 + y + z x4 y z = + + a + b4 + c4 a b4 c HD:  x4 x4   y4 y4   z4 z4  − ÷+  − ÷+  + ÷=  4 4 b   a + b4 + c4 c4   a +b +c a   a +b +c Từ gt=> x = y = z = => P = 2017 nên ≠ Bài 133: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: 1 1 + 2015 + 2015 = 2015 2015 2015 a b c a + b + c 2015 1 1 + + = a b c a+b+c , CMR: HD: 1 b+c b+c 1 1 − +  + ÷= ⇔ + =0 a a+b+c b c a ( a + b + c) bc Từ gt ta có: , Tính b + c = => b = −c => TH1: a 2015 + b 2015 + −1 = 2015 2015 2015 2015 b a +b −b 1 + = ⇔ bc + a + ab + ac = ⇔ ( a + b ) ( a + c ) = a + ab + ac bc TH2: 3 => giống TH1: a b c + + = 1006 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 2 Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: M= Tính giá trị biểu thức: HD : M = 2( a + b + c) , a +b b +c c +a + + 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 x ( y − xz ) ( − yz ) = y ( x − yz ) ( − xz ) x ≠ y , xyz ≠ 0, Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: 1 + + = x+ y+ z x y z CMR : HD: ( x2 − yz ) y ( − xz ) = x ( − yz ) ( y − xz ) Từ GT ta có: 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z xy − x z − x yz = 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = , 2 2 xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Do x # y nên Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : a b c P= + + b+c c +a a +b biểu thức: (b x= + c2 − a2 ) 2bc hay 1 a + b + c = , a + b + c + ab + bc + ca = ( a − ( b − c) ) ;y= ( ( b + c) − a ) Bài 137: Cho Bài 138: Cho biết HD : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) 2 2 M = x + y + xy , Tính giá trị biểu thức x =− x + x +1 , Tính giá trị , Tính độ dài biểu thức : x2 x4 + x2 + x −2 x + x + −3 −3 −5 = => = => x + + = => x + = x + x +1 x x x Từ gt ta có : x4 + x2 + 1 1 25 21  x2 = x + + = x + − = − = =  ÷ 2 x x x 4  x + x + 21 Nên Vậy x1 = 2, x2 = (Hoặc ta giải phương trình đầu thay vào) 2 x − yz y − xz = x ( − yz ) y ( − xz ) Bài 139: CMR: với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, xy+xz+yz=xyz(x+y+z) HD: ( x2 − yz ) y ( − xz ) = x ( − yz ) ( y − xz ) Từ GT ta có: 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z xy − x z − x yz = 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = 2 2 xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Do x # y nên A= x− y x+ y xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) hay x − y2 B= x + y2 Bài 140: Cho x>y>0, so sánh HD: ( x − y) ( x + y) x2 − y2 x2 − y2 A= A= < ( x + y) x + y + xy > x + y , x − y > xy + x + y x + y , Mà nên Vậy A = + xyz xyz xyz yz xz xy Từ giải thiết ta có : ( p + m) − ( n + p ) ( m + n) − ( p + m) ( n + p) − ( m + n) = = xy − xz yz − xy xz − yz = = ĐPCM 2 x − y − z + yz x + y − z A= : x =1 , y = , z = x + xz − y − yz x + y + z 3 Bài 142: Tính giá trị biểu thức: a, với HD: A= ( x + y − z) ( x − y + z) : x + y − z = x − y + z ( x − y) ( x + y + z) x + y + z x − y Rút gọn biểu thức a − 3a + 5a − 2011 = 0, b − 3b + 5b + 2005 = Bài 143: Cho số a,b thỏa mãn hệ thức: , Tính a+b HD: 3 ( a − 1) + ( a − 1) − 2008 = ( b − 1) + ( b − 1) + 2008 = Từ điều kiện ta có: Cộng theo vế ta được: 3 2 ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − ) = => ( a + b − ) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1)  + ( a + b − ) = ( a + b − ) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) +  =  ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 => , Vì 1 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + > 2 = nên a+b - 2=0=> a+b=2 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + = Bài 144: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức: M = a3 + b3 + 3ab a2 + b2 + 6a2b2 ( a + b) ( )  B = 1 −  z  x  y ÷1 − ÷1 − ÷ x  y  z Tính giá trị biểu thức: Bài 145: Cho x,y,z khác x-y-z=0, Tính a+b−c b+c−a c+a−b − − =0 ab bc ca Bài 146: Cho số a,b,c khác thỏa mãn: , CMR ba số a,b,c có số tổng hai số 1 1 1 + + =k + + =k a b c a b2 c Bài 147: Cho a+b+c=abc, Tính k để x y 2z Q= + + xy + x + yz + y + xz + z + b, với xyz=2 mẫu thức khác Bài 148: Tính tổng: x2 y2 z2 x y z A= 2 + + P= − + 2 2 y +z −x z +x −y x +y −z − xy + x + yz − y + xz + z − a, , với xyz=1 mẫu thức Bài 149:  1  1 n4 + =  ( n − 1) n +   n( n + 1) +   2  2 a, CMR:  1  1  1  1  + ÷ + ÷ + ÷  13 + ÷      A=   1  1  1  1  + ÷ + ÷ + ÷  14 + ÷       b, Áp dụng câu a, thu gọn: Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đơi khác : a3 b3 c3 + + = a+ b+ c ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd Bài 151: Chứng minh : Nếu a,b,c,d số dương a= b= c= d a b c + + =0 b− c c − a a− b Bài 152: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn : , CMR : a b c + + =0 2 ( b − c) ( c − a) ( a − b) x1 + 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + x2 x3 x4 x1 Bài 153: Chứng minh : , x1 = x2 = x3 = = xn x1.x2.x3 xn = : Bài 154: Chứng minh a, b, c sớ thực thỏa mãn: 1 + + =2 a2 b2 c2 , CMR: x + y = a, x + y2 = b, x3 + y3 = c Bài 156: Cho , CMR: a + b + c = 0, a + b + c = Bài 157: Cho a3 − 3ab + 2c = , Tính giá trị của: ( a + b + c) M = a4 + b4 + c4 = a2 + b2 + c2 Bài 158: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Bài 159: Cho a + b + c = abc 2bc + b2 + c2 − a2 = 4p( p − a) a + b + c = 2p Bài 155: Cho 1 + + =2 a b c 1 + + =0 a b c , CMR: M= b+ c c + a a + b + + a b c , Tính giá trị của: a b c a2 b2 c2 + + =1 + + =0 b+ c c + a a + b b+ c c + a a+ b Bài 160: Cho , CMR: , A= a.x + b.y + c.z = Bài 161: Cho , Rút gọn: x + y + z = −3 a.x2 + b.y2 + c.z2 bc( y − z) + ac( x − z) + ab( x − y) 2 ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 3 thì: a b c a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = x y z = 3( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Bài 162: Chứng minh nếu: Bài 163: Cho Bài 164: Cho Bài 165: Cho HD: x = x + x+ , CMR: , CMR: a b c + + =0 2 ( b − c) ( c − a) ( a − b) , Hãy tính giá trị biểu thức: x −2 x2 + x + −3 = => = x x2 + x + Từ: => a b c + + =0 b− c c − a a− b x+ , hay  x + x +1 1 21 = x + + 1=  x + ÷ − = x x x  Bài 166: Cho số a, b, c thỏa mãn hệ thức sau: HD: ( a − 1) ( b − 1) x2 x4 + x2 + 1 −3 −5 + 1= => x + = x x x2 = x + x + 21 ,  a3 − 3a2 + 5a − 2011 =     b − 3b + 5b + 2005 = , Tính a+b + 2( a − 1) − 2008 = Từ điều kiện ta có: a.x2 + by2 + cz2 = (1) + 2( b − 1) + 2008 = Và Cộng theo vế ta : (2) ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2) = ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) 2 2 2 ( a + b − 2)  ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 =   2 1 = a − b + a − + b − + 2> ( ) ( ) ( ) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 2 Vì Nên a + b − = a + b = Bài 167: Chứng minh nếu: x2 − yz y2 − xz = ,( x ≠ y) , xyz ≠ 0, yz ≠ 1, xz ≠ x( 1− yz) y( 1− xz) , thì:  + 2( a + b − 2) =  xy + xz + yz = xyz( x + y + z) HD: ( ) ( ) => x2 − yz y( 1− xz) = x( 1− yz) y2 − xz Từ GT x2y − x3yz − y2z + xy2z2 = xy2 − x2z − xy3z + x2yz2 x2y − x3yz − y2z + xy2z2 − xy2 + x2z + xy3z − x2yz2 = ( ) ( ) xy( x − y) + xyz yz + y2 − xz − x2 + z x2 − y2 = xy( x − y) − xyz( x − y) ( x + y + z) + z( x − y) ( x + y) = ( x − y)  xy − xyz( x + y + z) + xz + yz = x − y ≠ => xy + xz + yz − xyz( x + y + z) = Do xy + xz + yz = xyz( x + y + z) Hay x( m+ n) = y( n + p) = z( p + m) Bài 168: Cho m− n n− p p− m = = x( y − z) y( z − x) z( x − y) HD : x( m+ n) = y( n + p) = z( p + m) xyz ≠ Vì => x( m+ n) xyz , x, y, z số khác khác 0, CMR : = y( n + p) xyz = z( p + m) m+ n n + p p + m = = yz xz xy xyz , hay ( p + m) − ( n + p) = ( m+ n) − ( p + m) = ( n + p) − ( m+ n) = xy − xz yz − xy xz − yz A= = m− n n= p p− m = = x( y − z) y( z − x) z( x − y) xy + 2x + yz + 2y + zx + 2z + + + xy + x + y + yz + y + z + zx + z + x + Bài 169: Rút gọn: HD: xy + 2x + ( xy + x + y + 1) + ( x − y) x− y x y = = 1+ = 1+ − xy + x + y + xy + x + y + x + y+ ( x + 1) ( y+ 1) Ta có: yz + 2y + y z zx + 2z + z x = 1+ − = 1+ − yz + y + z + y + z + zx + z + x + z+ x+ , Cộng theo vế ta A=3 (x +y +z ) Bài 170: Chứng minh rằng: HD: 2 ( = x4 + y4 + z4 ) , biết rằng: x+y+z=0 x + y + z = => x = − ( y + z) => x2 =  − ( y + z)  Ta có: ( x2 = y2 + z2 + 2xz x2 − y2 − z2 = 2xz x2 − y2 − z2 ) = ( 2xz) 2 x4 + y4 + z4 − 2x2y2 − 2x2z2 + 2y2z2 = 4x2z2 x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 x4 + y4 + z4 + x4 + y4 + z4 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 ( ) ( x4 + y4 + z4 = x2 + y2 + z2 BGH DUYỆT ) TỔ CHUYÊN MÔN DUYỆT GIÁO VIÊN ... khác x- y- z =0, Tính giá trị của: a+b A= 2a + 2b2 = 5ab a −b Bài 11:Tình giá trị biểu thức: với b> a> 2 x + y 10 x− y y > x > 0, = M= xy x+ y Bài 12: Cho , tính giá trị biểu thức: 2a − 5− a ... biết HD : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) 2 2 M = x + y + xy , Tính giá trị biểu thức x =− x + x +1 , Tính giá trị , Tính độ dài biểu thức : x2 x4 + x2 + x −2 x + x + −3 −3 −5 = => = => x + + =... y10 + z10 T= 10 ( x + y+ z) , Tính giá trị biểu thức : ax + by + cz = 0, a + b + c = 2016 Bài 73: Cho bc( y − z) + ac( z − x) + ab( x − y) A= , Tính giá trị biểu thức : ax2 + by2 + cz2 a+ b+ c