- Nếu F├f X →tY thì t là cận dưới lớn nhất (glb) của một số các kiểu thờ
i Y Áp dụng T4, ta có: F├ X →tY Định lý được chứng mnh □
3.5. Phụ thuộc hàm theo thời gian 1 Định nghĩa hình thức về TFD
3.5.1. Định nghĩa hình thức về TFD
Định nghĩa 3.11. (TFD trên đối tượng phức)
Cho lược đồ M = (C, γ), c ∈ C, α là một quan hệ thời gian, và
X, Y ⊆ [[γ(c)]]λ với X ≠ ∅. Khi đó, một TFD trên (C, γ) có dạng:
c: X →αY
Cho T là một thể hiện theo thời gian của (C, γ). Khi đó, T được gọi là thoả TFD c: X →αY khi và chỉ khi với ∀(i, j) ∈ α, τ1 ∈ i(c) và τ2 ∈ j(c), nếu τ1[X] =
τ2[X] thì τ1[Y] = τ2[Y].
Nhận xét:
+ T được gọi là thoả tập F các TFD nếu nó thoả mỗi TFD của F.
+ Một lược đồ (C, γ) mở rộng là cặp ((C, γ), F) với F là tập các TFD trên (C,γ).
Ví dụ 3.18. Xét lược đồ M = (C, γ) được cho trong ví dụ 3.15 với tập các ràng
buộc sau:
1) Tại bất kỳ thời điểm nào, khơng có hai giáo viên nào trùng tên nhau. 2) Mối giáo viên khơng thể có hai hệ số lương khác nhau trong 1 tháng. 3) Mỗi giáo viên khơng thể thay đổi khố dạy trong 1 tuần.
4) Một môn không thể phân cho hai giáo viên khác nhau dạy trong 1 ngày. 5) Mã giáo viên chỉ thay đổi khi họ thay đổi khoá dạy, các mã giáo viên khơng sử dụng nữa có thể được sử dụng để gán lại cho các giáo viên khác, nhưng chỉ sau một khoảng thời gian là 5 ngày.
6) Tại bất kỳ thời điểm nào, khơng có hai khố dạy nào có cùng tên.
7) Tại bất kỳ thời điểm nào, khơng có hai khố dạy nào có cùng chủ nhiệm. Với các ràng buộc trên, ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng các TFD sau:
i) GV: Họ tên →Current λ ii) GV: λ →Tháng HS lương iii) GV: λ→Tuần Khố dạy
iv) GV: Mơn dạy →Ngày λ
v) GV: λ, Khoá dạy →Next Mã GV
v’) GV: Mã GV →5 ngày λ
vi) KD: Tên khoá dạy →Current λ
vii) KD: Chủ nhiệm khoá dạy →Current λ
3.5.2. Hệ tiên đề cho các TFD
Cho lược đồ M = (C, γ), quan hệ thời gian α. Với mỗi c ∈ C và
X, Y, Z ⊆ [[γ(c)]]λ. Khi đó, hệ tiên đề cho các TFD trên M được phát biểu như sau:
TD1. (Luật phản xạ): Nếu Y ⊆ X thì c: X →ForeverY
TD2. (Luật tăng trưởng): Nếu c: X →αY thì c: XZ →αYZ
TD3. (Luật bắc cầu): Nếu c: X →αY và c: Y →β Z thì c: X →α∩β Z
TD4. Nếu c: X →αY và c: X →βY thì c: X →α∪βY TD5. c: X →∅Y
TD6. c: {λ} →CurrentX
TD7. Nếu α ⊆ β và c: X →βY thì c: X →αY
Nhận xét:
+ Ba tiên đề TD1, TD2 và TD3 tương tự với các tiên đề của Armstrong. + Tiên đề TD4 và TD7 được thành lập theo cách tiếp cận của Wang. + TD5 là một TFD tầm thường.
+ TD6 được hiểu đơn giản là các giá trị thuộc tính của một đối tượng là đơn trị tại mọi thời diểm. Nếu bỏ qua việc định danh đối tượng thì TD6 có thể được xem như một TFD thông thường.
Định nghĩa 3.12. (TFD suy dẫn logic từ F)
Cho một lược đồ mở rộng ((C, γ), F) và f là một TFD trên (C, γ). Khi đó,
f được gọi là suy dẫn logic từ F, ký hiệu F╞ f , khi và chỉ khi mỗi thể hiện theo
thời gian của (C, γ) mà thoả F thì cũng thoả f.
Định nghĩa 3.13. (TFD suy dẫn từ F)
Cho một lược đồ mở rộng ((C, γ), F) và f là một TFD trên (C, γ). Khi đó,
f được gọi là suy dẫn từ F, ký hiệu F├ f nếu f thu được bằng cách sử dụng hệ 7 tiên đề {TD1, TD2, …, TD7}
Từ các nhận xét ở mục 3.5.2. Định lý sau khẳng định rằng, hệ 7 tiên đề trên là đúng đắn.
Định lý 3.1. (Tính đúng đắn của hệ 7 tiên đề)
Cho một lược đồ mở rộng ((C, γ), F) và f là một TFD trên (C, γ). Nếu F├ f thì F╞ f.
Chứng minh. Xét TD3 như là một ví dụ.
Giả sử c: X →α∩βY nhận được từ c: X →αY và c: Y →β Z. Cho T là một
thể hiện theo thời gian thoả F.
Cho (i, j) ∈ α ∩ β. Cho τ1 ∈ i(c) và τ2 ∈ j(c) với τ1[X] = τ2[X] thế thì
τ1[Z] = τ2[Z].
Vì (i, j) ∈α nên ta có τ1[Y] = τ2[Y]. Vì (i, j) ∈β nên ta có τ1[Z] = τ2[Z]
Vậy, định lý được chứng minh. □