- Nếu F├f X →tY thì t là cận dưới lớn nhất (glb) của một số các kiểu thờ
2.3.3. Bao đóng của tập phụ thuộc hàm theo thời gian Định nghĩa 2.18 (Bao đóng hữu hạn của tập các TFD)
Định nghĩa 2.18. (Bao đóng hữu hạn của tập các TFD)
Cho F là tập các TFD. Khi đó, bao đóng hữu hạn của F, ký hiệu F+, là tập tất cả các TFD có thể suy dẫn được từ F bằng cách sử dụng hệ ba tiên đề hệ quả hữu hạn. Nghĩa là: F+ = {X →tY | F├ f X →tY } Ví dụ 2.17. Cho F = {A →tB, A →t’B} Với A →tB. Áp dụng T8, ta có A →tAB ∈ F+ Với A →t’B. Áp dụng T8, ta có AB →t’B ∈ F+ Áp dụng T9, ta có: A →glb(t, t’) B ∈ F+
Định lý 2.1. (Tính chất của hệ ba tiên đề hệ quả hữu hạn cho các TFD)
Hệ ba tiên đề hệ quả hữu hạn cho các TFD là đúng đắn và đầy đủ.
+ Các tiên đề hệ quả hữu hạn là đúng đắn, vì T7, T8, T9 lần lượt được suy ra từ T1, T2, T3. Mà theo bổ đề 2.1 thì các tiên đề T1, T2, T3 là đúng đắn.
+ Tính đầy đủ của các tiên đề hệ quả hữu hạn có thể được chứng minh dựa vào tiên đề T4, nghĩa là: nếu F╞ X →tY thì tồn tại X →t1Y, ..., X →tmY ∈ F+
sao cho t ≼C{t1, ..., tm}.
Để chứng minh tính đầy đủ của hệ ba tiên đề hệ quả hữu hạn, ta tìm hiểu phép tốn hỗ trợ và hai bổ đề sau:
Định nghĩa 2.19. (Phép chiếu tập TFD trên R)
Với F là tập các TFD và R là tập các số thực (R ⊆ ). Khi đó, tập phụ thuộc hàm truyền thống có liên quan đến yếu tố thời gian trong tập R, ký hiệu: πR(F) và được xác định như sau:
πR(F) = {X →Y | ∃X →tY ∈ F và ∃j(R ⊆ t(j))}
Ví dụ 2.18. Cho F = {A →NgàyB, B →ThángC, A →NămC}. Khi đó
πTháng(F) = {B →C, A →C}
Như vậy, π∅ (F) là tập tất cả các FD truyền thống tương ứng của tập tất cả
các TFD trong F.
Bổ đề 2.2. (Mối quan hệ giữa FD và TFD)
Cho tập phụ thuộc hàm theo thời gian F và X →tY là một TFD sao cho
F╞ X →tY. Khi đó, với ∀i sao cho t(i) ≠ ∅ ta có πt(i)(F)╞ X → Y.
+ Gọi G là tập các TFD. Khi đó, G được gọi là một hỗ trợ cho X → Y nếu
π∅ (G)╞ X →Y. Hỗ trợ đó là cực tiểu nếu khơng có tập con nào của G là một hỗ
trợ cho X →Y.
+ Với tập các phụ thuộc hàm theo thời gian G, glb(G) được định nghĩa là kiểu thời gian glb({t | V →tW ∈ G})
+ glb(G) = tTop nếu G = ∅.
Ví dụ 2.19. Cho M = (R, t, φ) với G = {A →tB, B →t’C}. Khi đó:
π∅(G) = {A → B, B → C} là một hỗ trợ cho A →C
Bổ đề 2.3. (Mối quan hệ giữa các kiểu thời gian của một tập TFD với các hỗ trợ
cực tiểu của nó )
Cho tập phụ thuộc hàm theo thời gian F.
a) Nếu F1 ⊆ F là một hỗ trợ cực tiểu cho FD X →Y, thì F├f X →glb(F1)Y.
b) Nếu Fi là tất cả các hỗ trợ cực tiểu cho X →Y, Fi ⊆ F, (i = 1,m), và F╞ X →tY thì:
t ≼C{t1, ..., tm}, với ti = glb(Fi), (i = 1,m)
Lúc này, ta có thể chứng minh tính đầy đủ của các tiên đề hệ quả hữu hạn như sau:
Chứng minh.
Giả sử F╞ X →tY. Theo định nghĩa TFD, ∃i sao cho t(i) ≠ ∅.
Theo bổ đề 2.2, ta có: πt(i) (F)╞ X →Y.
Vì πt(i) (F) ∈ π∅ (F) nên ta có π∅ (F)╞ X →Y. Vì π∅ (F)╞ X →Y nên tồn
tại ít nhất một hỗ trợ cực tiểu cho X →Y.
Với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n, cho ti = glb(Fi). Theo bổ đề 2.3, ta có: F├f X →tiY. Vậy, X →tiY ∈ F+ với 1 ≤ i ≤ n..
Cũng theo bổ đề 2.3, ta có thể thấy được rằng t ≼C{t1, ..., tn}.
Như vậy, nếu F╞ X →tY thì tồn tại tập {X →t1Y, ..., X →tmY} ⊆ F+ sao cho t ≼C{t1, ..., tm}. Vậy, các tiên đề hệ quả hữu hạn là đầy đủ. □
Định lý 2.2. (Tính chất của hệ bốn tiên đề cho các TFD)
Hệ bốn tiên đề cho các TFD là đúng đắn và đầy đủ.
Chứng minh.
+ Tính đúng đắn: được chứng minh ở bổ đề 2.1. + Tính đầy đủ:
Cho F là tập các TFD, F╞ X →tY.
Theo định lý 2.1, tồn tại các TFD X →t1Y, ..., X →tkY ∈ F+ sao cho
t ≼C{t1, ..., tk}.
Theo định nghĩa 2.18, với mỗi 1 ≤ i ≤ k ta có F├f X →tiY, do đó F├ X →t