- Nếu F├f X →tY thì t là cận dưới lớn nhất (glb) của một số các kiểu thờ
i Y Áp dụng T4, ta có: F├ X →tY Định lý được chứng mnh □
3.3.2. Lớp hạn chế của các quan hệ thời gian
Trong phần này trình bày một lớp hạn chế của các quan hệ thời gian mà ta gọi là các chronology, nó có thể được sử dụng để biểu diễn các kiểu thời gian.
Định nghĩa 3.2. (Cơ sở của một quan hệ thời gian)
Cho B ⊆ ℘( ) với ℘( ) là tập các tập con của . ⊗B = ∪ {I ⊗I | I ∈ B}
Cho α là một quan hệ thời gian. Khi đó, một cơ sở của α là tập B gồm các tập con khác φ của sao cho α = ⊗B.
Nhận xét:
+ ⊗φ = φ.
+ Các phần tử của một cơ sở có thể là vơ hạn. + { } là một cơ sở của Forever
+ {i | i ∈ } là một cơ sở của Current. + φ là một cơ sở của φ.
+ Không phải mọi quan hệ thời gian đều có cơ sở. Chẳng hạn α = {1, 2}.
Ví dụ 3.9. Với ⊗{{1, 2}; {4, 6}} = ({1, 2} ⊗ {1, 2}) ∪ ({4, 6} ⊗ {4, 6}) = = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (4, 4); (4, 6); (6, 6)} Vậy, B = {{1, 2}; {4, 6}} là một cơ sở của α = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (4, 4); (4, 6); (6, 6)}
Bổ đề 3.1. Một quan hệ thời gian có tối đa một cơ sở. Định nghĩa 3.4. (Quan hệ sớm hơn thực sự trên ℘( ))
Cho I, J, ⊆ . Khi đó, I được gọi là sớm hơn J thực sự, ký hiệu I ≺ J, khi và chỉ khi với ∀i ∈ I và ∀j ∈ J thì i ≺ j.
Ví dụ 3.10. Cho I = {1, 2} và J = {4, 6}. Ta nói I ≺ J.
Định nghĩa 3.5. (Quan hệ sớm hơn trên ℘( ))
Cho I, J, ⊆ . Khi đó, I được gọi là sớm hơn J, ký hiệu I ≼ J, khi và chỉ khi I ≺ J hoặc I = J.
Ví dụ 3.11. Cho I = {1, 2} và J = {2, 6}. Ta nói I ≼ J.
Định nghĩa 3.6. (Định nghĩa chronology)
Cho α là một quan hệ thời gian và B là một cơ sở của α. Khi đó, α được gọi là một chronology khi và chỉ khi:
1) α có một cơ sở thoả bổ đề 3.1, và 2) ≼ là một quan hệ thứ tự trên B.
Ví dụ 3.12. Cho α = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (4, 4); (4, 6); (6, 6)}.
+ Từ ví dụ trên ta thấy rằng B = {{1, 2}; {4, 6}} là một cơ sở của α. + Mặt khác, do {1, 2} ≼ {4, 6}.
Vậy α là một chronology.
Ví dụ 3.13. Cho α = {(1, 1); (1, 4); (4, 4); (2, 2); (2, 6); (6, 6)}.
+ Do {1, 4} {2, 6}.
Vậy α đã cho không phải là một chronology.
Như vậy, một quan hệ thời gian α chỉ có thể là một chronology nếu α có một cơ sở B và trên B có xác định quan hệ ≼. Bên cạnh đó, cũng có những quan hệ thời gian khác mặc dù không phải là một chronology nhưng rất quan trọng. Chẳng hạn, một thư viện yêu cầu rằng các cuốn sách cho mượn phải được trả trong vòng một tuần. Ở đây, “một tuần” có nghĩa là một khoảng thời gian bảy ngày và có thể bắt đầu từ bất kỳ ngày nào trong tuần.
Một tuần = {(i, j) | j – i ≤ 7}
Ngồi ra, cịn có một số các quan hệ thời gian khác như: năm ngày, năm mươi ngày hay Next. Trong đó:
Next = {(i, j) | j – i ≤ 1}
Rõ ràng các quan hệ như: một tuần, năm ngày, Next… không phải là các
chronology. Song, nó có thể được biểu diễn như là hợp của hai chronology.
Chẳng hạn, Next = Next 1 ∪ Next 2, trong đó: Next 1 = ⊗{{1, 2}; {3, 4};
{5, 6}; …} và Next 2 = ⊗{{2, 3}; {4, 5}; {6, 7}; …}.