Chương 2. THIẾT KẾ TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.4. Thiết kế tình huống thực tiễn trong dạy học toán ở trường THPT
2.4.2. Tình huống thực tiễn sử dụng trong dạy học định lý
Ở đây chúng tôi thiết kế một số THTT trong dạy học định lý qua con đường có khâu suy đoán hoặc suy diễn. Mỗi TH được thiết kế thể hiện một hoặc nhiều chức năng khác nhau như: - Gợi động cơ: HS thực hiện quan sát, phân tích TH để có động cơ học tập, chiếm lĩnh tri thức; - Phát hiện định lý: HS khái quát hóa, tổng hợp để phát hiện quy luật của định lý, nhận dạng, thể hiện định lý. - Củng cố kiến thức: HS thông
A n
1
n³ k n A
k n
qua giải quyết TH khắc sâu nội dung định lý; - Vận dụng tri thức toán học vào giải thích các hiện tượng thực tiễn; …
Ví dụ 2.5. Thiết kế tình huống dạy học định lý 3 về “tổng của cấp số nhân lùi vô hạn” trong SGK Đại số và Giải tích 11, trang 102
Bước 1: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học
Chúng tôi nghiên cứu SGK, tài liệu về chuẩn kiến thức kỹ năng Toán THPT, tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kỹ năng Toán lớp 11 xác định kiến thức, kỹ năng mà HS đã có cũng như kiến thức HS cần đạt được trong bài học này như sau:- Nhận dạng được cấp số nhân, - Xác định được số hạng tổng quát, công thức tính tổng của cấp số nhân,- Vận dụng được việc tính cấp số nhân trong thực tiễn.
Chúng tôi cũng nhận thấy rằng trong bài “Cấp số nhân” của SGK có đề cập đến tình huống gợi định nghĩa về cấp số nhân: chia thóc trên bàn cờ, ví dụ tế bào Ecoli về số hạng tổng quát, chưa có THTT về định lý tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Vì vậy ở bài học này, GV có thể thiết kế các TH dạy học định lý, giải bài tập, …
Bước 2: Quan sát thực tiễn
GV tiến hành quan sát thực tiễn và có thể tìm thấy những nội dung chứa tri thức toán học về cấp số nhân như: - Các phương thức tính lãi suất ngân hàng, - Quy luật sinh trưởng của các loài sinh vật, thực vật trong Sinh học, - Trong các khoa học khác như Lý, Hóa, …
Bước 3: Lựa chọn mô hình phù hợp với mục tiêu dạy học, xây dựng tình huống Chúng tôi chọn mô hình tô màu tấm bìa, mục tiêu dạy học định lý cấp số nhân lùi vô hạn để xây dựng THTT như sau:
Phiếu tình huống Tô màu tấm bìa
Có một miếng bìa hình chữ nhật, người ta chia thành 4 phần bằng nhau, tô đi một phần diện tích của tấm bìa đã chia; trong 3 phần còn lại, chọn một phần và cũng chia phần đó thành 4 phần bằng nhau, rồi tô đi một phần diện tích như trên nữa; lặp lại quá trình này cho đến khi miếng bìa được tô hết.
1. Sau 3 lần chia và tô màu, tấm bìa đã được tô hết mấy phần?
2. Dự đoán có thể chia và tô tấm bìa đến mấy lần?
3. Tính diện tích phần tấm bìa đã được tô?
Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh tình huống
Phần nhiều ý kiến phản hồi của các GV đều đánh giá TH phù hợp với yêu cầu của THTT, tuy nhiên nếu có thể tìm kiếm một hình ảnh trong thực tế thì TH sẽ mang tính thực tiễn hơn (dù vậy qua trao đổi về việc khó khăn để mang một hình ảnh có tính vô hạn có trong thực tế vào TT nên chúng tôi nhận được sự thông cảm của GV).
THÔNG TIN PHẢN HỒI VỀ YÊU CẦU CỦA THTT TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÝ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Yêu cầu
Số phiếu đồng ý (tỉ lệ %)
Số phiếu không đồng ý (tỉ lệ %)
Cần bổ sung/
Ý kiến khác Mục tiêu dạy học của TT là rõ ràng 121 (90%) 13 (10%) - Có thể thay đổi hình
ảnh khác về tính vô hạn trong thực tiễn vào trong TH được không?
- Nên minh họa hình vẽ vào trong TH để HS dễ hình dung.
Các số liệu trong tình huống là
lôgic, chính xác 104 (77%) 30 (23%) Câu hỏi trong TH là vừa sức với HS 99 (73%) 35 (27%) Tình huống có thể sử dụng để
dạy học định lý 134
(100%) 0%
Tình huống có thể làm sáng tỏ ý nghĩa của tri thức cần dạy
134
(100%) 0%
Tình huống gần gũi với hiểu
biết của HS 130 (97%) 4 (3%)
Tình huống có thể dễ dàng
chuyển được sang mô hình toán 95 (70%) 39 (30%) HS có thể giải được bài toán
(vấn đề) trong mô hình toán của
TH 105 (78%) 29 (22%)
HS lý giải được vấn đề thực tiễn
sau khi hoàn thành mô hình 121 (90%) 13 (10%) TH đảm bảo gây hứng thú, kích
thích cho HS 129 (96%) 5 (4%)
Chúng tôi đã điều chỉnh TH như sau:
Phiếu tình huống Tô màu tấm bìa (Điều chỉnh) Có một miếng bìa hình chữ nhật, người ta chia thành 4 phần bằng nhau, tô đi một phần diện tích của tấm bìa đã chia; trong 3 phần còn lại, chọn một phần và cũng chia phần đó thành 4 phần bằng nhau, rồi tô đi một phần diện tích như trên nữa; lặp lại quá trình này cho đến khi miếng bìa được tô hết.
1. Sau 3 lần chia và tô màu, tấm bìa đã được tô hết mấy phần diện tích ban đầu?
2. Dự đoán có thể chia và tô tấm bìa đến mấy lần?
3. Tính diện tích phần tấm bìa đã được tô?
Bước 5: Thử nghiệm tình huống
Chúng tôi tiến hành thử nghiệm TH trên một nhóm HS. Một số HS chỉ trả lời
được câu hỏi 1, diện tích sau 3 lần tô là tấm bìa. Một số HS trả lời được có thể chia và tô tấm bìa vô hạn lần, nhưng không tính được diện tích tấm bìa sẽ được tô vô hạn lần. Đặc biệt một HS phát hiện rằng diện tích được tô chiếm 1/3 diện tích tấm bìa ban đầu.
Bài làm của HS
Chúng tôi hỗ trợ HS giải quyết tình huống bằng các câu hỏi sau:
CH1: Gọi diện tích tấm bìa được tô lần thứ nhất là . Tính diện tích tấm bìa tô lần thứ hai, ba, tư theo .
Câu trả lời mong đợi: Diện tích tấm bìa tô lần thứ hai là . Lần thứ ba là , lần thứ tư tương ứng là .
CH2: Sau 3 lần tô, diện tích tô được là bao nhiêu?
Câu trả lời mong đợi: Sau 3 lần tô được tấm bìa.
CH3: Có thể chia và tô tấm bìa mấy lần, tính tổng diện tích tô được?
Câu trả lời mong đợi: Có thể chia và tô tấm bìa tới n lần, và diện tích tô được sau n lần là
.(1)
CH4: Nhân hai vế của biểu thức trên với ta được gì?
2 3
1 1 1 21 4 4+ +4 =64
u1
u1
1
1 4u
2 1
1
4 u 13 1
4 u
1 1 2 1 1
1 1 21 21
4 4 16 64
u + u + u = u =
1 1 1 1
1 1
4 ... 4
n n
S = +u u + + - u
1 4
Câu trả lời mong đợi .(2) CH5: Tìm theo qua hai đẳng thức (1), (2)?
Câu trả lời mong đợi: và .
CH6: Nhận xét gì về diện tích của tấm bìa được tô lần 1, lần 2, lần 3, … ?
Câu trả lời mong đợi: Diện tích tô được ở các lần chia lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là , công bội .
CH7: Dự đoán định lý tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu , công bội q?
Câu trả lời mong đợi: (Đây chính là nội dung của định lý).
Bước 6: Xác nhận tình huống
Qua quá trình quan sát HS giải quyết tình huống, chúng tôi nhận thấy rằng, mặc dù các em chưa tự mình giải quyết tình huống, nhưng dưới sự hướng dẫn của GV các em đã tự mình khám phá định lý tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Vì vậy THTT thiết kế ở trên là khả thi và có thể áp dụng được trong dạy học.
Ví dụ 2.6. Thiết kế tình huống dạy học định lý “Số hạng thứ n và tính tổng của cấp số cộng” trong bài “Cấp số cộng” SGK Đại số và Giải tích 11, trang 93 - 97
Bước 1: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học
Chúng tôi nghiên cứu SGK, tài liệu về chuẩn kiến thức kỹ năng Toán THPT, tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kỹ năng Toán lớp 11 xác định kiến thức, kỹ năng mà HS đã có cũng như kiến thức HS cần đạt được trong bài học này như sau: - Nhận dạng được cấp số cộng, - Xác định được số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu tiên, - Vận dụng được việc tính cấp số cộng trong thực tiễn.
Nghiên cứu SGK, chúng tôi cũng nhận thấy rằng trong SGK không đề cập đến ứng dụng thực tiễn của cấp số cộng trong HĐ dạy học định nghĩa, tính chất, định lý, chỉ có 2 bài tập có đề cập đến ứng dụng của cấp số cộng trong việc tính tiếng chuông đồng hồ, tính độ cao của sàn tầng. Vì vậy người GV trong quá trình dạy học có thể thiết kế các THTT trong các HĐ dạy học định nghĩa, quy tắc, định lý.
1 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1
4Sn = 4u + 4 u + +... 4n- u +4nu Sn u1
1
1 1 41 1 4
n
Sn u
= - -
lim 1
n 3
n S
®¥ =
1 4
1 4
u1
1
1 1
1 1
n n
S u q
q -
= -
Bước 2: Quan sát thực tiễn
Chúng tôi quan sát các hiện tượng xã hội ẩn chứa tri thức toán học về cấp số cộng. Có thể là: - Các loại lãi suất ở ngân hàng, - Các quy luật sinh học của các loài sinh vật, - Các quy luật kinh tế, …
Bước 3: Lựa chọn mô hình phù hợp với mục tiêu dạy học, xây dựng tình huống Sau khi quan sát thực tiễn, chúng tôi chọn mô hình về tiết kiệm, trong dạy học định lý để xây dựng THTT như sau:
Phiếu tình huống về tiết kiệm tiền
Bạn An lớp ta có 10.000 đồng, bạn muốn mua một chiếc xe đạp trị giá 2.200.000 đồng. Mẹ An nói rằng sẽ cho bạn ấy tiền để dành mua xe, theo cách ngày sau cho An số tiền bằng số tiền ngày trước An có và thêm 1000 đồng. Hỏi sau hai tháng bạn An có mua được xe đạp hay không?
Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh tình huống
Khi thảo luận về tình huống này trong tổ bộ môn, GV cho rằng có thể điều chỉnh lồng ghép vào việc giáo dục đức tính tiết kiệm cho HS trong bài toán tiết kiệm tiền này.
THÔNG TIN PHẢN HỒI VỀ YÊU CẦU CỦA THTT TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÝ TỔNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
Yêu cầu
Số phiếu đồng ý (tỉ lệ %)
Số phiếu không đồng ý (tỉ lệ %)
Cần bổ sung/
Ý kiến khác Mục tiêu dạy học của TT là rõ ràng 116 (86%) 18 (14%) - Cần điều chỉnh làm
rõ nguyên tắc cho tiền để dành của người mẹ.
- Có thể lồng ghép bồi dưỡng ý thức tiết kiệm cho HS.
Các số liệu trong tình huống là
lôgic, chính xác 124 (92%) 10 (8%)
Câu hỏi trong TH là vừa sức với
HS 130 (97%) 4 (3%)
Tình huống có thể sử dụng để
dạy học định lý 132 (98%) 2 (2%)
Tình huống có thể làm sáng tỏ ý
nghĩa của tri thức cần dạy 133 (99%) 1 (1%) Tình huống gần gũi với hiểu biết
của HS 134
(100%) 0 (0%) Tình huống có thể dễ dàng
chuyển được sang mô hình toán 129 (96%) 5 (4%) HS có thể giải được bài toán (vấn
đề) trong mô hình toán của TH 128 (95%) 6 (5%) HS lý giải được vấn đề thực tiễn
sau khi hoàn thành mô hình 132 (98%) 2 (2%) TH đảm bảo gây hứng thú, kích
thích cho HS 133 (99%) 1 (1%)
Chúng tôi điều chỉnh TH như sau:
Phiếu tình huống Tiết kiệm tiền (Điều chỉnh)
1. Hãy cho biết 1 loại hình tiết kiệm mà em đang thực hiện?
2. Nếu mỗi ngày, lớp tổ chức bỏ heo đất 10.000 đồng, thì sau 3 tháng của học kỳ I, lớp tiết kiệm được bao nhiêu đồng?
3. Bạn An lớp ta có 10.000 đồng, bạn muốn mua một chiếc xe đạp trị giá 2.200.000 đồng. Mẹ An nói rằng sẽ cho bạn ấy tiền để dành mua xe, theo cách ngày sau cho An số tiền bằng số tiền ngày trước An để dành và thêm 1.000 đồng. Hỏi sau hai tháng bạn An có mua được xe đạp hay không?
Bước 5: Thử nghiệm tình huống
Quan sát HS thử nghiệm TH, chúng tôi thấy rằng, các HS đều trả lời được câu hỏi, các em tính được số tiền tiết kiệm thông qua công thức tính tổng của hữu hạn số đã học ở cấp 2.
Bài làm của HS Bước 6: Xác nhận tình huống
Qua quan sát việc giải quyết TH của nhóm HS, chúng tôi nhận thấy rằng HS tích cực, tự giác tham gia vào quá trình học tập, giải quyết được TH và mong muốn được biết công thức tính tổng của một dãy vô hạn số. Đây là TH gợi động cơ để GV có
thể tiến hành dạy công thức tính tổng của dãy số (có dạng cấp số cộng).Vì vậy TH là khả thi và áp dụng được vào quá trình dạy học.
Ví dụ 2.7. Thiết kế tình huống dạy học Định lý Bất đẳng thức CôSi, trong bài “Bất đẳng thức” SGK Đại số 10, trang 74 - 76
Bước 1: Nghiên cứu mục tiêu, nội dung bài học
Chúng tôi nghiên cứu SGK, tài liệu về chuẩn kiến thức kỹ năng Toán THPT, tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kỹ năng Toán lớp 10 xác định kiến thức, kỹ năng mà HS đã có cũng như kiến thức HS cần đạt được trong bài học này như sau: - Biết định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức, - Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm, - Biết bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm, - Biết được một số bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, - Vận dụng định nghĩa, tính chất, các phép biến đổi tương đương để chứng minh được một số bất đẳng thức, - Biết vận dụng bất đẳng thức vào một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Nghiên cứu SGK chúng tôi cũng nhận thấy rằng trong toàn bộ bài “Bất đẳng thức” SGK không đề cập đến kết nối toán học với thực tiễn, vì vậy GV có thể thiết kế THTT trong các HĐ dạy học khái niệm, tính chất, vận dụng giải bài tập.
Bước 2: Quan sát thực tiễn
Chúng tôi, dựa trên tri thức kinh nghiệm của mình, quan sát các hiện tượng thực tiễn có chứa tri thức toán học về bất đẳng thức, đến các cơ sở sản xuất để tìm hiểu về những thiết kế tiết kiệm chi phí nhất, hay tiêu tốn thời gian ít nhất, hiệu quả cao nhất, … Bước 3: Lựa chọn mô hình phù hợp với mục tiêu dạy học, xây dựng tình huống.
Ở đây, chúng tôi lựa chọn mô hình khuôn bánh, mục tiêu dạy học định lý trung bình cộng và trung bình nhân để xây dựng TH.
Phiếu tình huống khuôn làm bánh
Có một miếng nhôm hình chữ nhật, chiều dài 6 dm, chiều rộng 5 cm. Người ta muốn làm một cái khuôn làm bánh hình lăng trụ với chiều cao là 5 cm, đáy hình tam giác với chu vi là 6 dm. Hỏi diện tích tam giác đáy của khuôn bằng bao nhiêu để khuôn bánh lớn nhất?
Bước 4: Thảo luận, điều chỉnh
Nhiều GV trong quá trình phản hồi băn khoăn rằng: HS lớp 10 sẽ không làm được bài toán về giá trị lớn nhất do chưa học khảo sát hàm số; cần làm rõ khuôn bánh có đáy hay không? Khi được chúng tôi phân tích, TH này có thể giải quyết được bằng kiến thức lớp 10 thì GV thống nhất có thể sử dụng TH này.
THÔNG TIN PHẢN HỒI VỀ YÊU CẦU CỦA THTT TRONG DẠY HỌC ĐỊNH LÝ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Yêu cầu Số phiếu
đồng ý (tỉ lệ %)
Số phiếu không đồng ý (tỉ lệ %)
Cần bổ sung/
Ý kiến khác Mục tiêu dạy học của TT là rõ ràng 98 (73%) 36 (27%) - Tình huống chỉ sử
dụng trong khâu gợi động cơ, hoặc vận dụng định lý hoặc tiếp cận định lý chứ chưa hình thành định lý?
- Nên sử dụng CNTT hoặc dụng cụ trực quan để HS nhanh chóng hiểu được TH, không mất thời gian trong việc vẽ hình?.
Các số liệu trong tình huống là
lôgic, chính xác 100 (74%) 34 (26%)
Câu hỏi trong TH là vừa sức với HS 95 (70%) 39 (30%) Tình huống có thể sử dụng để
dạy học định lý 114 (85%) 20 (15%)
Tình huống có thể làm sáng tỏ ý
nghĩa của tri thức cần dạy 113 (84%) 21 (16%) Tình huống gần gũi với hiểu biết
của HS 122 (91%) 12 (7%)
Tình huống có thể dễ dàng
chuyển được sang mô hình toán 90 (67%) 44 (33%) HS có thể giải được bài toán (vấn
đề) trong mô hình toán của TH 100 (74%) 34 (26%) HS lý giải được vấn đề thực tiễn
sau khi hoàn thành mô hình 115 (85%) 19 (15%) TH đảm bảo gây hứng thú, kích
thích cho HS 119 (88%) 15 (12%)
Chúng tôi điều chỉnh TH như sau:
Phiếu tình huống khuôn làm bánh (Điều chỉnh)
Có một miếng nhôm hình chữ nhật, chiều dài 6 dm, chiều rộng 5 cm. Người ta muốn gấp miếng nhôm lại để làm một cái khuôn làm bánh hình lăng trụ (không có đáy) với chiều cao là 5 cm. Hỏi cần gấp miếng nhôm như thế nào để khuôn làm ra cái bánh có thể tích lớn nhất?
Hình tấm nhôm Hình khuôn bánh
Bước 5: Thử nghiệm tình huống
Quan sát HS thử nghiệm TH, chúng tôi nhận thấy các em HS đều loay hoay không giải quyết được TH. Chúng tôi gợi mở TH cho các em qua các câu hỏi sau:
CH1: Tấm nhôm hình gì? Khuôn bánh hình gì? Xác định kích cỡ của tấm nhôm và khuôn bánh.
Câu trả lời mong đợi: Tấm nhôm hình chữ nhật, chiều dài 6 dm, chiều rộng 5 cm, khuôn bánh hình lăng trụ, chiều cao 5 cm, với chu vi đáy 6 dm.
CH2: Phát biểu bài toán thể hiện TH?
Câu trả lời mong đợi: Cho hình chữ nhật, có chiều dài 6 dm, chiều rộng 5 cm.
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh của tam giác đáy của hình lăng trụ chiều cao 5 cm, làm từ hình chữ nhật nói trên. Tính thể tích của hình lăng trụ
theo a, b, c.
CH3: Tính thể tích của hình lăng trụ ? Câu trả lời mong đợi:
CH4: Thể tích hình lăng trụ lớn nhất khi nào?
Câu trả lời mong đợi: Vì chiều cao không đổi nên thể tích lớn nhất khi (diện tích đáy) lớn nhất.
CH5: Tính diện tích đáy?
Câu trả lời mong đợi: Biết chu vi tam giác là 6 dm nên ta phải dùng công thức tính diện tích (Hê-rông) qua chu vi như sau:
với a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác đáy.
Hay
CH6: Diện tích đáy lớn nhất khi nào?
Câu trả lời mong đợi: Diện tích đáy lớn nhất khi và chỉ khi tích của lớn nhất.
CH7: Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất của tích 3 số không âm?
Câu trả lời mong đợi: Sử dụng mở rộng định lý về trung bình cộng, trung bình
nhân của 2 số không âm như sau: .
CH8: Vận dụng tìm giá trị lớn nhất của ? Câu trả lời mong đợi: Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
lớn nhất khi dấu “=” trong bất đẳng thức trên xảy ra.
Suy ra
Kết hợp với , ta được dm.
5 V =S hD = SD
SD
3(3 )(3 )(3 ) SD = -a -b -c
2 3[(3 )(3 )(3 )]
SD = -a -b -c
SD (3-a)(3-b)(3-c)
, , 0
2
ab£ a b+ "a b³
(3-a)(3-b)(3-c)
3 3 3 3
(3 )(3 )(3 ) 1
3
a b c
a b c ổ - + - + - ử
- - - Êỗố ữứ =
SD
3-a=3-b=3- ịc a b c= = 6
a b c+ + = a b c= = =2