Chương 3. TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH
3.2. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh theo các tình huống thực tiễn
3.2.3. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua dạy học các định lý toán học ở trường THPT
3.2.3.1. Quy trình
Bước 1: GV cho HS quan sát THTT;
Bước 2: HS phân tích tình huống, tiếp cận các tri thức toán học;
Bước 3: GV hướng dẫn HS xác định mô hình toán ẩn chứa trong tình huống;
Màu 1 2 3 4
Tần số 166 90 70 124
Bước 4: GV định hướng cho HS HĐ với mô hình toán, dự đoán, nhận dạng định lý;
Bước 5: Xác nhận, củng cố định lý (giải quyết, đánh giá THTT ở bước 1).
3.2.3.2. Ví dụ
Ví dụ 3.6. Tổ chức dạy học định lý “Số hạng thứ n và tính tổng của cấp số cộng” trong bài “Cấp số cộng” SGK Đại số và Giải tích 11, trang 93 - 97
Bước 1: GV cho HS quan sát THTT.
HĐ của GV: GV chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm từ 5 - 10 HS, phân chia đảm bảo trình độ đồng đều giữa các nhóm (ở mỗi nhóm có cả HS giỏi, yếu). Hướng dẫn các nhóm chọn nhóm trưởng. Phát THTT cho các nhóm.
HĐ của HS: Ngồi theo nhóm, tuân theo sự hướng dẫn của GV và nhóm trưởng, nhận phiếu TH, HĐ quan sát TH để tìm cách giải quyết.
Phiếu tình huống
1. Hãy cho biết 1 loại hình tiết kiệm mà em đang thực hiện?
2. Nếu mỗi ngày, lớp tổ chức bỏ heo đất 10.000 đồng, thì sau 3 tháng của học kỳ I, lớp tiết kiệm được bao nhiêu đồng?
3. Bạn An lớp ta có 10.000 đồng, bạn muốn mua một chiếc xe đạp trị giá 2.200.000 đồng. Mẹ An nói rằng sẽ cho bạn ấy tiền để dành mua xe, theo cách ngày sau cho An số tiền bằng số tiền ngày trước An để dành và thêm 1000 đồng. Hỏi sau hai tháng bạn An có mua được xe đạp hay không?
Bước 2: HS phân tích tình huống, tiếp cận các tri thức toán học.
HĐ của GV: Quan sát các nhóm làm việc, hỗ trợ nếu thấy các nhóm chưa nắm được các dữ kiện có trong TH. Có thể đặt các câu hỏi “bắc giàn” giúp HS giải quyết được TH như: - Một tháng thông thường có bao nhiêu ngày? Mỗi ngày lớp tiết kiệm bao nhiêu?- Số tiền ngày đầu tiên An có là bao nhiêu?- Số tiền ngày thứ hai An có?- Số tiền ngày thứ ba An có?- Số tiền ngày thứ 60 An có là?- Tổng của số tiền từ ngày đầu tiên đến ngày 60 được tính như thế nào?
HĐ của HS: Thảo luận theo nhóm, cùng phân tích các dữ kiện về ngày, tháng, số tiền, có trong TH để giải quyết TH.
Kết quả của HĐ này là HS trả lời được các câu hỏi có trong TH. Có thể là:
- Một tháng có 30 ngày, mỗi ngày tiết kiệm 10.000 đồng, thì số tiền tiết kiệm được sau 1 tháng là 90.000 đồng.
- Số tiền ngày thứ nhất An để dành là : 10.000 đồng.
- Số tiền ngày thứ hai An để dành là: (10.000+1.000) đồng.
- Số tiền ngày thứ ba An để dành là:10.000 + 1.000 + 1.000 =(10.000+2.1000) đồng.
- Số tiền ngày thứ 60 An để dành là: (10.000 + 59. 1000) đồng.
- Sau 60 ngày, An để dành số tiền là:(10.000+11.000+12.000+…+69.000) đồng.
- Dùng công thức tổng hữu hạn đã học ở cấp 2 ta có tổng số tiền An có là:
đồng
Nghĩa là sau 2 tháng với cách để dành như trên thì An sẽ có 2.370.000 đồng nên mua được xe đạp.
Bước 3: GV hướng dẫn HS xác định mô hình toán ẩn chứa trong tình huống.
HĐ của GV: GV tổ chức cho HS mô hình hóa TH để tiếp cận kiến thức toán về tổng của cấp số cộng, bằng cách đặt các câu hỏi như:
- Nếu gọi số tiền ngày thứ nhất An có là thì số tiền của ngày thứ hai, thứ ba,
… thứ 60 là bao nhiêu?
- Nếu việc để dành tiền của An được tiến hành mãi, không xác định được ngày kết thúc, thì ngày thứ n An để dành được bao nhiêu?
- Số tiền để dành của An, tuân theo quy luật nào?
- Làm thế nào để xác định tổng số tiền An để dành được, biết số tiền ngày 1 và số ngày để dành là 60 ngày?
HĐ của HS: Thảo luận trong nhóm, cùng trao đổi, chia sẻ quan điểm của mình để xác định được mô hình toán.
Kết thúc HĐ này, HS dùng tri thức kinh nghiệm, suy luận, khái quát trả lời được:
- Nếu gọi số tiền ngày thứ nhất An có là thì số tiền của ngày thứ hai, thứ
ba,… thứ 60 là .
- Nếu việc để dành tiền của An được tiến hành mãi, không xác định được ngày kết thúc, thì ngày thứ n An có .
- Số tiền để dành của An, tuân theo quy luật cấp số cộng với công sai d =1.000.
- Tổng số tiền An có trong 60 ngày chính là tổng của 60 số hạng đầu trong cấp
số trên .
Bước 4: GV định hướng cho HS HĐ với mô hình toán, dự đoán, nhận dạng định lý.
HĐ của GV: Quan sát các nhóm làm việc, yêu cầu các nhóm tìm câu trả lời cho câu hỏi “Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng công sai d được tính như thế nào?”
HĐ của HS: Thảo luận nhóm, tổng quát hóa từ TH nói trên, tính được tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng công sai là:
10.000 11.000 12.000 .... 69.000 600.000 (1 2 ... 59).1000 59.60
= 600.000 .1000 2
+ + + + = + + + +
+ 2.370.000
=
u1
u1 1 1.000, 1 2.000,..., 1 59.000
u + u + u +
1 ( 1).1.000 u + n-
1 1 1 1 1
59.60
2 ... u 60 60 1.000
u + + + +u d u d + + + d = u + 2
un
un d
1 2 1 1 2 1
1
1
... 2 ... ( 1)
= (1 2 ... 1)
( 1)
=
2
u u un u u d u d u n d
nu n d
n n
nu d
+ + + = + + + + + + + - + + + + -
+ -
Đại diện các nhóm báo cáo kết quả trước lớp về công thức tính tổng n số hạng
đầu của cấp số cộng là .
Bước 5: Xác nhận, củng cố định lý (giải quyết, đánh giá THTT ở bước 1).
HĐ của GV: Lắng nghe câu trả lời của các nhóm, bổ sung, điều chỉnh để được câu trả lời đúng về tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng. Xác định đây là nội dung của định lý 3 trong SGK. Yêu cầu các nhóm sử dụng kết quả của định lý, tính số tiền tiết kiệm của An. GV cũng lồng ghép trong việc dạy HS cách thực hành tiết kiệm trong cuộc sống.
HĐ của HS: Sử dụng công thức trong định lý, tính được số tiền An để dành là 2.370.000 đồng, nhận thấy sự giải quyết nhanh gọn TH nếu biết công thức này; nhận thức được sự cần thiết phải tiết kiệm trong cuộc sống hằng ngày.
Ví dụ 3.7. Tổ chức dạy học định lý “Bất đẳng thức côsi”, bài Bất đẳng thức, SGK Đại số 10, trang 76
Bước 1: GV cho HS quan sát THTT.
HĐ của GV: Sử dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề. Nêu vấn đề cần giải quyết cho HS thông qua THTT. Chia lớp làm 4 nhóm, mỗi nhóm từ 5 - 10 HS, đảm bảo trình độ đồng đều giữa các nhóm, phát THTT cho các nhóm.
HĐ của HS: Thực hiện theo sự hướng dẫn của GV, ngồi theo nhóm, nhận TH, tiến hành nghiên cứu TH.
Phiếu tình huống
Có một miếng nhôm hình chữ nhật, chiều dài 6 dm, chiều rộng 5 cm. Người ta muốn gấp miếng nhôm lại để làm một cái khuôn làm bánh hình lăng trụ (không có đáy) với chiều cao là 5 cm. Hỏi cần gấp miếng nhôm như thế nào để khuôn làm ra cái bánh có thể tích lớn nhất?
Hình tấm nhôm Hình khuôn bánh Bước 2: HS phân tích tình huống, tiếp cận các tri thức toán học.
HĐ của GV: Hướng dẫn HS tiếp cận các dữ kiện có trong TH, thông qua các câu hỏi như:
- Tấm nhôm hình gì? Chiều dài bao nhiêu? Chiều rộng bao nhiêu?
- Khuôn bánh cần làm hình gì? Chiều cao bao nhiêu?
1 1
( ) ( 1)
2 2
n n
n u u n n
S = + =nu + - d
- Gấp miếng nhôm theo chiều gì?
- Thể tích khuôn bánh lớn nhất là bao nhiêu? Phụ thuộc vào yếu tố nào?
HĐ của HS: Lắng nghe các câu hỏi gợi ý của GV, trao đổi, chia sẻ với bạn bè trong lớp về đáp án của mình.
Kết quả của HĐ này, HS xác định được:
- Tấm nhôm hình chữ nhật, chiều dài 6 dm, chiều rộng 5 cm.
- Khuôn bánh hình lăng trụ với chiều cao 5 cm từ chiều rộng của miếng nhôm, nên sẽ gấp chiều dài miếng nhôm lại để làm khuôn bánh.
- Thể tích của khuôn bánh là (công thức này HS có thể tham khảo trên mạng hoặc GV sẽ gợi ý).
- Thể tích khuôn bánh lớn nhất nếu diện tích đáy của khuôn bánh là lớn nhất.
- Vấn đề ở đây là tìm các cạnh của một hình tam giác sao cho diện tích của tam giác là lớn nhất.
Bước 3: GV hướng dẫn HS xác định mô hình toán ẩn chứa trong tình huống.
HĐ của GV: Hướng dẫn HS xác định mô hình toán, bằng cách đặt câu hỏi bắc giàn như “Gọi các cạnh của hình tam giác là a, b, c. Vấn đề khuôn bánh được phát biểu thành bài toán như thế nào?”
HĐ của HS: Huy động các kiến thức của mình, tìm mối liên hệ giữa chu vi và diện tích. Kết quả của HĐ này là HS phát biểu được bài toán: “Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Chu vi tam giác là 6 dm. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác đó?”
Bước 4: GV định hướng cho HS HĐ với mô hình toán, dự đoán, nhận dạng định lý.
HĐ của GV: Đặt các câu hỏi trợ giúp như:
- Công thức nào biểu thị mối liên hệ giữa diện tích và chu vi của tam giác?
- Diện tích lớn nhất khi nào?
- Yêu cầu HS tìm kiếm nội dung của định lý về mối quan hệ giữa tổng và tích của 2 số không âm trong SGK. Và thử dự đoán mối quan hệ giữa tổng và tích của 3 số không âm, n số không âm.
HĐ của HS: Huy động các kiến thức cũ, xác định được - Diện tích của tam giác
- Diện tích lớn nhất khi lớn nhất.
- Bài toán quy về cần tìm giá trị lớn nhất của tích 3 số không âm.
- Tìm kiếm nội dung định lý côsi trong SGK: và thử dự đoán mở rộng định lý cho 3 số, n số không âm.
HS đại diện nhóm báo cáo các kết quả của nhóm mình trước lớp.
Bước 5: Xác nhận, củng cố định lý (giải quyết, đánh giá THTT ở bước 1).
HĐ của GV: GV chỉnh sửa các câu trả lời của các nhóm, khẳng định chính xác
. 5.
V =S h= S
3(3 )(3 )(3 ) SD = -a -b -c (3 a)(3 b)(3 c)- - -
, , 0
2
ab £ a b+ "a b³
nội dung định lý, cũng như kết quả mở rộng 3 số, n số không âm. Yêu cầu HS các nhóm sử dụng kết quả định lý để tìm diện tích lớn nhất của đáy, giải quyết THTT.
HĐ của HS: Sử dụng định lý nói trên trong trường hợp 3 số không âm để kiểm
tra được rằng và lớn nhất khi dấu
“=” trong bất đẳng thức trên xảy ra. Suy ra .
Vậy cần gấp miếng nhôm thành ba phần bằng nhau để làm khuôn bánh, sẽ được cái bánh có thể tích lớn nhất; có thể vận dụng định lý trong những tình huống tìm GTLN, GTNN trong thực tiễn khác.
Ví dụ 3.8. Tổ chức dạy học định lý công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, SGK Đại số và Giải tích 11, trang 102
Bước 1: GV cho HS quan sát THTT.
HĐ của GV: Chia lớp làm 4 nhóm, mỗi nhóm từ 5 - 10 HS, ở mỗi nhóm đồng đều về trình độ, có HS yếu, HS giỏi, cử nhóm trưởng của mỗi nhóm. Phát THTT cho các nhóm.
HĐ của HS: Tuân theo sự chia nhóm của GV, ngồi theo nhóm, nhận THTT từ nhóm trưởng.
Phiếu tình huống
Có một miếng bìa hình chữ nhật, người ta chia thành 4 phần bằng nhau, tô đi một phần diện tích của tấm bìa đã chia; trong 3 phần còn lại, chọn một phần và cũng chia phần đó thành 4 phần bằng nhau, rồi tô đi một phần diện tích như trên nữa; lặp lại quá trình này cho đến khi miếng bìa được tô hết.
1. Sau 3 lần chia và tô màu, tấm bìa đã được tô hết mấy phần diện tích ban đầu?
2. Dự đoán có thể chia và tô tấm bìa đến mấy lần?
3. Tính diện tích phần tấm bìa đã được tô?
Bước 2: HS phân tích tình huống, tiếp cận các tri thức toán học.
HĐ của GV: Quan sát các nhóm giải quyết TH, sẵn sàng hỗ trợ các nhóm để tiếp cận các dữ kiện có trong TH. Có thể đặt các câu hỏi “bắc giàn” cho các nhóm như:
- Diện tích tấm bìa được tô lần thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là bao nhiêu?
- Tổng diện tích tấm bìa được tô sau lần thứ ba là bao nhiêu?
- Yêu cầu HS thử chia và tô tấm bìa thêm một số lần nữa.
- Quan sát phần vừa tô, dự đoán xem diện tích phần tô đen như thế nào với diện tích phần còn lại?
HĐ của HS: Thảo luận nhóm, sẵn sàng lắng nghe, chia sẻ ý kiến với các bạn, chia sẻ câu trả lời của nhóm mình với bạn bè trong lớp.
3 3 3 3
(3 )(3 )(3 ) 1
3
a b c
a b c ổ - + - + - ử
- - - Êỗố ữứ = SD
3-a=3-b=3- ịc a b c= =
Kết quả HĐ này, HS xác định được:
- Diện tích tô lần thứ nhất là diện tích tấm bìa ban đầu.
- Diện tích tô lần thứ hai là diện tích tấm bìa ban đầu.
- Diện tích tô lần thứ ba là diện tích tấm bìa ban đầu.
- Tổng diện tích tấm bìa được tô sau 3 lần là diện tích tấm bìa ban đầu.
- HS kẻ và tô thêm được một số lần nữa, quan sát được diện tích phần tô đen chiếm 1/3 diện tích tấm bìa ban đầu.
Bước 3: GV hướng dẫn HS xác định mô hình toán ẩn chứa trong tình huống.
HĐ của GV: Quan sát các nhóm làm việc, trợ giúp bằng các câu hỏi: “Gọi diện tích tô lần 1, lần 2, lần 3, … lần n là Nhận xét gì về dãy số này?”
HĐ của HS: HS quan sát, phán đoán, huy động kiến thức cũ, xác định được diện tích các lần tô chính là cấp số nhân có số hạng đầu là , công bội q. Xác định được tổng các lần tô chính là tổng n số hạn đầu của cấp số nhân này.
Bước 4: GV định hướng cho HS HĐ với mô hình toán, dự đoán, nhận dạng định lý.
HĐ của GV: Quan sát HĐ của các nhóm HS, có thể hỗ trợ bằng cách yêu cầu các nhóm thực hiện các hoạt động nhận thức để dự đoán công thức như : “Nhân cả 2 vế với q, trừ vế theo vế”, …
HĐ của HS: Thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động biến đổi đối tượng, thu
được các kết quả như: - .
- Trừ vế theo vế ta có . - Dự đoán được định lý tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là .
Bước 5: Xác nhận, củng cố định lý (giải quyết, đánh giá THTT ở bước 1).
HĐ của GV: Quan sát các nhóm báo cáo kết quả, chỉnh sửa, bổ sung để hoàn chỉnh định lý và phần chứng minh, quan sát HS ghi chép.
HĐ của HS: Chia sẻ ý kiến với các bạn trong nhóm, trong lớp, sử dụng kết quả của định lý, tính tổng phần diện tích tấm bìa được tô là
1 4
2
1 4
3
1 4
2 3
1 1 1 21 4 4+ + 4 = 64
1, , ,..., ,..2 3 n
u u u u
u1
1
1 2 ... 1 1 ... 1 n
n n
S = + + +u u u = +u u q+ +u q -
2
1 2 ... 1 1 ... 1 n
n n
qS =qu +qu + +qu =qu +u q + +u q (1 q)S- n =u1(1 q )- n
1
1 1
qk
S u q
= - -
1 1
1lim(1 ... 1 ) 1lim 4 1
4 4 4 1 1 3
4
k
t k k k
S ®¥ ®¥
ổ ử - ỗ ữố ứ
= + + = =
-
Ví dụ 3.9. Tổ chức dạy học định lý “Giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba”, bài “Hai mặt phẳng vuông góc” SGK Hình học 11, trang 106 -114
Bước 1: GV cho HS quan sát THTT.
HĐ của GV: Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm từ 5 - 10 HS sao cho trình độ của các nhóm là đồng đều. Phát THTT cho các nhóm.
HĐ của HS: Ngồi theo nhóm, tuân theo sự hướng dẫn của GV và nhóm trưởng.
Nhận THTT.
Phiếu tình huống
Quan sát một người đàn ông đang dựng cột treo cờ trước nhà, chúng tôi nhận thấy rằng, để kiểm tra xem cột dựng có thẳng hay không, ông ta lần lượt ngắm xem cột có song song với bức tường thứ nhất, bức tường thứ hai của nhà mình. Ông ta nói rằng khi cột song song với cả hai bức tường (như hình) thì cột
dựng đã được dựng thẳng.
a. Theo em, cách làm của người đàn ông đó là đúng hay sai? Dùng kiến thức toán học của mình, em hãy giải thích vì sao?
b. Em hãy dự đoán xem, nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của nó như thế nào với mặt phẳng thứ ba?
Bước 2: HS phân tích tình huống, tiếp cận các tri thức toán học.
HĐ của GV: Quan sát các nhóm làm việc, hỗ trợ khi thấy các nhóm chưa nắm được các dữ kiện có trong TH. Có thể trợ giúp các nhóm thông qua các câu hỏi như:
“Cột như thế nào với bức tường thứ nhất, bức tường thứ hai?”. “Hai bức tường như thế nào với nhau?”. “Nếu đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì nó như thế nào với giao tuyến của hai mặt phẳng?”.
HĐ của HS: Thảo luận nhóm, chủ động trao đổi ý kiến của mình với các bạn trong nhóm cũng như với các bạn trong lớp.
Kết quả của HĐ này HS huy động được tri thức kinh nghiệm, xác định được cột song song với bức tường thứ nhất, bức tường thứ
hai, hai bức tường giao nhau theo giao tuyến là đường thẳng. Huy động kiến thức cũ, xác nhận cột song song với đường thẳng giao tuyến, mà đường giao tuyến đã vuông góc với mặt đất, nên cột vuông góc với mặt đất, hay cột đã được dựng thẳng đứng.
Bước 3: GV hướng dẫn HS xác định mô hình toán ẩn chứa trong tình huống.
HĐ của GV: Giả sử cột là đường thẳng d, bức tường thứ nhất là mặt phẳng , bức tường thứ hai là mặt phẳng ; xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng (d,CC’) với mặt phẳng , giữa mặt phẳng (d,AA’) với mặt phẳng
.
HĐ của HS: HS thảo luận nhóm, xác định được (d,CC’) vuông góc với ; (d,AA’) vuông góc với ;
Bước 4: GV định hướng cho HS HĐ với mô hình toán, dự đoán, nhận dạng định lý.
HĐ của GV: Yêu cầu HS xác định xem nếu hai mặt phẳng cắt nhau, cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng như thế nào với mặt phẳng thứ ba?
HĐ của HS: HS thảo luận nhóm, cùng trao đổi, chia sẻ kiến thức của mình, phát hiện được “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau, cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba”.
Bước 5: Xác nhận, củng cố định lý (giải quyết, đánh giá THTT ở bước 1).
HĐ của GV: Lắng nghe câu trả lời của đại diện các nhóm, nhận xét, bổ sung, chỉnh sửa đưa ra câu trả lời hoàn chỉnh nhất.
HĐ của HS: Sử dụng kết luận của định lý để kiểm tra lại cột dựng vuông góc với mặt đất.
Ví dụ 3.10. Tổ chức dạy học định lý sin, bài “Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác”, mục II, SGK Hình học lớp 10 trang 51
Bước 1: GV cho HS quan sát THTT.
HĐ của GV: GV chia lớp làm 4 nhóm, mỗi nhóm 5 - 10 HS, sao cho trình độ của các nhóm đồng đều, cử nhóm trưởng của các nhóm. Phát THTT cho HS.
HĐ của HS: Ngồi theo nhóm, tôn trọng, hợp tác với các bạn trong nhóm, nhận TH từ GV.
Phiếu tình huống
Tại Huyện EaHleo, tỉnh Đắc Lắc vừa đưa vào thử nghiệm làm điện từ các quạt gió. Một du khách đến tham quan quạt gió và ước lượng chiều cao của quạt, nhưng không thể. Em hãy tính chiều cao của quạt gió giúp du khách đó, biết rằng khi ở gần quạt gió, nhìn lên đỉnh quạt thì tạo với đường thẳng qua gốc một góc là 45 độ, đi ra xa khoảng 70 m, thì góc quan sát còn 30 độ.
Chiều cao của người du khách là 1m 56.
(ABB A' ') (BCC B' ') ( ' ' ')A B C
( ' ' ')A B C
( ' ' ')A B C ( ' ' ')A B C