CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TRONG NỀN ĐẤT TỰ NHIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TRỌNG LƯỢNG BẢN THÂN VÀ TẢI TRỌNG NỀN ĐƯỜNG ĐẮP
2.2. Xây dựng bài toán trạng thái ứng suất trong nền đất tự nhiên dưới tải trọng của nền đường đắp
2.2.1. Bài toán trạng thái ứng suất trong nền đất
Xem nền đất tự nhiên là môi trường liên tục [13], xét một phân tố đất trong bài toán phẳng như hình 2.1. Trạng thái ứng suất của một phân tố đất thoả mãn
điều kiện cân bằng tĩnh học, như sau: Hình 2.1. Ứng suất tác dụng trên phân tố đất
x dx
x
x x z xz
zx
z dz
z z
z dz
xz xz
z dz
zx zx
z 0 x
x z
xz x
zx z
(2.4)
trong đó:
x, z, xz, xz - các ứng suất theo các phương trong hệ trục x0z.
- trọng lượng thể tích của đất.
Hệ phương trình (2.4) có ba ẩn x, z, xz = zx nhưng có hai phương trình cho nên vô số nghiệm, do đó cần phải bổ sung phương trình để cho lời giải xác định, các cách làm hiện nay thường như sau:
- Giả thiết đất là vật liệu đàn hồi hoặc đàn - dẻo, ở giai đoạn đàn hồi ta bổ sung thêm phương trình liên tục và ở giai đoạn chảy dẻo ta bổ sung điều kiện chảy dẻo với hệ phương trình (2.4) [4], [5] khi đó có ba phương trình và ba ẩn xác định được trạng thái ứng suất trong nền đất.
- Giả thiết đất là vật liệu cứng - dẻo, ở trạng thái giới hạn của nền đất, ta bổ sung thêm điều kiện phá hoại với hệ phương trình (2.4), ví dụ điều kiện phá hoại Mohr - Coulomb, phương pháp này thường gọi là phương pháp cân bằng giới hạn, cách làm này chỉ xác định được tải trọng giới hạn mà không xác định được trạng thái ứng suất trong nền đất.
Bây giờ, ta giả sử đất là vật liệu đàn hồi tuyến tính, ta có thể đưa thêm điều kiện thế năng biến dạng cực tiểu vào hệ phương trình (2.4), như sau:
V
xz x
z x
z
E 1 min
2
1 2 2 2
(2.5)
trong đó:
E và - mô đun đàn hồi và hệ số nở hông;
V - miền lấy tích phân.
Xác định trạng thái ứng suất trong đất là bài toán tìm cực tiểu của hàm
mục tiêu (2.5) thỏa mãn hệ phương trình vi phân cân bằng tĩnh (2.4). Đây là bài toán quy hoạch phi tuyến, tính phi tuyến thể hiện ở hàm mục tiêu (2.5).
Bài toán này có thể xem là bài toán biến phân, thực hiện phép tính biến phân sẽ nhận được ba phương trình xác định ba hàm ẩn x, z, xz như sau:
Bài toán quy hoạch có ràng buộc trong toán học có thể được biến đổi thành bài toán không có ràng buộc bằng phương pháp thừa số Lagrange.
Phiếm hàm Lagrange mở rộng trong trường hợp này:
min 2 1
1
2
1 2
2 2
dV z
x
x z
E
V x xz
xz z
xz x
z x
z
(2.6)
trong đó:
1 và 2 - thừa số Lagrange, là hàm của tọa độ x, z và hai hàm chưa biết;
x, z, xz - các hàm của tọa độ x và z. Các thành phần ứng suất x, z,
xz trong bài toán cơ học đất xuất phát từ điều kiện cân bằng phân tố và trong môi trường liên tục nên là các hàm liên tục.
Nếu xem phiếm hàm (2.6) là bài toán biến phân, với x, z, xz là các đại lượng biến phân và sử dụng phép tính biến phân, nhận được hệ phương trình:
0 0 1 0
2 1 0 1 0
2 1
2 1
z x
x z
z x
E
x E
z E
xz x
xz z
xz z x
x z
(2.7)
Hệ phương trình (2.7) là hệ có năm phương trình chứa năm ẩn số chưa
biết, gồm x, z, xz , 1 và 2.
Biến đổi phương trình thứ ba của hệ (2.7) ta được:
z x
E
xz
2 1
1
2 (2.8)
Từ (2.8) nhận thấy phương trình 1 và 2 có thứ nguyên là chuyển vị và
1 là chuyển vị thẳng đứng và 2 là chuyển vị ngang của nền đất.
Lấy đạo hàm phương trình thứ tư của hệ (2.7) theo z và phương trình thứ năm của hệ (2.7) theo x rồi cộng lại, ta được:
2 2 2
2 2
2
z z x
x
z x
xz (2.9)
Lấy đạo hàm bậc hai phương trình đầu của hệ (2.7) theo x và đạo hàm bậc hai phương trình thứ hai của hệ (2.7) theo z rồi cộng lại, ta được:
z x z z x
x E
E z x x z
2 1
2 2
2 2
2 1
1 (2.10)
Thay phương trình thứ ba của hệ (2.7) vào phương trình (2.10) ta được
z x E
z E x
E
xz z
x x
z
2 2
2 2
2 1 21
1 (2.11)
Từ phương trình (2.9) thay vào phương trình (2.11)
2 2 2 2 2
2 2
2 1 1
1
z E x
E z E x
z x
z x x
z (2.12)
và biến đổi rút gọn (2.12), ta được:
2 0
2 2 2 2 2 2 2
x z
z x
x z
x
z (2.13a)
hay viết gọn lại:
2 0
x
z (2.13b)
với: 2 - toán tử Laplace.
Từ đó, tìm cực tiểu của phương trình (2.6) được thay bằng hệ phương
trình sau:
0
2 0
z x
x z
xz x
xz z
x z
(2.14)
Trong hệ phương trình (2.14) có ba phương trình để tìm ba hàm ẩn chưa biết x, z và xz, bài toán là có nghiệm. Có thể thấy được rằng đây cũng là cách giải kết hợp phương trình liên tục với hệ phương trình vi phân cân bằng tĩnh học như đã trình bày ở mục 1.4.1.1 của chương 1.
- Giả thiết đất là vật liệu hạt rời và bổ sung điều kiện ổn định theo ứng suất tiếp lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất trong nền đất theo công thức (1.32) [21]
với hệ phương trình (2.4).
Do ứng suất tiếp max trong mặt phẳng x0z được xác định bằng các thành phần ứng suất
x, z, xz và zx như hình 2.2.
2 2
max 2 2
zx xz x
z (2.15)
Thay phương trình (2.15) vào phương trình (1.32), ta được:
2 min 2
1 2 2
G dV Z
V
zx xz x
z (2.16)
Xác định trạng thái ứng suất trong đất là bài toán tìm cực tiểu của hàm mục tiêu (2.16) thỏa mãn hệ phương trình vi phân cân bằng tĩnh (2.4). Đây là bài toán quy hoạch phi tuyến, tính phi tuyến thể hiện ở hàm mục tiêu (2.16).
Bài toán này có thể xem là bài toán biến phân, thực hiện phép tính biến phân như sau:
Sử dụng phương pháp thừa số Lagrange để biến đổi bài toán quy hoạch Hình 2.2. Ứng suất tiếp max
có ràng buộc thành bài toán không có ràng buộc. Phiếm hàm Lagrange mở rộng trong trường hợp này:
2 min 2
1
4
3 2 2
dV z
x
x z
G
V x xz
zx z
zx xz x
z
(2.17)
trong đó:
3 và 4 - thừa số Lagrange, là hàm của tọa độ x, z và hai hàm chưa biết;
x, z, xz và zx - các hàm của tọa độ x và z, là các hàm liên tục.
Nếu xem phiếm hàm (2.17) là bài toán biến phân, với x, z, xz và zx là các đại lượng biến phân và sử dụng phép tính biến phân, nhận được hệ phương trình:
0 0 2 0
1 2 0
1 2 0
1 2 0
1
4 3
4 3
z x
x z
z G
x G
x G
z G
xz x
xz z
xz xz
xz xz
x z
x z
(2.18)
Hệ phương trình (2.18) là hệ có sáu phương trình chứa sáu ẩn số chưa biết, gồm x, z, xz , zx, 3 và 4. Cộng phương trình thứ ba và phương trình thứ tư của hệ (2.18), ta được:
z x
G xz zx
4
1 3
(2.19)
Trong lý thuyết đàn hồi (khi không có mô men khối) thì xz = zx, ta có:
x z
G
zx xz
4 3
2 (2.20)
Từ phương trình (2.20) thấy rằng 3 là chuyển vị thẳng đứng và 4 là chuyển vị ngang của đất nền. Đây là phương trình liên hệ giữa ứng suất tiếp và chuyển vị trong môi trường đàn hồi. Tuy nhiên, trong cơ học đất với giả thiết đất là môi trường hạt rời, không có liên hệ liên hệ giữa ứng suất tiếp và chuyển vị theo phương trình (2.20), vì thế phải tìm cách loại bỏ hai hàm ẩn 3 và 4 trong hệ phương trình (2.18). Nhận thấy, từ bốn phương trình đầu của hệ phương trình (2.18) có thể dẫn về một phương trình của ứng suất như sau:
Lấy đạo hàm phương trình đầu của hệ (2.18) theo x sau đó biến đổi và xét đến phương trình thứ ba của hệ (2.18), ta được:
zx xz x
z G z x z
x
2 3 (2.21)
Lấy đạo hàm phương trình (2.21) theo x, ta được:
zx xz x
z x z
x2
2
(2.22) Lấy đạo hàm phương trình thứ hai của hệ (2.18) theo z sau đó biến đổi và xét phương trình thứ tư của hệ (2.18), ta được:
zx xz x
z G x z x
z
2 4 (2.23)
Lấy đạo hàm phương trình (2.23) theo z, ta được:
zx xz x
z z x
z2
2
(2.24)
Lấy phương trình (2.22) cộng với phương trình (2.24), ta được:
2 0
2 2
2
x z x
z z
x (2.25a)
hay ta viết gọn lại:
2 0
x
z (2.25b)
Từ đó, tìm cực tiểu của phương trình (2.17) được thay bằng hệ phương trình sau:
0
2 0
z x
x z
xz x
zx z
x z
(2.26)
Hệ phương trình (2.26) có ba phương trình để tìm ba ẩn chưa biết x, z và xz = zx, bài toán là có nghiệm. Có thể xem đây là cách giải khác của bài toán trạng thái ứng suất trong nền đất theo hàm mục tiêu (2.16) với ràng buộc là hệ phương trình (2.4). Trong [21] đã dùng hệ phương trình (2.26) để xác định góc dốc tới hạn của lăng trụ cát khô [57] cùng với các trường hợp cụ thể khác chứng tỏ tính hợp lý của việc bổ sung điều kiện (1.32) hay là điều kiện (2.16) trong bài toán phẳng.
Như vậy, với giả thiết đất là vật liệu hạt rời, bài toán xác định trạng thái ứng suất trong đất có hai cách giải. Tuy nhiên, khi xây dựng các bài toán sau này còn có chứa các bất đẳng thức và để có thể sử dụng những thành tựu mới về toán quy hoạch phi tuyến, ta chọn cách giải trực tiếp hàm mục tiêu (2.16) với ràng buộc là hệ phương trình (2.4).
Phần sau đây trình bày việc nghiên cứu trạng thái ứng suất hữu hiệu của nền đất tự nhiên dưới tác dụng của tải trọng nền đường đắp.