CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TRONG NỀN ĐẤT TỰ NHIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TRỌNG LƯỢNG BẢN THÂN VÀ TẢI TRỌNG NỀN ĐƯỜNG ĐẮP
2.3. Phương pháp giải bài toán trạng thái ứng suất trong nền đất tự nhiên dưới tải trọng của nền đường đắp
2.3.1. Phương pháp giải bài toán bằng sai phân hữu hạn
Trạng thái ứng suất trong đất được mô tả trong bài toán trên là phức tạp, khó tìm lời giải giải tích, đặc biệt khi xét trọng lượng thể tích của nền đất.
Thực tế đã có nhiều các lời giải thành công bài toán trạng thái ứng suất trong đất bằng phương pháp số. Chẳng hạn như Socolovski, phương pháp sai phân hữu hạn giải các bài toán cân bằng giới hạn rất hiệu quả, như là đơn giản và trực quan dễ kiểm soát [31]. Vì thế, bài toán này được chọn giải bằng phương pháp số, cụ thể là phương pháp sai phân hữu hạn [14], [27]. Sau đây trình bày lời giải bài toán như sau:
Sơ đồ chia khối đất thành lưới sai phân hữu hạn như hình 2.5.
trong hình 2.5 ký hiệu:
x và z - kích thước của ô lưới theo phương trục x và z;
na; ma - kích thước của lưới sai phân hữu hạn theo phương trục x và z;
n0 - điểm giữa của lưới ở mặt thoáng, với n0 = (1 + na)/2;
i và j - vị trí hàng i và cột j của nút trong lưới sai phân.
Hình 2.5. Sơ đồ lưới sai phân hữu hạn
Tại các điểm nút (i,j) có các thành phần ứng suất ’x(i,j)
, ’z(i,j)
, ’xz(i,j). Sơ đồ lưới sai phân chọn sao cho ứng suất của các nút trong khối đất cũng như trên biên đều nằm trong các phương trình cân bằng và trong hàm mục tiêu.
Xét ô lưới được xác định bởi bốn nút: (i,j);
(i, j+1); (i+1, j) và (i+1, j+1) như hình 2.6, có diện tích ô lưới f = x z. Từ đó, ta viết lại các phương trình của bài toán tìm cực tiểu của hàm mục tiêu (2.28) dưới dạng sai phân.
- Từ phương trình hàm mục tiêu (2.28) viết phương trình sai phân cho mỗi nút lưới, ta được:
min 2 '
' '
1 , , 2 , 2
) ,
( x z
Z G xzi j
j i x j i z
i j i j (2.32)
Với: G(i,j) - mô đun trượt của nền đất tại nút lưới i,j.
Theo George Gazetas [53], khi nghiên cứu về móng cọc trong nền đất chịu tác dụng tải trọng động đất thì với đất sét cố kết thông thường G tăng tuyến tính theo chiều sâu; với đất cát G tăng theo quy luật hàm số mũ; với đất sét cứng quá cố kết G là hằng số, như hình 2.7.
Nếu xét cho trường hợp G thay đổi tuyến tính theo chiều sâu thì:
Gz = G(1 + z) (2.33)
Hình 2.7. Mô đun trượt
(a – sơ đồ lưới sai phân; b – G là hằng số; c – G tăng tuyến tính)
G(i,j) G(i,j)
Hình 2.6. Ô lưới sai phân
với: G và Gz - mô đun trượt tại bề mặt và tại độ sâu z.
Viết trên lưới sai phân, ta có:
G(i,j) = G[1 + (i – 1) z] (2.34)
Nếu G là hằng số thì có thể không xét trong bài toán trạng thái ứng suất.
- Từ hệ phương trình (2.27) viết cho điểm giữa của ô lưới sai phân hữu hạn đang xét, ta được:
(2.35)
Phương trình (2.35) được viết gọn lại như sau:
0 '
'
' '
x z
z x z
x
xz x
xz
z (2.35a)
Chia các phương của hệ (2.35a) cho z ta được:
0 '
'
' '
z x z x
x
xz x
xz z
(2.35b)
Trong hệ phương trình (2.35b) ta đặt:
= x (2.36)
Khi = 0 thì = 0 thay vào hệ phương trình (2.35b) ta thấy hệ phương trình này không thứ nguyên đối với kích thước lưới sai phân. Nếu trong tính toán lựa chọn kích thước ô lưới sai phân có tỉ số x/ z = 1 thì hệ phương trình (2.35b) được viết như sau:
1 0 2
' '
2 ' '
1 2
' '
2 ' '
1 2
' '
2 ' '
1 2
' '
2 ' '
) , ( ) 1 , ( ) , 1 ( ) 1 , 1 (
) , ( ) , 1 ( ) 1 , ( ) 1 , 1 (
) , ( ) , 1 ( ) 1 , ( ) 1 , 1 (
) , ( ) 1 , ( ) , 1 ( ) 1 , 1 (
z z x
z x x
z x z
x x
z z x
j i xz j
i xz j
i xz j
i xz
j i x j i x j
i x j
i x
j i xz j i xz j
i xz j
i xz
j i z j
i z j
i z j
i z
0 ' '
' '
xz x
xz
z (2.37)
Đại lượng có vai trò như một tải trọng đặc trưng cho trọng lượng bản thân của đất, như sau:
+ Khi không xét trọng lượng bản thân nền đất, tức = 0 thì = 0 thay vào hệ phương trình (2.37) ta thấy hệ phương trình vi phân cân bằng tĩnh học dưới dạng sai phân hữu hạn không phụ thuộc vào kích thước ô lưới sai phân. Vì vậy, trong các tính toán dưới để kết quả tính toán không phụ thuộc vào ô lưới sai phân ta chọn x = z.
+ Khi xét trọng lượng bản thân nền đất, tức ≠ 0 thì ≠ 0 thay vào phương trình (2.37) ta thấy phương trình vi phân cân bằng tĩnh học dưới dạng sai phân hữu hạn phụ thuộc vào kích thước ô lưới sai phân. Nếu trong tính toán ta chọn x = b/n (n là số chẵn, nguyên dương) thay vào (2.35b) và (2.36) ta thấy rằng hệ phương trình này còn phụ thuộc vào kích thước chiều rộng của tải trọng nền đắp và trọng lượng thể tích của đất. Vấn đề này được thể hiện khi giải bài toán và kết quả ở những phần sau.
- Điều kiện đất là vật liệu không chịu kéo, từ phương trình (2.29) ta có ứng suất của mỗi nút lưới phải thoả mãn điều kiện:
’x(i,j)≥ 0 và ’z(i,j)≥ 0 (2.38)
- Điều kiện bền Mohr – Coulomb, từ bất phương trình (2.30) viết cho mỗi điểm nút, ta được:
0 cos 2 sin
' ' '
2 ' ) '
(
, 2 ,
, , 2
,
c k
f
j i x j i j z
i xz j
i x j i
z (2.39)
- Điều kiện biên của bài toán, là các thành phần ứng suất tại các nút (1,j) (tại mặt thoáng nằm ngang của khối đất), từ biểu thức (2.31) và hình 2.8 ta có:
+ Các nút không chịu tác dụng của tải trọng
(2.40a) + Các nút chịu tác dụng của tải trọng nền đường đắp
(2.40b) Do chỉ xét được khối đất hữu hạn của một nửa mặt phẳng vô hạn, nên cần thêm điều kiện biên là trạng thái ứng suất các nút ở cạnh dưới và hai bên của lưới sai phân hữu hạn. Nhận thấy, khi ở xa điểm đặt lực thì các ứng suất tại các nút liền kề theo phương đứng và phương ngang xấp xỉ bằng nhau, vì thế điều kiện biên dưới và hai bên khối đất được viết:
+ Điều kiện biên hai bên theo phương trục x
( ’x
(i,j)
- ’x (i,j+1)
)2 min (2.40c)
+ Điều kiện biên dưới theo phương trục z ( ’z(i,j)
- ’z(i+1,j)
)2 min (2.40d)
Ngoài các ứng suất nói trên, các ứng suất còn lại tại các nút trong lưới sai phân hữu hạn là chưa biết. Các ứng suất chưa biết này là các ẩn số được đưa vào hàm mục tiêu và các phương trình của bài toán.