CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT GIỚI HẠN
3.2. Nghiên cứu trạng thái ứng suất giới hạn trong nền đất tự nhiên dưới tác dụng của tải trọng nền đường đắp và bệ phản áp
3.2.1. Đặt vấn đề
Vấn đề trình bày tại mục 3.1.1 nghiên cứu bài toán trạng thái ứng suất trong nền đất dưới tác dụng của tải trọng nền đắp và bệ phản áp ở trạng thái chưa giới hạn. Những trình bày dưới đây nghiên cứu bài toán này ở trạng thái giới hạn.
Kết quả nghiên cứu ở mục 3.1.3.2 hay là bài toán 3.2 cho thấy khi cường độ tải trọng nền đường đắp tăng lên thì trạng thái ứng suất tăng lên, điểm biến dạng dẻo xuất hiện, phát triển thành vùng trong nền đất sau đó lớn dần lên.
Giá trị lớn nhất của tải trọng ngoài tương ứng với một cơ cấu phá hỏng cho phép chính là tải trọng giới hạn, ví dụ như căn cứ vào phát triển của vùng biến dạng dẻo. Đặc điểm của cách làm này là tiêu chuẩn phá hoại rất khó xác định và có nhiều quan điểm khác nhau.
Vì vậy, để xác định tải trọng giới hạn và trạng thái ứng suất tương ứng hay trạng thái ứng suất giới hạn ta sử dụng định lý giới hạn dưới, định lý này được sử dụng trong nghiên cứu trạng thái ứng suất [61]. Từ đó, kết hợp bài toán xác định trạng thái ứng suất phẳng chưa giới hạn với định lý giới hạn dưới để nghiên cứu trạng thái ứng suất giới hạn trong nền đất dưới tác dụng của tải trọng nền đắp và bệ phản áp.
3.2.2. Xây dựng bài toán trạng thái ứng suất giới hạn
Theo định lý phân tích giới hạn, khi tăng tải trọng ngoài p (tải trọng nền đường đắp) thì trạng thái ứng suất tăng lên. Giả sử mỗi điểm trong đất đều có khả năng đạt trạng thái ứng suất giới hạn, theo điều kiện bền Mohr – Coulomb thì f(k) = 0, trạng thái ứng suất giới hạn trong nền đất được xác định dưới dạng bình phương tối thiểu như sau:
min cos
2 sin ' ' '
2 ' ' 1
2 2
2
max c dV p
Z G
V
x z xz x
z (3.11)
trong đó: p - giá trị lớn nhất của tải trọng nền đường đắp để nền đất tự nhiên ở trạng thái giới hạn.
Trạng thái giới hạn theo công thức (3.11) phải thoả mãn bài toán trạng thái ứng suất được trình bày ở mục 3.1.1. Kết hợp lại, ta có bài toán xác định trạng thái ứng suất giới hạn trong nền đất tự nhiên dưới tác dụng của nền đường đắp và bệ phản áp được trình bày như sau:
Tìm cực tiểu của hàm mục tiêu:
min
cos 2 sin
' ' '
2 ' ' 1
2 ' ' ' 1
2 2
2 2 2
p
dV G c
G dV Z
V
x z xz x
z V
xz x
z
(3.12)
Hàm mục tiêu (3.12) cần thỏa mãn các ràng buộc sau:
- Hệ phương trình (3.7);
- Điều kiện đất là vật liệu không chịu kéo (2.29);
- Điều kiện bền Mohr – Coulomb (2.30);
- Điều kiện biên mặt thoáng của bài toán: điều kiện này cũng gần tương tự như điều kiện (3.8). Tuy nhiên, tải trọng nền đường đắp p ứng với giá trị lớn nhất để nền đất ở trạng thái giới hạn cho nên cũng là ẩn số của bài toán, giá trị tìm được này là tải trọng giới hạn, ký hiệu pgh (kPa). Do đó, nếu viết điều kiện này gắn với mô tả ở hình 3.2, ta được:
(3.13)
Tóm lại: Bài toán xác định trạng thái ứng suất giới hạn trong nền đất tự nhiên dưới tác dụng của tải trọng nền đường đắp và bệ phản áp là bài toán tìm cực tiểu của hàm mục tiêu (3.12) với các ràng buộc là các phương trình (3.7);
(2.29); (2.30) và điều kiện biên mặt thoáng (3.13). Đây cũng là bài toán quy hoạch phi tuyến, tính phi tuyến thể hiện ở hàm mục tiêu (3.12) và phương trình (2.30).
3.2.3. Phương pháp giải bài toán trạng thái ứng suất giới hạn 3.2.3.1. Phương pháp giải bài toán bằng sai phân hữu hạn
Trạng thái ứng suất trong đất được mô tả trong bài toán trên là phức tạp, khó tìm lời giải giải tích. Do vậy, cũng chọn giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn, cách giải trình bày gần giống như mục 3.1.2.1. Cụ thể như sau:
Chia khối đất thành lưới sai phân hữu hạn như hình 3.3, tại các điểm nút (i,j) có các thành phần ứng suất ’x(i,j)
, ’z(i,j)
, ’xz(i,j)
;
- Từ hàm mục tiêu (3.12) viết phương trình sai phân cho mỗi nút lưới, ta được:
min
cos 2 sin
' ' '
2 ' ' 1
2 ' ' '
1
2 ,
2 , , , 2
, )
, (
, 2 , 2
, ) , (
p
z x G c
z G x
Z
i j
j i x j i j z
i xz j
i x j i z j
i
j i xz j
i x j i z
i j i j
(3.14)
- Từ hệ phương trình (3.7), (2.29), (2.30) và điều kiện biên của bài toán so
an so
an la b p
x
so an q
b L b x
so an b L
x
x z
xz
x xz
z
x xz
z
'
; '
; 0 2 '
'
; 0 '
; 2 '
2
'
; 0 '
; 0
2 ' là ẩn số
là ẩn số là ẩn số là ẩn số
(3.13) viết các phương trình sai phân gần tương tự như mục 3.1.2.1.
Tóm lại: Bài toán xác định trạng thái ứng suất giới hạn theo phương pháp sai phân hữu hạn là tìm cực tiểu của hàm mục tiêu (3.14) thoả mãn các điều kiện ràng buộc là các phương trình (3.9), (2.38), (2.39) và các điều kiện biên (3.10a), (3.10b), (3.10c), (2.40c), (2.40d) (lưu ý trong (3.10b) thì p - là ẩn của bài toán).
Sau đây, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết chương trình giải bài toán quy hoạch phi tuyến.
3.2.3.2. Lập chương trình giải bài toán bằng ngôn ngữ Matlab
Vì tính chất đối xứng nên ta lập lưới sai phân với số nút tính toán theo trục 0z thay đổi từ 1÷ ma, theo trục 0x thay đổi từ 1 ÷ n0 như hình 3.5.
Sử dụng các hàm có sẵn trong phần mềm Matlab và chọn phương pháp thử dần, lập chương trình tính toán có tên Damk4 và hai chương trình con Damk4a, Damk4b như sau:
- Chương trình Damk4 là chương trình chung, xác định các ẩn của bài toán, hai phương trình cân bằng và điều kiện đất là vật liệu không chịu kéo;
- Chương trình Damk4a chứa hàm mục tiêu và điều kiện dẻo;
- Chương trình Damk4b chứa điều kiện bền Mohr – Coulomb.
Trong chương trình này cần khai báo các dữ liệu đầu vào:
- Nền đất tự nhiên gồm: góc ma sát trong (o); lực dính đơn vị c (kPa);
trọng lượng thể tích, (kN/m3); mô đun trượt, G (kPa);
- Tải trọng nền đường đắp gồm: chiều rộng, b (m);
- Tải trọng bệ phản áp gồm: chiều rộng, L (m) và cường độ, q (kPa).
Nghiệm của bài toán xác định được các ứng suất hữu hiệu ở trạng thái giới hạn và tải trọng giới hạn hay sức chịu tải của nền đất tự nhiên. Đồng thời cũng xác định được đường đẳng bền và vùng biến dạng dẻo ở trạng thái giới hạn dưới tác dụng của tải trọng nền đường đắp và bệ phản áp.