2.6.1. Bình chứa chát lỏng chuyến động thẳng với gia tốc a không đổi
'Trường hợp này thường gặp ở các xe chở dầu, nước. Mỗi phần tử chất lỏng chịu tác dụng của hai lực khối: Trọng lực G = mg và lực quán tính R = -m a , với m là khối- lượng của phàn tử chất lỏng. Chọn hệ trục toạ độ như trên (hình 2.11) thì hình chiếu của lực khci lên các trục là:
X = - a Y = 0 2.6.1.1. M ặt đẳng áp
Từ phương trình (2.8): dp = p(Xdx + Ydy + Zdz),
v ì \ớ i m ặ t đ ẳ n g áp thì p = c o n s t n ên d p = 0 , ở đ â y có:
-ad x - gdz = 0 Tích phân 2 vế:
ax + gz = c ha'
a
z = - g
z = X + c
Vậy mặt đáng áp là mặt phẳng nghiêng, họ các Hình 2.11
mặ đẳng áp song song lập thành một góc a đối với mặt nằm ngang tga = - —. Nếu a > 0,cí g
33
tức là trường hợp chuyển động nhanh dần đều => tg a < 0 chất lỏng dồn về phía sau. Còn nếu oc < 0 tức là chuyển động chậm dần đều => tg a > 0, thì chất lỏng dồn về phía trước.
Thấy ngay rằng mặt đẳng áp vuộng góc với vectơ tổng hợp J . V ì hiện tượng này nen trong máy bay phải có biện pháp đặc biệt đảm bảo việc cung cấp nhiên liệu được điểu hoà trong mọi trường hợp, còn trong ô tô thì bầu chứa xăng của bộ chế hoà khí được đặt quay về phía trước.
2.6.1.2. Sự phân b ố áp suất Cũng theo (2.8) ta có:
Khi biết các toạ độ (x-z) sẽ xác định được áp suất p.
2.6.2. Bình chứa chất lỏng quay xung quanh trục thảng đứng với vận tốc góc co dp = p (-ad x - gdz)
Lấy tích phân sẽ được:
p = - pax - pgz + c
Theo hình 2.11, tại X = 0, z = 0 thì p = p0, do đó c = pQ.
Vậy phân bố áp suất có dạng:
p = Po - Pax -
khổng đổi z
Trường hợp đúc các vật theo phương pháp li tâm là ví dụ về bình quay. Lực tác dụng lên mỗi phân tử chất lỏng bao gồm: trọng lực G = mg và lực quán tính ly tâm F = m arr, trong đó co là vận tốc góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử chất lỏng đang xét đến trục quay. Theo toạ độ trên hình 2.12 lấy m = 1 thì hình chiếu của các lực khối lên các trục là:
X = orx Y = co2y z = - g 2.6.2.1. Phân bô' áp suất
Theo phương trình (2.8) ta có:
dp = p(orxdx + orydy - gdz) Tích phân hai vế sẽ được:
X
p = ^ - ( x 2 + y 2) - y z + c,
hay
_ p ô 2 2
p = 2 r ~ yZ + C i
y Iỉình 2.12
Tại X = 0, y = 0 tức là r = 0 thì z = z0 và p = pG nên C | = pa + yzc Vậy sự phân bố áp suất có dạng:
p tt2 2 / X
P = P a + . r - T ( z - z 0 )
2.6.2.2. Phương trình mặt thoáng
Trên mặt thoáng p = const vậy dp = 0 do đó:
p = (co2xdx + Cú2 ydy - gdz) = 0 Tích phân hai vế nhận được:
pco 2 2 \ _ r'
^ - ( x + y ) - p g z = C 2
hay pw2 2 - p g z = C 2_ n
Vậy mặt đẳng áp là những mặt Parabôlôit quay quanh trục Oz. Khi r = 0 thì z = z0. Vậy hằng số tích phân C2 = - p g z 0 = - yz„.
Do đó ta có phưcnig trình:
^ 2 , 2
pto I
hay
( z - z „ )
ỴZ = - ỵ z
co2r2 2g
(2.27) (2.27) là phương trình mặt thoáng.
Chiều cao của Parabôlôit là:
H = củ2R 2 2g
Trong đó: R - bán kính của bình chứa.
2r,
(2.26)
H M ,
Jo
Hình 2.13
Trong thực tế hay thường gặp trường hợp bình chứa chất lỏng quay xung quanh trục nằm ngang (hình 2.13), vận tốc góc lớn, có thể bỏ qua trọng lực vì nó nhỏ so với các lực quán tính li tâm. Nếu thay X = orx, Y = co2y, z = 0 vào phương trình (2.8) và lấy tích phân sẽ được:
2
Khi r = rc, p = p0 thì:
c = p - p ® 2rổ
35
Vậy: _ „ , p® / 2 2 \
P = P o + i l ^ ( r - f o ) (2.28)
Rõ ràng mặt đẳng áp là mặt xi lanh có trục trùng với trục quay. Bình chỉ chứa một phần chất lỏng thì mặt thoáng tạo thành khi quay là mặt xi lanh có áp suất p0 và bán bính r0.
Người ta đã ứng dụng quy luật phân bố áp suất trong bình quay đúc các bánh xe, các ống dẫn nước bằng kim loại theo phương pháp li tâm, chế tạo các máy đo vòng quay, các hệ thống bôi trơn ổ trục khi trục quay thẳng đứng.
Ví dụ 2.2
Một ống chữ u có đáy AB nằm ngang dài / = 20cm đặt trên chiếc ô tô đang chạy chậm dần đều với gia tốc a. Xác định gia tốc của ô tô khi độ chênh mực chất lỏng giữa hai ống AC và BD là Áh = 12cm (hình 2.14).
Bài giải
Nối hai điểm IK ta có mặt mức của khối chất lỏng tĩnh tương đối. Do đó gia tốc tổng hợp J = g + ã sẽ vuông góc với mặt IK. Từ đó rút ra:
ạ = i i = 0 , 6
/ 20
Hay gia tốc a = 0,6g ô 6m/s2.
V í dụ 2.3
Bình trụ tròn đậy kín có chiều cao H và đường kính D chứa chất lỏng đến —chiều cao (hình 2.15). Tính3
4
xem bình quay quanh trục thẳng đứng của nó với vận tốc góc Cừ bằng bao nhiêu để Parabôlôit tròn xoay của mặt phẳng chạm đến đáy bình.
Bài giải:
Khi bình quay quanh với vận tốc góc 0) thì mặt thoáng của chất lỏng có dạng Parabôlôit tròn xoay:
tga = -a g
Hình 2.14
z - z . coV
2g
Hình 2.15
2 2
r = X + y'
Theo điều kiện bài toán thì khi r = 0 ta có z = 0. Nên z0 = 0. Vậy ta có z = co2r 2
2g
hay
2gz
r <0;
Thể tích Parabỏỉôií AOB là:
2nẽ Hr . rcgH:
H H
V = 711 r 2dz = — I zdz =
o ^ o co2
Thể tích này bằng — thể tích của bình. Do đó:
4
TTgH2 = 1 7tP2
CO 4 4
Từ đó có:
= 16gH to =
hay
D 2
C0 = -^ V g H (1/s) D