Cơ chế chuyển động của dòng rối thật quá phức tạp so với dòng chảy tầng. Môi trường dòng chảy được coi như choán đầy các phần tử chất lỏng chuyển động hỗn loạn, nói chung có xu thế xuôi dòng, tốc độ tại một điểm luôn thay đổi cả về vị trí số và phương hướng, thật khó mô tả chính xác. Do bản chất rời rạc nên nó được xem như tập hợp các tính chất mang tính chất thống kê.
4.6.2.1. Lưu tốc thực, lưu tốc trung bình thời gian, lưu tốc mạch động
Hiển nhiên lưu tốc ở một điểm luôn thay đổi cả về trị số và phương hướng theo thời gian (hình 4.8a), chỉ riêng thành phần ux dọc theo trục dòng chảy (hình 4.8b) cũng là một đường dích dắc khá phức tạp không thể biểu diễn bằng phương trình cụ thể. Song nếu xét trong thời gian đủ dài Tx thì ux cũng có quy luật, tăng giảm xung quanh giá trị không đổi U x - lưu tốc trung bình thời gian. Như vậy theo phương pháp thống kê ta có:
a) b)
Hình 4.8
a) Lưu tốc ở một điểm; b) Thành phần lưu tốc tlieo phương X
Lưu tốc tức thời hoặc lưu tốc thực là lưu tốc trung bình thời gian cộng với thành phần thay đổi không ngừng xung quanh giá trị trung bình thời gian - mạch động lưu tốc. Theo ba trục toạ độ ta có các thành phần lưu tốc là:
trong đó:
Tương tự cho u , u z còn
u x = u x + u 'x
Uy = ũy + uý
u z = ũ z + u 'z
- j _ Tf
u * T J u
o
dx
u 'x = Ậ j u 'xd t = o
0
( 4 . 3 1 )
(4.32)
(4.33)
Thực vậy theo (4.31) ta tìm được giá trị trung bình thời gian của ux dọc trục X là:
dt
T T T
í uxd t = ệ j n xd t + Ỳ j u'x
o o o
hay 11 „ = u„ + Ị < dt
o
do đó u; = 0, tương tự ta có ũ' = s 0 . Cùng với hiện tượng mạch động lưu tốc, động áp lực cũng có hiện tượng mạch động, tác là:
P = P + P' (4.34)
biếu thị sự thay đổi không ngừng của mực nước trong ống đo áp xung quanh trị số trung bình thời gian.
Để tiện nghiên cứu quy luật của dòng rối Râynôn (1895) và Buxinetscơ (1897) đề nghị thay dòng chảy thực bằng dòng chảy trung bình thời gian (dòng tưởng tượng). Nếu ũ không phụ thuộc thời gian t sẽ có dòng trung bình thời gian ổn định (hình 4.8c), còn ũ phụ thuộc thời gian t cho dòng thời gian không ổn định (hình 4.8d).
c)
Hình 4.8:
c) Ôn dinh; d) Không Ổn định Cho tới đây đã có bốn khái niệm về lưu tốc được nêu ra:
• Lưu tốc thực;
• Lưu tốc trung bình thời gian ũ ;
• Lưu tốc mạch động u\
• Lưu tốc trung bình m ặ t cắt V.
trong đó ũ và V đều là các lưu tốc tưởng tượng.
4.6.2.2. N ăng lượng của dòng rối
Động năng của dòng rối biểu thị bằng động năng đơn vị (là động năng trung bình của một đơn vị trọng lượng chất lòng):
Ke = i ( u | + < + ^ ) (4.35)
137
Cường độ rối trung bình thông qua độ lệch bình phương trung bình:
dt (4.36)
Đối với u'x dọc theo phương trục Ox, ta có cườno độ rối theo phương trục X.
Tương tự cho u'v và u'z dọc theo trục Oy và 0z có cường độ rối theo phương y và z.
/ u 2x/u. 2'4
ĨJỉ\i. 1,6
Ị^Ẹlu. 0,8
□ R = 5 X 10 o R = 5 x 1 0
b)
uôyV c)
Hình 4.9: Cường độ rối và ứng suất tiếp rối đôi với rối chảy đêu a) Cường độ rối; b) ứng suất tiếp; c) Phản phối năng lượng của dòng rối
Cường độ rối không tlr' nguvên ứ. vói hai trị số Re (5.1 o4 và 5.1 o5) đối với dòng chảy rối trong ống đã phát triển đầy đủ được đo và cho ở hình 4.9a. Cường độ rối theo phương ngang u’y và u'z không những nhó thua u'x mà còn khá gần nhau.
Hình 4.9b chỉ ra ứng suất V 'i ẹ thứ nguyên < uy uỉ
đối với cùng trị số Re như ở hình 4.9a.
Phân bố năng lượng trong quá trình chuycn c ơ năng thìiiih nhiệt năng và thành năng lượng rối của dòng trung bình thời gian (hình 4.9c).
Theo R â v n o ii đối với dòno chảy trong ống ta C’-phưưng trình chuyến hoá cơ năng:
dư \2
= puxux - y
dr -M
lũ- )du, (4.37)
Gọi y là khoảng cách từ thành rắn đến lớp chất lỏng đang xét:
y = r0 - r
Căn cứ vào phân tích và kết quả đã nêu ta có thể có một số nhận xét sau:
• Cường độ rối gần tâm ống là như nhau đối với một thành phần lưu tốc.
• ứng suất tiếp lớn nhất ở gần thành rắn, còn tâm ống bằng không.
• Chuyển hoá năng lượng rối đạt giá trị lớn nhất ở nơi có:
M = 12
V
rất gần đỉnh của lớp mỏng chảy táng.
4 .6 .2 3. Tính liên tục của dòng rối
Tính liên tục thể hiện bằng phương trình vi phân liên tục. Sứ dụng (4.31) ta có:
hoặc:
õ {ux + u'x ) | d(Uy + u ý ) , d ( u x + Uz) _ Q
ổx õy õz
ổu ỡu ổu
— - + Ì- + —-^ +
ổx õy õz õx
ỡuý Ôu[
õy õz 0
Lây trung bình từng sô hạng ta có:
—I du'
— — r
ỡu . õũ Vì vậy:
và
--- +
ỡx ỡy Ôz
cũ ír ũy dũ7 A+ ■ +
ÕK õy õz
Ỡu* du' 1
\ --- --■ -bou ,X z _
= 0
^ = 0
õ \ ơy ỞL
(4.38)
(4.39)
139
Vậy là cả hai thành phần trung bình thời gian và thành phần rối phải thoả mãn phương trình liên tục.
4.6.3. ứ n g su ất tiếp tro n g dòng chảy rối
Sự xáo trộn của các phần tử chất lỏng có thể xem như sự xáo trộn của các lớp chất lỏng tưởng tượng, như vậy giữa chúng có sự trao đổi động lượng và do đó xuất hiện ứng suất tiếp rối giữa chúng. Định lí biến thiên động lượng.
Theo Buxinétscơ (1887):
du dy
trong đó: r| - hệ số nhớt rối, phụ thuộc chủ yếu vào cấu trúc dòng chảy.
Năm 1895 Râynôn chứng minh rằng:
(4.40)
T r = - p u 'x u 'y
Cả hai (4.40) và (4.41) chưa giúp giải quyết phân bố lưu tốc tại mặt cắt ngang. Phải đợi đến Pơrantơ (1926) mới cho cách giải thích tương đối đầy đủ.
Hình 4.10 cho thấy các phần tử chất lỏng luôn mạch động với lưu tốc u'y ra vào qua mặt phân chia y+Ay hai lóp chất lòng. Phân tử lớp 1 có ũ lọt vào hẳn
_ dũ
lớp 2 sẽ có lưu tốc là: 11+ ——/ đồng thời khối dy
lượng chất lỏng chuyển qua trong thời gian Àt là:
Am = pAco lu'yl At Do vậy động lượng lớp 2 thay đổi là:
dũ
(4.41)
v/^ m í0
Hình 4.10
A K = A m —— = p A co I u' I A t — /'du
dy y dy
Biến thiên AK phải cân bằng với xung lực AT tác dụng lên Aco trong thời gian At:
At = T,AcoAt
Do đ ó ta c ó lượng ứ n g s u ấ t ti ế p d ọ c t h e o trục X trên m ặ t p h â n c h i a hai lóp khi ch ấ t l ỏ n g c h u y ể n đ ộ n g d ọ c t h e o trục X, c ó m ạ c h đ ộ n g n g a n g ở m ặ t v u ô n g g ó c v ớ i t r ụ c x :
dũ dy So sánh (4.42) và (4.41) cho thấy:
T r = p l u ý I/’ (4.42)
= /■ §
dy (4.43)
Giả sử đô lớn của lu' I = kl u'xl tức là:
' 1 _ 1^/.du u , I = k/ —
y dy
Thay (4.44) vào (4.42) ta được:
pk/
hoặc:
Tr = p/■
du dy
dy
(4.44)
(4.45)
(4.46)
V /
Với I2 = k/'2 và / được gọi là độ dài đường xáo trộn của hai lớp chất lỏng.
So sánh (4.46) và (4.40) cho thấy:
2 du r| = P / J
dy (4.47)
Tổng quát ta có ứng suất tiếp trong dòng rối gồm: ứng suất tiếp do trao đổi động lượng rối và ứng suất nhớt (nội ma sát) của các phần tử chất lỏng và giữa chất lỏng với thành rắn tạo ra:
du 2
T = T, + T r = n ^ - + p /
dy dy (4.48)
Biểu thức (4.48) sẽ được sử dụng để tìm I và quỵ luật thay đổi tốc độ mặt cắt nếu biết
/ = /(y), song thật khó có khả năng áp dụng cho dòng chảy trong trường hợp chung.
Cácman (1936) cho rằng độ rối của các điểm khác nhau là do độ dài và thời gian đã rút ra:
_ \ 4
Tr = P K ‘ du
dy (4.49)
d u
dy' So sánh (4.46) ta thấy:
/ = K
du _dy_
d 2u dy2
(4.50)
K không phải là hằng số trên toàn mặt cắt. Theo Ph.A.Sevelev thì:
K = 0,337d“°'08