1. Vẽ đường dòng và đường đẳng thế
3.8. GIẢI THÍCH PHƯƠNG TRÌNH BÉCNƯLI CHO TIA DÒNG CỦA CHẤT LỎNG KHÔNG NHỚT VÀ CHẤT LỎNG THựC
3.8.3. Giải thích vật lí
Giả sử phần tử chất lỏng lí tưởng với khối lượng ỗm chuyển động theo trục AB bên trong dòng nguyên tố (hình 3.17). Xác định tổng năng lượng tức là động năng và thế năng tại các mặt cắt (1-1) và (2-2).
Động năng của phần tử chất lỏng tại (1-1) bằng ôm — . Thế năng (tổng vị năng và áp năng)bằng gôm
V ■ Y /
Tổng năng lượng của phần tử chất lỏng tại mặt cắt (1-1) (thế năng cộng động năng) bằng:
2
E = Z]gỖm + — gôm + ô m — (3 .4 7 )
y 2g
Chia biếu thức (3.47) cho trọng lượng của phần tử chất lỏng gôm, ta nhận được tỉ năng đơn vị, tức là năng lượng ứng với một đơn vị trọng lượng chất lỏng chảy qua mặt cắt 1-1.
P| uf
e = Z| + — + -71-
7 2g Cũng như vậy, tỉ năng tại mặt cắt 2-2 sẽ là:
p ? u 2 e = z7 + - ^ 4 - —
y 2g
Từ phương trình Bécnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng lí tưởng, suy ra tỉ năng tại mặt cắt đầu phải bằng tí năng tại mặt cắt thứ hai nghĩa là đối với mặt cắt bất kì của tia dòng ta có:
e = z + —+ — (3.48)
Y 2g
Vì vậy tỉ năng toàn phần của dòng nguyên tố chất lỏng lí tưởng giữ giá trị không đổi dọc theo đường dòng và bao gồm ba phần:
• Vị năng đon vị z đo bằng độ cao vị trí của phần tử chất lỏng so với mặt chuẩn 0-0.
• Ap năng đơn vị đo băng độ cao đo áp —.p Y
2
• Đông năng đơn vi đo bằng đô cao lưu tốc — . 2g
Như vậy từ giải thích vật lí, phương trình Bécmili là trường hợp riêng của định luật bảo toàn năng lượng trong tự nhiên.
Đối với chuyển động chất lỏng thực, năng lượng đơn vị toàn phần dọc theo tia dòng luôn giam do nãng lượng bị tiêu hao trên đường đi, và do đó đường năng 0'-0" luôn dốc xuống (hình 3.18).
3.9. PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG NH Ớ T (Phương trình Naviê-Stốc)
Đê viết phương trình chuyên động của chất lỏng thực, ta lập luận tương tự như đối với chất lỏng lí tưởng, tức là xét phân tố hình hộp chữ nhật rất nhỏ có các cạnh dx, dy, dz, có khác chí là đối với phần tử chất lỏng thực ngoài áp suất p phải thêm thành phần ứng xuất pháp tuyến và tiếp tuyến do nhớt gây ra. Trước hết viết phương trình đối với trục Ox.
Các lực tác dụng bao gồm lực khối, lực mặt và lực quán tính:
Hình 3.19: Các ứng suất mặt của phần tử hình hộp
• Lực khối: X = pdxdydz
• Lực mặt:
- Á p lực:
p - ổp
p + — dx ỡx
'V
dydz = dxdydz ỡx
- Lực do ứng suất nhói tác dụng lên các mặt của hình hộp:
+ Tại những mặt vuông góc với trục Ox:
9 7
~ ơ x + ơ x +
ổx dx dydz = - ^ 2Ldxdydz + Tại những mặt vuông góc với trục Oy:
' ÕT.
_ T y x + v +
y x
' dy
dy ÕT
dydz = + — — dxdydz õy
+ Tại những mặt vuông góc với trục Oz:
T z x +
õĩ.
Xzx +
ổz dz dydx = + - ^ ỉí-dxdydz ỡz
Lực quán tính của khối chất lỏng có gia tốc — Mà:du
pdxdydz dux dt Theo định luật II Niutơn ta có:
du dp
pdxdydz = Xpdxdydz - — dxdydz +
dt ổx õx õy
yx + ^ z x
ổz dxdydz hay
du dp
J P = X P ~ i r +
dt ổx
dax | g v | d r zx
V
(3.49)
õx dy õz
Với giả thiết biến dạng nhỏ ta thay ơ x bằng hàm tuyến tính vận tốc biến hình dài tương đối, thành phần tiếp tuyến Tyx và Tzx là hàm tuyến tính vận tốc biến hình góc thì (3.49) được viết là:
du- i . = x --- - + -IỂEa.ii
dt p ổx p
Ỡ2U
u d u x _ V 1 d p
hay — *- = X - —— + v
dt p ổx
^ a 2 u x Ỡ 2 U X
— r- + ----^ - +
ỡx õy-
Õ2U õ z2
õx2
+ ư X I y I X J ổy2 ỡxỡy ổz2 õ \õ z õ
+ V — +
õx
ỡux ỔUy ỡu
X + _ - L + z
õx õy õz (349a)
Thay phần trong ngoặc thứ nhất bằng Âux, còn phần trong ngoặc thứ hai không bằng vì tính liên tục của dòng chảy thì (3.49a) được viết gọn là:
= X - — — + V À U X (3.4% )
dt p ỡx
Lập luận tương tự đối với trục Oy và Oz ta được hệ phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực không nén được, và gọi là hệ phương trình Naviê-Stốc (1822 - 1845).
du 1 5 p
— — = X — — + vAu„
dt p ỡx
dt p ỡy
(3.50)
hay ở dạng véc tơ
(3.50a) So sánh với hệ phương trình ơ le động (3.32b) thì thành phần ma sát đối với một đơn vị khối lượng chất lỏng
Phân tích (3.50a) cho thấy khi:
• V = 0 thì ta có (3.32b)
• V = 0 và ũ = 0 ta có hệ phương trình ơ le tĩnh.
• Nếu chuyển đông là thẳng đều (— = 0 và Aũ = 0) thì ta có phương trình thuỷ tĩnh.
• Phương trình thoả mãn dòng đổi dần (mặt phẳng vuông góc với đường dòng thì phân bố áp suất theo quy luật thủy tĩnh).
Đối với dòng chảy có thế tốc độ
do đó có thể nói dòng chất lỏng nhớt có thế tốc độ thì chuyển động này có thể được coi như dòng chảy lí tưởng.
Đối với lực khối chí là trọng lực, phương trình cho đường dòng chất lỏng thực chảy ổn định có thể dễ dàng rút ra từ phương trình Naviê-Stốc (người đọc tự chứng minh).