3.4. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
3.4.1. Phương trình vi phân liên tục cuả chuyến động chát lỏng không nén được
chuyển động của chất lỏng đi qua một hình hộp chữ nhật vô cùng bé có các cạnh dx, dy và dz (hình 3.12). Trọng tâm của hình hộp chữ nhật là M(x, y, z). Tại thời điểm t, vận tốc tại M là u(ux,u , u z). Vì giả thiết chất lỏng không nén được nên p = const. Ta xác định khối lượng chất lỏng đi vào và ra khói hình hộp trong thời đoạn dt.
Vận tốc tại mặt AịABB, sẽ là:
ỡu„ ổx
^ U2 dz
ru.
u. + dx
fx 2
dz
u’ + ẽ t 2
Iiình 3.12 L1X -
ô\ 2
tại mặt D,DCCi là:
ỡu dx
u x + —
x ổx 2
Trong thời đoạn dt, khối lượng chất lỏng chảy vào qua mặt A,ABB, là:
ux~
ổux ổx
ổx 2 dydzdt và khối lượng chất lỏng chảy ra khỏi mặt D,DCC! là:
ỡu„ 5x
p u x + dydzdt
x dx 2
N h ư v ậ y tr o n g thời đ o ạ n dt, k h ố i lượng c h ấ t l ỏ n g c h ả y ra, v à o h ìn h h ộ p t h e o p h ư ơ n g X
chênh nhau là:
ổux ỡx
dx 2 dydzdt- p _I_ — _ _ổu ổx
x ỡx 2 dydzdt = - p ^ JLdxdydzdt ỡx
Tương tự theo phương y và z lần lượt bằng:
ổu„
- p ổy dxdydzdt - p — Ldxdydzdtõ
ỡz
R õ ràng trong thời đoạn dtị khối lượng chất lỏng chảy qua hình hộp thể tích dxdydz có m ột sự biến đổi dM bằng tổng số các độ chcnh khối lượng theo các phương và bằng:
dM = -pddydzdt ỡux ổu ỹ\x ZZJL + —L + 1Z*
ôx õy õz
Chất lỏng không nén được chảy liên tục do vậy sự thay đổi khối lượng chất lỏng trong hình hộp phải bằng không, tức là:
dM = 0 Ve pdxdydz ^ 0 và dt * 0 nên ta được:
ỡu ỡu ỡuz
—JL + —-L + —í- = 0
ổx õy ôz
h a y
(3.25)
(3.25a) di vũ = 0
Dủv là một toán tử biến 1 véc tơ thành một đại lượng vô hướng.
Phương trình (3.25) hoặc (3.25a) là phương trình vi phàn liên tục của chất lỏng không nén được, phương trình liên tục là biểu thức thể hiện định luật bảo toàn khối lượng.
Đ ố i với dòng chảy phảng thì — -ô = 0, do vây chỉ còn:
ôz
ỡu ỡ u
— - + — -
ổx dy
0 (3.25b)
65
Phương trình (3.25) có thể mở rộng cho trường hợp chất lỏng chịu nén p * const bằng cách lập tích của khối lượng và tốc độ, sau đó lấy vi phân của tích này, do vậy ta có:
d (p u x ) | d(piiy) ỡ (p u z ) 0
ỡx ỡy 5z
(3.25c) Nếu khối lượng thay đổi theo thời gian, đó là chuyển động không ổn định
thì phương trình (3.25b) còn thêm thành phần —— khi đó ta có:
ỡt
ỡp õt
õ p
ă
õ p
+ ỡ (p u x ) ỡ (pu ) ỡ (p u x )
ỡx ỡy ổz
= 0 (3.25d)
hay ở dạng:
— + div(pV) = 0 (3.25e)
ổt
Phưcnig trình (3.25d) là phương trình tổng quát nhất dùng cho cả dòng không ổn định, dòng ổn đinh, dòng nén đươc và dòng không nén đươc. Khi dòng ổn đinh thì —- = 0 ta
ổt
có phương trình (3.25c), còn dòng ổn đinh và không nén đươc ( — = 0 và p = const) ta dt
có phương trình (3.25) đã được chứng minh. Phương trình (3.25b) được viết ở toạ độ trụ:
( 3 . 2 5 0 u r I 5 u r I 1 5 u 0 = Q
dco-
r ỡr r 50
3.4.2. Phương trình liên tục đối với dòng nguyên tô và dòng chảy ổn định 3.4.2.1. Phương trình liên tục đối với dòng nguyên tô
Xét đoạn dòng nguyên tố giới hạn
bởi 2 mặt cắt aa và bb (hình 3.12a) có deo; b
tốc độ tại aa là u,, tốc độ tại bb là u2.
Sau thời gian dt các mặt cắt di chuyển được dl| và dl2 là a,a, và 0,0, làm cho đoạn dòng có vị trí mới là a,a, và b,b|.
Vì khối lượng đoạn dòng nguyên tố không đổi, khối lượng của đoạn a,a, và bb không đổi, nên khối lượng của đoạn
dòng giữa aa và a,a, phải bằng khối lượng của đoạn dòng giữa bb và bịb,:
p^lịdơ)! = p 2d l2dco2
Trong đó deo,, do) 2 lần lượt là diện tích mặt cắt ướt dòng nguyên tố ở mặt cắt aa và bb còn dl = udt hay dl, = u ^ t và dụ = u2dt. Thay giá trị của dl vào phương trình, sau khi giản ước ta có:
% 1 ì
ý — "' 'L u V )
a, d / 2 | D ,
Hình 3.12a
PiUịdcO) = p2u2dco2 (3 .2 6 )
Đây là phương trình liên tục đổi với dòng nguyên tố chất lỏng nén được. Đối với chất lỏng không nén được thì Pi = P: = const nên (3.26) chỉ là:
I^dco, = u 2dco2 (3.26a)
Vì tích phân udco được định nghĩa là lưu lượng của dòng nguyên tố và bằng dQ, nên (3.26a) được viết là:
dQ| = dQ2 (3.26b)
3.4.2.2. Phương trình liên tục đối với dòng chảy ổn định Nếu giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 của đ o c Ịn dòng chảy không có dòng nhánh (hình 3.12b) thì phương trinh liên tục đối với đoạn dòng chảy rút ra từ định luật bảo toàn khối lượng là:
M = jdM = ịpu.dco (3.27) Gọi p l à khối lượng riêng trung bình ở các vị trí khác nhau của mặt cắt thì:
Mp Ịu.dco = p.Q = p.Vco
Phương trình liên tục đối với đoạn dòng trường hợp chung có dạng jp ,u 1dco1 = I p2u2dco2
CO1 I V1 0)2
Hình 3.12b
(!)->
hay
p ị V , © , = p : v 2co2
Khi chất lỏng không nén được p = const thì (3.27a) chỉ là:
VịCo, = v2(02 = Q hay
VL = CÚ1 v2 0),
Phương trình (3.27b) chỉ ra lưu lượng thể tích của chất lỏng không nén được là hằng số dọc theo đoạn dòng chảy mà giữa chúng không có dòng nhánh, ở nơi nào diện tích tăng thì tại đó tốc độ trung bình mặt cắt giảm và ngược lại.
(3.27a)
(3.27b)
(3.27c)