1. Vẽ đường dòng và đường đẳng thế
3.11. ÚNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BÉCNULI
3.11.4. Tích phân Bécnuli cho chuyển động tương đôi
Tích phân Bécnuli có thể áp dụng cho chất lỏng chuyển động trong lòng dẫn, lòng dẫn lại chuyển động với gia tốc nào đó. Chẳng hạn lòng dẫn chuyển động thẳng đều với gia tốc a, lực quán tính do gia tốc a tạo ra không đổi theo thời gian, tác động một lực như nhau vào tất cả các phần tử của chất lỏng chuyển động, làm tăng hay kìm hãm dòng chảy, thì dòng chảy vẫn được coi là ổn định. Hay lòng dãn quay quanh trục thẳng đứng
co2r và công dọc theo bán kính với tốc độ góc co = const, tạo ra lực quán tính đon vị
g
đoạn dr là — . Khi chuyển động từ bán kính r, đến r2 (theo đường cong bất kì) sẽ hình thành côt áp quán tính bằng — (Tị2
2g r?2) • Ví dụ 3.29:
Một ống có đường kính d = lOmm chứa đầy nước bẻ cong hình số 4, đoạn nằm ngang r = 300mm, một đầu cắm xuống nước, đầu kia hướng về phía đối diện, cách mặt nước 800mm. Ông quay quanh trục đứng của phần cắm vào nước với tốc độ góc (0 = const.
a) Tìm giá trị co sao cho nước trong ống là tĩnh tương đối.
b) Lưu lượng ra khỏi ống là bao nhiêu khi giá trị co vừa tính được tăng gấp đôi. Biết rằng tổn thất h f = 3
2g Bài giải:
Đây là chuyên động tương đối. Viết phương trình Bécmili cho mặt 1 và 2 đối với mặt chuẩn là mặt 1 (hình ví dụ 3.29) ta có:
0 ~ - + h + h f l 2 + h qt
2g (*)
c o V 2g
..2
hf | 2 - 3
2g d = 10mm
Thay h , và hfp vào (*) thì (*) được viết lai là:
0 = h + 4 v2 co2r2
Ề E o ọ co II
r = 300mm X1
Hỉnh ví dụ 3.29 2g 2 g
a) Khi V , = 0 thì nước trong ống là tĩnh tương đối, do đó từ (**) rút ra:
to = - J 2 g h = — 72.9,81.0,8 =13,206 1/s
r 0,3
b) Tăng co lên 2 lần thì
Q = - d2,1— ’- r-2 - :2g h- = - (0,01)2 7(26,4 X 0,3)2 -19,62 X 0,8 = 0,00026931 m3/s = 0,2693 //s
4 V 4 8
3.12. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG CỦA TOÀN DÒNG CHẢY Ổn ĐỊNH Như đã biết trong cơ học lí thuyết, định luật động lượng phát biểu như sau:
"Đạo hàm của động lượng cửa một vật thể đối với thời gian bảng hợp lực những ngoại lực túc động vào vật thê, hay độ biến thiên động lượng của vật trong một khoảng thời gian bằng xung của lực tác dụng lên vật trong thời gian ấy"
ậ = = F (3.67)
dt dt
hoặc
d k = d ( m ũ ) = Fdt (3.67a)
Đẳng thức này là dạng khác của định luật II Niutơn. Tích Fdt gọi là xung của lực.
trong đó:
1 1 5
k - véc tơ động lượng, k = m ữ , có đơn vị là (kg.m.s ');
m - khối lượng vật thể, có đơn vị là (kg);
ũ - vận tốc vật thể, có đơn vị là (m/s);
t - thời gian, thường là giây (s).
2
Dạng (3.67) và (3.67a) là dạng tổng quát, đúng cho vật không chỉ có tốc độ nhỏ mà còn có tốc độ rất lớn.
Trong phương trình động lượng chỉ có
ngoại lực mà không có nội lực và chỉ có động Hình 3.25a lượng do ngoại lực sinh ra nên khi vận dụng
định luật động lượng của chất lỏng chuyển động ta chỉ cần tìm những số liệu về tình hình dòng chảy ở mặt biên giới mà không đòi hỏi phải biết tình trạng dòng chảy ở trong nội bộ dòng đó là điều rất thuận lợi. Đối với các trường hợp cần sử dụng phương trình động lượng, thông thường ta không cần xét toàn bộ dòng chảy như suốt cả chiều dài dòng chảy trong ống, trong sông, trong kênh mà chỉ cần xét một đoạn nhất định của dòng chảy, bao bọc bởi mặt kín gọi là mặt kiếm tra gồm các mặt bên và hai mặt cắt ướt
1-1 và 2-2, hoặc thể tích kiểm tra (hình 3.25a).
Trước hết ta viết phương trình động lượng cho dòng nguyên tố, ở dạng hình chiếu lên
trong đó pdQ là khối lượng dòng nguyên tố trong 1 đơn vị thời gian, p(ux),dỌ và p(ux)|dQ lần lượt là động lượng ra khỏi và đi vào dòng nguyên tố giới hạn bởi mặt cắt 1 và 2 trong một đơn vị thời gian.
Đối với toàn bộ dòng thì:
* Phương trình động lượng dọc theo dòng chảy chiếu lên trục X và trục y
Giả thiết tốc độ trung bình mặt cắt V | , v2 cùng chiều với chiều dương trục Ox (hình 3.25b). Trong bài toán phẳng này véctơ V, làm với trục Ox một góc a , véc tơ v2 làm với trục Ox góc p. Tốc độ và động lượng đều là đại lượng véc tơ nên được phân thành hai thành phần theo trục Ox và Oy. Gọi Fx và Fy là hai thành phần của hợp lực F tác dụng lên thể tích kiểm tra bao lấy chất lỏng giới hạn bởi ABCD thì:
truc x:
dFx = p [ ( u x)2- ( u x),]dQ
(3.69) Sử dụng tích phân động lượng (công thức 3.53b) ta có:
F x = P Q [ ( a o v x ) 2 - ( a o v x ) i ]
trong đó: a0 - hệ số sửa chữa động lượng, a0 = 1,02 -ỉ- 1,05.
Fx = p Q [ a02v2cos(v2, x ) - a01v1cos(v1,x)] (3.6% ) (3.69a)
Fx = p Q ( a02v2c o s p - a01v1c o s a ) = p Q (v 2x - v lx) (3.69c) và
Fy = p Q ( a02v2 sin p - a01v, sin a ) = pQ (v2y - v ly) (3.69d) họp lực:
F = \Ịf x2 + Fy2 (3.70)
Nếu dòng chảy được tách làm 3 phần Ox, Oy, Oz thì tương tự ta có đối với trục Oz:
Biểu thức (3.69a, b, c, d, f) nói rằng:
"Trong dồng chảy ổn định, sự biến thiên động lượng của toàn dòng chảy trong một dơn vị thời gian bằng hợp lực các ngoại lực (lực khối và lực mặt) tác động vào đoạn dòng trong đơn vị thời gian ấy".
Khi viết ở dạng hình chiếu lên trục toạ độ, thường hướng dương của trục đặt theo hướng xuôi dòng chảy thì dấu quy định như sau:
- Động lượng của chất lỏng p Q a 0v mang dấu (+) nếu chất lỏng đi ra khỏi mặt kiểm tra, mang dấu - nếu đi vào.
- Dấu của co sa tuỳ theo trị số a lập nên bởi véc tơ vận tốc V và chiều dương của trục
7 , 71
toa độ, - có thê nhỏ hơn hoăc lớn hơn —.
- Dấu của số hạng biểu thị xung lực sẽ tuỳ theo phương của véc tơ lực là dương hay âm đối với trục toạ độ.
Như vậy, cho đến nay đã có 3 phương trình quan trọng nhất để giải các bài toán thuỷ lực đó là: Phương trình liên tục, phương trình Bécnuỉi và phương trình động lượng.
Nước chảy trong ống dài 60m với tốc độ l ,8m/s, do độ chênh áp suất giữa mặt cắt ra (mặt cắt 2) và mặt cắt vào (mặt cắt 1) là 25kN/rrr. Xác định độ tăng áp làm cho nước gia tốc là 0,0 2m /s2, nếu bỏ qua tính đàn hồi của nước.
2y
(3.70a) Lực m à chất lỏng tác dụng lên thể tích kiểm tra gọi là R có giá trị bằng lực F của mặt biên dòng song ngược chiều, do vậy:
2x
(3.70b) Phương trình động lượng viết ở dạng véc tơ:
B
Hình 3.25b
( 3 . 6 9 0
2
Ví du 3.30.
1 1 7
Bài giải
Gọi 0) là diện tích mặt cắt ngang ống, / là chiều dài, p là khối lượn^ riêng của nước là gia tốc của nước, ỗp là độ tăng áp suất tại mặt cắt vào để tạo ra gia tốc a. Theo định luật động lượng (công thức 3.67) thì:
Lực do ôp dọc theo phương chảy phải bằng thay đổi động lượng của nước trong ống:
Luồng nước chảy tự do vào tấm chắn cong cố định bị lệch đi một góc 60° so với phương ngang ban đầu (hình ví dụ 3.31). Xác định áp lực của luồng nước lên tấm chắn cong, nếu cho tốc độ vào tấm chắn V, = 30m/s, tốc độ ra khỏi tấm chắn V , = 25m/s, lưu lượng khối của luồng nước Qm = p ọ = 0,8kg/s, bỏ qua trọng lượng luồng nước và coi áp suất là không đổi ở mọi nơi đối với luồng nước tự do.
Áp lực của dòng chảy lên tấm chắn cong được chia làm 2 thành phần, lấy a 0l = a02 = 1 CD.ôp= p. co./.a
hay
8P = p X I X a = 103X 60 X 0,02 N/rrr = 1,2 kN/m2 Ví du 3.31
Bài giải:
ta có: V,
hay
tương tự
(*)
Ry = Qm (V, - v2)y Hỉnh ví du 3.31
Theo trục X ta có v lx = V ị , v2x = v2c o s a thay giá trị đã cho vào (*) thì:
R x = 0,8 X (30 - 25cos60°) = 14N Theo trục y: v ly = 0, v2y = v,sina
do đó
Ry = 0,8 X 25sin60° = 17,32N Áp lực tổng là
R = \j\42+ 1 7 ,322 = 22,271N Lực R làm với phương X một góc
R v
0 = arctg —^ = 51,051°
R x
Ví du 3.32
Một đoạn cong vuốt nhỏ dần từ đường kính d| = 500mm đến d2 = 250mm và c o n g trong mặt phẳng ngang một góc a = 45°. Nếu trong ống là dầu p = 8 5 0kg/m \ áp suất ở mặt cắt nhỏ là 23kN/nr, áp suất ở mặt cắt lớn là 40kN/m:, lưu lượng của dầu là 0,45nr/s. Tính áp lực của dầu lên đoạn ống.
B ài giải
Lưu lượng khối của dầu là:
Q m = pQ = 850.0,45 = 382,5 kg/s Thể tích kiểm ưa
co, = — 0,52 = 0,19635m2
V , = 4Q _ 4.0,45 7id? 71.0,5 2
= 2 ,2 9 2 m /s co, = - 0 , 2 5 2 =0,04909
4
í . V
d.
v 2 = V
Theo truc x:
2 292z_015_v
0,25 = 9,168m / s Hình ví dụ 3.32
- R x = PịCDị - p , (02 c o s a - - Q m(v2 c o s a - V ị ) R v = 0+ p2co2 sin a + Q mv2 s i n a
(*) Theo trục y:
Thay số vào ta có:
Rv = 5,453kN ; R y = 3,278 kN Vậy lực tác dụng lên đoạn ống cong là:
R = ^5,4 532 + 3 ,2 7 8 2 = 6,36243 kN Ap lực nghiêng với trục Ox một góc 0:
'ỉ 1 1 Q
9 = arctg———■ = 31,012°
5,453 Ví dụ 3.33
Một vòi nước mớ ở cạnh bình lớn dưới cột áp l ,8m nước trong bình, vòi có đường kính d = 50mm phun ra với tốc độ V = 5,lm/s. Tính lực của vòi lên bình khi:
a) Bình không di chuyển.
b) Bình di chuyên ngược tia dòng với tốc độ l,3m/s, trong lúc tốc độ tương đối của vòi với bình không đổi. Tính công sinh ra trong 1 giây.
Bài giải:
R = - Fblnh = - p ọ (vra - VvJ
119
r:
u = 1,3m/s
_____:ễ
Thể tích kiểm tra
|Ị d = 50mm V = 5,1 m/s
r * Lưu lượng khối
Q m = pQ = p V = 1000 X—X 0 ,0 5 2 X 5,1 = 10 kg / s a) Bình không di chuyên thì V, = 5, lm /s còn Vv = 0 do đó
R = 10 X (5,1 — 0 ) — 51 N ngược chiều với tia nước phun từ bình ra.
b) Trường hợp bình di chuyển ngược thì:
vr = V - u = 5,1 - 1,3 = 38m /s
Vv = - u = 1 , 3 m / s
làm cho
V = v r - Vv = ( v - u ) - ( - u )
do đó lực của dòng tác dụng lên bình không
đổi (5 IN) Hình ví dụ 3.33
Công sinh ra trong thời gian 1 giây là:
R X 1 1 = 5 1 X 1,3 = 6 6 ,3 w Ví dụ 3.34
Xác định lưu lượng FBX cần thiết để giữ cánh cống ở vị trí thẳng đứng như hình ví dụ 3.34. Biết rằng chiều rộng công b = 3,Om, hệ sô thắt hẹp cửa thoát Cc = 0,6, hệ số lưu lượng in = 0,583, lưu lượng chảy qua 1 đơn vị chiều rộng của cống (b = lm) tính theo c ô n g thức q = n.a-^2gh , bỏ qua lực m a sát.
Bài giải
Theo hình vẽ thì lưu lượng đơn vị q là:
q = 0,583 X 0 , 2 x ^ / 2 x 9 , 8 1 x 2 ,0 = 0,7304 m3/s.m
Tốc độ Thể tích kiểm trạ^
V, = 0,7304
2,0 = 0,3652m / s
v à
q _ 0,7304
V-, 2 = —L~ —— ---= 6 ,0 8 7 m /s H2 0,12
Cánh cốrỊg FB.
Độ sâu dòng chảy sau cửa cống:
H2 = 0,6 X 0,2 = 0,12m
Áp dụng phương trình động lượng đối với đoạn
dòng giới hạn bởi hai mặt cắt 1 và 2 của thể tích kiểm tra ta có:
pQ (v2- v 1) = I p g H f b - ì p g H Ỉ b - F Bx
I a = 0,2m ! " j~ V?
Hình ví dụ 3.34
(*)
Thay số vào (*):
0,70304 X 3,0 X 1000(6,087 - 0 ,3 6 5 2 )= - x 3 x 9 8 1 0 x ( 2 , 0 2 - 0,122) - F Bx Kết quá được lực giữ cánh cống F Bx = 46,11 kN
Ví d ụ 3.35
Một vòi có đường kính d = 40mm phun dòng nước với tốc độ 15m/s vào tâm A một tấm o c treo thẳng đứng nặng 1000N. Xác định:
a) Góc lệch 0 của tấm treo do vòi nước tạo ra.
b) Lực giữ tại mép dúới tẫm sao cho tấm ở vị trí thẳng đứng.
B ài giải
a) Tấm ở vị trí cân bằng khi mômen với điểm o của trọng lương tấm bằng môinen của dòng nước đập vào tấm.
Thành phần lực nước vuông góc với tấm:
pQvcosG
Mômen của lực này theo chiều ngược kim đồng hồ:
pỌcosG.OB 1 1 OB =
2 C O S 0
Mômen của trọng lượng tấm theo chiều kim đồng hồ:
Hình ví dụ 3.35
Cân bằng hai mômen này:
G — s i n a 2
p.Q .vcosa.9— —;— = G. — .sin 91 1 _ r 1 • n
2 C O S 0 2
rút ra:
hay
sin 0 = ^ = 1 o3X - X 0,042 X = 0,2827433
G 4 103
0 = 16,42°
b) Gọi lực giữ là F đặt tại c , để tấm ở vị trí thẳng đứng phải có tổng mômen của lực F và lực của vòi nước tác dụng lên tấm đối với điểm o phải bằng không:
pQv 1 hay
F = 2
pQv F1
F = — X1 o3 X — X 0 ,042 X152 = 141,372N
2 4
121
Chương 4