T0 = f ( f v , d , A , p , | i ) .
Theo nguyên tắc đồng thứ nguyên của Fuariê (1882) ta có:
T0 = k v ad hp l’ |.ia A c
trong đó: k - hằng số;
a, b, c, d, e - những số mũ chưa biết.
Gọi:
M - khối lượng;
L - chiều dài;
125
T - thời gian thì (4.3) được viết ở dạng thứ nguyên của từng đại lượng là:
ML La T b M c M d T e r r r = _ L y / ya L L T d7— 71— L Cân bằng thứ nguyên đối với từng đại lượng:
đối với M : 1 = c + d
đối với L : - l = a + b - 3 c - d + e đối với T: - 2= - a - d
Giải a, b, c theo d và e được:
a = 2 - d c = 1 - d b = - d - e Thay giá trị của a, b và c vào (4.3) biểu thức T0 có dạng:
hay
hay:
hay:
T = k v2- dc r d- y - y A c
T0 = k
= fl
vdp pv'
vdp A ụ. ’ d
(4.4)
(4.5)
xo= f2 Re, (4.6)
đặt
thì (4.6) được viết là:
\ụ = t Re A R e ’ d
(4.7)
= VPP (4.6a)
4.3.2. Phương trình cơ bản của dòng chảy đều và công thức tính tổn thất dọc đường trong dòng chảy đều
4.3.2.1. Phương trình cơ bản của dòng chảy đều
Phương trình cơ bản của dòng chảy đều (dòng chảy đầy ống và dòng chảy hở) thiết lập quan hệ phụ thuộc của tổn thất cột nước hf vào lực cản dọc theo chiều dài / của dòng chảy khi không có lực cản cục bộ đối với dòng chảy ổn định, lưu lượng Q là hằng số, diện tích mặt cắt ướt không đổi.
Đê rút ra phương trình, ta xét một đoạn dòng chảy đầy ống giữa hai mặt cắt (1) và (2) có 0) và Q là hằng số và nghiêng với phương nằm ngang góc a (hình 4.2a) chịu các lực:
- Lực khối: G = pgtól - Lực mặt:
+ Áp lực thuỷ động lên mặt cắt 1 và 2 là:
P ^ p , ^ ) P2 = p2co
p, và p2 là áp suất thủy động tại trọng tâm mặt cắt ướt 1 và 2. + Áp lực của thành ống PN vuông góc với dòng chảy.
+ Lực ma sát ở thành ống T = TUP/,
Tc là ứng suất tiếp ở 1 đơn vị diện tích -L hay p bề mặt thành ống còn p là chu vi ướt
(hình 4.2b).
Viết phương trình động lượng cho thê tích đoạn dòng đang xét dọc theo phương ch ảy ta có:
P , - P2 + G s i n a - T = 0 (4.8) Hình 4.2b v2 = Q
0) V ế phải bằng không vì dòng chảy l à dòng chảy đều V ,
động lượng
p Q (a02v2 - a02v,) = 0
Thay các giá trị của p ,, P:, G, T và s in a vào (4.8) thì (4.8) được viết lại là:
nên sự thay đổi
P ị C 0 - p 2C0 + p g r o / = T„p/ (4.8a)
1 2 7
trong đó:
_ z , - z2 s i n a =
/
Chia hai vế (4.8a) cho trọng lượng G = pgcol của thể tích đoạn dòng đang xét, sau khi sắp xếp lại ta có:
z , + Pl pg
z2 +£ 2
pg ToP (4.8b)
pg p g ô
Vế trái của (4.8b) là độ dốc đo áp Jp của đoạn dòng chảy đều, và là hằng số vì lực cản dọc theo chiều dài là hằng số, do vậy:
j T o P = T o
p pgco pgR (4.8c)
trong đó R = — là bán kính thuỷ lực của mặt cắt ướt. co
p
Dạng khác của (4.8c) là:
T c = yRJ (4.8d)
Phương trình (4.8c) hay (4.8d) gọi là phương trình cơ bản của dòng chảy đều. Trong dòng chảy đều V và —— là hang số, do đó đường năng lương song song với đường đo(XV^
2g
áp làm cho độ dốc năng lượng bằng độ dốc đo áp:
J = Jp (4.9)
Đối với dòng chảy hở ta còn có độ dốc đáy i bằng độ dốc đo áp và độ dốc năng lượng:
J = Jp = i (4.9a)
Hai phương trình (4.9) và (4.9a) cũng được gọi là phương trình dòng chảy chuyển động đều:
4.3.2.2. Công thức tính tổn thất dọc đường trong dòng chảy đều Trong dòng chảy đều có:
T 0 = yRJ (4.8d)
Biết rằng J = — nên
x o = P g R y -
Cân bằng (4.10) với (4.6a) ta có:
h d = Vị/ 1 V' 1 V R 2 PS R 2g
p
(4.10)
(4.11)
Trong ống tròn R = — nên tốn thất dọc đường đối với ống tròn là:d 4
1 V 2
h d = 4iư — — (4.1 la)
d 2g Đặt 4iị/ = X hay f thì (4.1 la) được viết là:
1 V 2
(4.12) d 2g
Công thức (4.12) chỉ ra tổn thất doc đường tỉ lê với côt nước tốc đô — và do Đácxy 2g
tìm ra 1856, trong đó X là hệ số ma sát không thứ nguyên, xác định chủ yếu bằng thí ( D x
nghiêm Ả = f Re, —
V d J
Dạng khác củ a (4 .1 0 ) là:
1 4t 1
h d =T0 - V = ^ (4.1 Oa)
pgR pgd So sánh (4.12) với (4.1 Oa) cho thấy:
T0 = ~ p v 2 (4.13)
Công thức (4.13) chỉ ra ứng suât tiếp trung bình tại thành rắn tỉ lệ trực tiếp với tốc độ
~ Ầ V 2
trung bình bình phương. Viết lại (4.13) ở dạng: T0 = — p — (4.13a) thì ứng suất tiếp trung bình tại thành rắn ti lệ trực tiếp với đ ộ n g năng trung bình củ a m ộ t đơn vị k h ối lượng chất lỏng. Vậy X phải phụ thuộc vào các yếu tố mà các yếu tố này có ảnh hưởng tới ứng suất tiếp trung bình Tn tại thành rắn.
Đê tiện dùng cho mặt cắt ướt không tròn, đường kính d được thay bằng bán kính thuỷ lực R theo quan hệ d = 4R với R = — .
X
1 V 2
h d = ^ — — (4.14)
4R 2g
Công thức tính tổn thất dọc đường (4.12) và (4.14) dùng cho cả dòng tầng lãn dòng rối và gọi chung là dòng chảy đều.
4.4. C H Ê Đ ộ CHẢY TẨNG t r o n g Ốn g
Đây là trạng thái đặc trưng bởi Red < 2000 hay ReR < 300 - 500, nói chung ít gặp trong thực tế, nó chỉ xuất hiện trong ống dầu của máy, trong dòng n g ầ m ... Nhiều vấn đề
1 2 9
chảy tầng có thể hoàn toàn giải quyết bằng'lí luận do vậy cần được nghiên cứu trước để so sánh mà hiểu rõ hơn về dòng chảy rối khi nghiên cứu dòng rối.