3.4. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
3.4.3. Phương trình liên tục đói với dòng không ổn định
Trong thời đoạn dt, lượng chất lỏng chảy vào mặt cắt
<(1-1) là Qdt, lượng chất lỏng ra khỏi mặt cắt (2-2) là:
Hình 3.13
67
V ? *
ổs dt
Như vậy trong thời gian dt có một sự biến đổi chất lỏng trong đoạn dòng ds bằng:
( (90 ^
Qdt - Q + ^ - d s
V ỡs /
dt = ~ — dsdt ỡs
Do chất lỏng không nén được, cho nên sự biến đổi khối chất lỏng đó cân bằng sự biến đổi thể tích đoan dòng cũng trong khoảng thời gian dt bằng — dt làm cho thể tích đoanổ
ỡt dòng ds thay đổi một lượng:
ỔCÚdt.ds từ đó rút ra:
ổt
ỡt ổs (3.28)
Đó là phương trình vi phân liên tục đối với dòng không ổn định trong lòng dẫn hở không có dòng nhánh.
Vì Q = (O.v và — = B — , ta có:
dt õt
B ị + Ẽ ^ l = o Õl ỡs trong đó:
z - toạ độ mặt tự do tương ứng với mặt chuẩn 0-0; B - chiều rộng lòng dẫn.
Đối với lòng dẫn chữ nhật thì co = Bh, nên phương trình (3.28) có dạng:
dt ổs
dh | d ( h v ) _ 0 õt õs Q
(3.29)
hoặc:
(3.29a)
(3.29b) Trong đó q = — là lưu lương đơn vi, có đơn vi m /ms.
B
Trong thuỷ lực thường xét dòng chảy 1 chiều, khi đó phương trình liên tục (3.25) sẽ là:
ổu ổx
= 0
Nhân (3.30) với codx và tích phân ta nhận được lưu lượng Q:
Q = coj ỂỊỊx
ỡx dx =0)V
(3.30)
(3.31)
Đ ó là phương trình bảo toàn khối lượng. Phương trình này chứng tỏ trong chuyển dộng ổn định, mặc dầu lưu tốc trung bình thay đổi, diện tích mặt cắt ướt thay đổi, lưu lượng luôn giữ giá trị không đổi. Từ (3.31) có thể suy ra quan hệ phụ thuộc đối với mặt cắt 1 và 2 dọc theo dòng chảy ổn định đã được chứng minh.
Q| = Q:
hay
- 1 = - ^ V, (3.27c)
v2 (ù,
Tức là lưu tốc trung bình luôn tỉ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt tương ứng:
V í dụ 3.1
Tốc độ dòng chảy cho ở dạng Vs = (3x + 2y)i + (2z + 3x2)j + (2t - 3 z ) k Xác định:
1. Các thành phần tốc độ ux, Uy, uz tại một điểm bất kì trong dòng chảy.
2. Tốc độ tại điểm có toạ độ (1, 1, 1).
3. Tốc độ sau thời gian 2 giây tại điểm (0, 0, 2).
4. Dòng chảy là ốn định hay không ổn định? đều hay không đều? dòng chảy một chiều, hai chiều hay ba chiều?
B à i giải:
1. ux = (3x + 2y) Uy = (2z + 3x2) uz = (2t - 3z) 2. Thay giá trị X = l,y = 1 và z = 1 vào biểu thức của ux, U y , uz ta có:
ux = (3 + 2) = 5 uy = (2 + 3) = 5 uz = ( 2 t - 3 ) Tốc độ:
V2 = u ị + u j + uj = 52 + 52 + ( 2 t - 3) 2 = 4 t2- 1 2 t + 59 Vậy:
V(U1) l à v - V 4 t 2 - 1 2 t + 5 9
3. Thay t = 2, X = 0, y = 0, z = 2 vào biểu thức của ux, uy, uz ta có:
ux = 0, u = 4 , uz = - 2 Vậy:
vfo 022) = (0 +16 + 4) - 20
V = V20 = 4 ,472m / s
4. Vì vs pliụ thuộc vào t nên là chuyển động không ổn định, tại thời điểm t xác định tốc độ thay đổi theo phương X nên là dòng k h ò n s đều, tốc độ vs phụ thuộc vào 3 trục X, y, z nên là dòng chảy 3 chiều.
6 9
Ví dụ 3.2
Trong dòng chảy phẳng tốc độ tại điểm bất kì u x = a, uy = a (a không phải là hằng số).
Xác định đường dòng qua điểm (2, 3).
Bài giải:
Phương trình đường dòng qua điểm bất kì là:
dx dy
a a
dx = dy
Tích phàn cho y = X + c. Tìm c khi đường dòng qua điểm (x = 2, y = 3), c = 3 - 2 = 1.
Vậy phương trình đường dòng là: y = X + 1 là đường thẳng cắt trục tung tại điểm (0,1) và nghiêng 45° với trục hoành.
V í dụ 3.3
Dòng chảy phẳng được cho bởi ux = - 2 ’ uy = ~2~‘ phương trình đường
b a
dòng qua điểm (a, 0).
Bài giải:
Phương trình đư ờ ng d ò n g c ó dạng:
hay
Tích phân cho
b dx _ a dy
y X
xdx ydy _ a2 b2
X2 y2
—— I--- = 2c a2 b2
trong đó c là hằng số tích phân được xác định khi đường dòng qua điểm (a, 0) là
a 2 1 X 2 y
2c = —- + 0 = 1 hay c = — . Vây phương trình đưòfiig dòng là: —- + — = 1, phương trình
a 2 a b
đường elíp.
V í dụ 3.4
Dòng chảy phẳng được cho bởi 2 thành phần tốc độ có dạng: u x = ——-—— và
X + y y
u = —- . Dòng chảy này là dòng chảy xoáy hay dòng chảy thế.
X + y
B à i giải Biết:
do vậy tính
Cứz =
5u1 _ d u í x õx ôy
ỠUy _ -2 x y ỡ u x _ 2xy ỡx _ ( x 2 + y 2)2 ’ õ y ~ ( x 2 + y 2)2 í u <9u
Tliay giá trị của biêu — và-—- vào co7 ta được:
õ x ô y
\ ( - 2 x y + 2 x y ) _ (0 - — ---T-T- - u
■ 2 V (x + y )
Vậy chuyển động là chuyển động không xoáy.
V í dụ 3.5
Trong hệ toạ độ trụ nằm ngang, tốc độ góc xoay đơn thuần được viết ở dạng:
\ \ õ ( õ , V _ 1 r ỡ í õ r 0 ' C ờ = ~ — rvfì — — (u )
x 2 L rổr V rõe r 1 rỡ u l õ
s co — —JL- - — (u,,r)
r 2 L rỡ0 r ỡ x 0 1 r ỡu ổu
CỬA —
2 L ỡx ỡr
Nếu trường tốc độ cho bởi ux = 0, ur = 0 và Uo = ar thì chuyển động là xoáy hay thế?
Bài giải:
Vì
1 r ổ ị .... d 1 uo i _ 1 / n
0 3 = 4 - — - rvn — (ur) =4- — 2- + — = — (a + a) = a ^ 0 x 2 [ r õ i \ 0 rỡ0 r ) \ 2L ỡr r J 2
Vậy chuyển động đã cho là chuyển động chuyển xoáy.
Ví dụ 3.6
Cho dòng chảy phẳng có tốc độ u cho bởi:
í u x = a - by I u y = bx - a t trong đó:
a, b - hằng số;
t - thời gian.
1. Tìm phương trình họ đường dòng. Xác định đường dòng qua điểm A (l, 1) lúc t = 1 và vẽ đường dòng đó nếu a = 2, b = 1.
71
2. Tìm phương trình có quỹ đạo dưới dạng X = f,(t), y = f2(t). Xác định quy đạo của chất điểm M0, biết rằng t = n thì chất điểm M0 đi qua điểm A( 1, 1) và a = 2, b = 1.
Bài giải:
1. Phương trình đường dòng có dạng:
uydx - uxdy = 0
(bx-at)dx - (a - by)dy = 0 Sau khi tích phân và biến đổi (nhóm và X — ) ta có
b
X2 + y 2 - 2 —(tx + y) = c b
' a t^2 X---- -
V b
Đây là phương trình đường tròn tại điểm t, có tâm tại vào hằng số c là:
' a V ( a ) 2 (a t^2
y = - + —
\ b) V b) V b /
^at a A v b ’ by
(*)
+ c (**)
, có bán kính tuỳ thuộc
a - t
V b / +
Đường dòng qua điểm A (l, 1) lúc t = 1 và a = 2, b = 1 có được bằng cách tìm hằng số c từ phương trình (*).
I + 1 - 2 x 2 ( 1 + l) = c = > c = - 6 Thay c = - 6 vào (**) rút ra
( x -2)2- ( y -2) M V 2 ) 2 2. Tim quỹ đạo
_ dx
II = — = a - by x dt
d 2x bdy
dt dt
u„ = — = bx - a t dy y dt
Kết hợp (***) và (****) ta có:
d 2x d 7
+ b X = abt Hình ví dụ 3.6
phương trình này có nghiệm là:
X = C| c o sb t + C2 sin bt + — = at fj (t) b
trong đó c, và Co là hằng số.
Lấy đạo hàm nghiệm theo t:
dx ^ 1 - 1 ^ 1 1 a
— = - ( ^ 0 811101 + C .b c o s bt + —
dt 1 2 b
So sánh (*) và (******) rút ra:
y = C| sin bt - C 2 cosbt + ---- f2(t) b b
X và y biểu thị các Cycìoid
Quỹ đạo chất điểm M„ qua A n , 1) khi t = 2ĩt.
Kết họp (5*) với (7*) ta được hằng số C:
c , =271-1, c 2 = l Vậy quỹ đạo chất điểm M„ thoả mãn phương trình.
X = (271 - l)co st + sint + 2t y = (2tĩ - 1 )sint - const Ví dụ 3.7
Một dòng chảy gần điểm tụ được cho bởi hàm phức