Sự chuyển động của một phần tứ chất rắn có thể được phân tích thành chuyển dộng tịnh tiến và chuyên độníỊ quay mà mỗi một chuyển động riêng biệt được chỉ ra ở hình 3.1 la đối với hình vuông. Phần tử chất lỏng khi chuyển động còn được bổ sung thêm là
b) Quay có thê biến dạng. Vì vậy, chuyên động của phần
tử chất lỏng có thê phân tích thành ba dạng:
chuyên động tịnh tiến, chuyển động quay và chuyến động biến hình, đó là Định luật Hem- Hôn. Tương tự như vật rắn, một phần tử chất lỏng chuyển động phức tạp được xem như gồm các chuyển động đơn giản chồng lên nhau tại một thời điểm. Để rút ra hiểu thức toán của chuyến động, ta xét phần tử chất lỏng hình hộp
vò cùng nhò có cạnh dx, dv, d/ ở toạ độ Đề Các vuông góc (hình 3.1 lc). Tnrớc hết ta xét chuyên động của mặt nào đó, thí dụ mặt ABCD.
• Chuyển động tịnh tiến
Nếu mặt ABCD dời đến vị trí mới A ^ Q D , mà không làm thay đổi độ dài các cạnh và góc thì chuyến động này là chuyển động tịnh tiến (hình 3.1 ld). Tốc độ ux là sự di chuyển của mặt (hay phần tử) dọc theo trục Ox trong một đơn vị thời gian.
Hình 3.11
B B. c c.
A1 D
d, u,
D,
Hình 3 .lld
• Biến dạnạ dài của phần tứ
Nếu trong một đơn vị thời gian, cạnh AB di chuyển một trị số II song cạnh CD trong lúc vẫn song song với AB lại di chuyển một lượng u + — M x thì ổu
ổx ỡx dx là độ biến dạng dài của mật (hay phần tử) theo trục ox đến vị trí mới A ^ C i D , như hình 3.1 le.
• c lì uyển CỈỘIHỊ quay
Do tốc độ ở điểm A và B khác nhau, tốc độ tại A khác tốc đò tai B mồt lương —- iLdz doc theo truc Ox, do đóỡu
ổz
B, c !
I
A, D
K
dx
I C,
D,
ổ u x J
u , + - ^ - d x r‘x Hình 3.1 le ổu„ dz ỡu canh AB quay quanh A môt góc p,, vì sóc khá bé nên (3, ~ tgPị = — = — -
ỡz dz dz . Tốc
5 7
đô tai điểm D khác A môt lương doc theo Oz là —-— dx , do đó canh AD quay quanh Aở
ổx
môt góc P2 Vây biến dang góc toàn phần măt ABCD đối với truc Oy là ỡx
õu.. X + —ỡu..z
V õz õx ) , là kết quả quay cạnh AB và AD quanh A. Vì biến dạng là nhỏ nên có thể cho rằng mỗi cạnh chỉ nhận một nửa của tổng tức là 0y = 1 ỡuv ổ u v
——— + ———
V ổz ỡx , là biến dạng
í \ Uỉ. u x y
đơn thuần về góc đường chéo mà AC không thay đổi đối với trước và sau khi biến dạng.
- ' Ổ U y Ỡ U . N x
Tươiig tự có 0Z = —- + — -
ổx õy và 9. = — ổu ỡu
— - + — -
õy ỡz Phần tử chất lỏng bị biến dạng, nên khi quay AB, AD và đường chéo AC khỏng còn giữ nguyên vị trí (hình 3.110, tạo nên tốc độ góc (0y, quay quanh trục Oy. Quy định quay ngược chiều kim đồng hồ là dương và thuận chiều kim đồng hồ là âm, gọi tốc độ quay đơn thuần là co thì:
Tốc đô quay của B quanh Oy đối với điểm A là: Cừ dz = — - d z (a)Ổ
õz và tốc độ quay của D quanh Oy đối với điểm A là:
-co dx = ^ ^ - d x (b) ỡx
Tốc độ quay đơn thuần của ABCD quanh trục Oy đối với điểm A sẽ là hiệu của AB và AD bằng cách đem (a)-(b); d sau khi đơn giản cho dx và dz ta có:
ổ u x ỡ u z
CDV =
2V Õz õx y
Lập luận tương tự đối với hai mặt còn lại của hình hộp sẽ
được tốc độ góc quay đơn thuần quanh điểm A đối với trục X và trục z.
* / ổ u - ổư N A 2
1 w z = T-
Hình 3.11f
õx õy Tốc độ góc quay của cả phần tử chất lỏng là:
co — J co; + COy + co^
Tiếp tục xác định biểu thức tốc độ tại đính G của hình hộp (hình 3.1 ic) nếu biết tốc độ tại A là ux, uy, uz. Đính G có toạ độ là G(x + dx, y + dy, z + dz) và tốc độ thành phần tại G dọc theo các trục là:
ỡux ỡux ổux
U p v = 11 vJX a + —JLdx + —JLdy + —JLdz^ >> •* ^
cx dy õz
ổ u ổ u ỡu
UG - u + —i d x + —^ d v + — dz Ỡx ™ơy
ưGz = Uz +
ỔU-. au
dx + —— dy + õz õu. dz
(c)
(d)
ỡx ỡy ' ổz (e)
Kể đến biến dạng đơn thuần về góc 0 y và quay đơn thuần thông qua tốc độ góc quay coy thì (c) được viết là:
ru 1 fổu í \ \ 1 (chi (?u V 1
ur = u H--- —d x + — — - + — - dy + — — - + —— \ d z - ~ -
Gx x ổx 2 ^ dy õ x J 2 { õ z âx J 2
í ^ l _õua '
õx õy dy + ổux ổuz
ôz ôx dz ( f )
trong đó:
ổ u x _ 1 ị <3ux ổ u y ^ 1 ị (3ux Ỡ U y
ổy ~ 2 [ ỡy ổx J 2 [ ỡy õ x
và
ổu. ổuv X ổu.- - z 1
+ — ỡll. ỡll ôz 2 V dz ỡx ) 2 V õz ôx ) Biểu thức (f) ở dang viết gọn thông qua 0^ và 0) :
u Gx = u x + ^ r L d x + (07dy + 0 dz) + ((0 d z - c o z d y )
ổx ' (g)
Tương tự có biểu thức rút gọn thông qua biến dạng góc và quay đơn thuần đối với hai trục còn lại là:
uGy = uv + — - d y + (0xdz + 0zdx) + (cozd x - c o xdz) ỡu„
õy
uGz = uz + ậ 2-dz + (0xdy + 0 dx) + ((0xd y - © dx)
(h)
ổz ' A ' y y (i)
Các phương trình (g) và (i) thể hiện Định luật Kôsi-Hem hôn đối với chuyển động của phần tử hình hộp vô cùng nhỏ có các cạnh song song với hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc (Oxyz), bao gồm chuyên động tịnh tiến, biến dạng dài, biến dạng góc và chuyển động quay quanh trục tức thời song song với trục toạ độ quanh điểm A.