Dòng cháy mà các phần tử chất lỏng không có chuyển động quay đơn thuần gọi là chuyển động không xoáy, ngược lại dòns chảy mà các phần tử chất lỏng có chuyển động quay đơn thuần là chuyển động xoáy.
59
4 = 0 hay
Cừx = 0 (0V = 0 (0Z = 0
hay
Rotíi = 0
Rot là một toán tử, biến một véc tơ thành một véc tơ khác. Để dễ nhớ ta có thể viết:
Từ định nghĩa trên, đối với chuyển động không xoáy ta có:
Rotii =
i j k
õ_ õ_ d_
5x dy õz
u * u y u z
ổ u z ỔUy
õy õz i + ^ ổ u x ổ u z Ì 7 , f ổ u y ỡ u x
õz õx J +
5x õy (3.14)
Theo định nghĩa ta có:
( 0 = — rotù 2 và
co = coxi +Cùỵj + C07k trong đó: i, j , k là các vcc tơ đơn vị.
Rotii = 0 có nghĩa là:
ỡ u _ Ổ U y ỡ u „ ỡ u guy _ gỌx
ổx ỡy
z ___ỵ_ . X z
õy õz õz õx
Biếu thức (3.15) là điều kiện cần và đủ đê tồn tại một hàm (p (x, y, z, t) sao cho:
ổcp
ãx
ỡ ( p
ỡy
ỡcp
(3.15)
u x =
uy = (3.16)
Uz ôz hay
ũ = grackp = V(p (3. lóa)
Gradien (Grad) là một toán tử biến một đại lượng vô hướng thành 1 véc tơ theo dạng:
g I l d í = Ỉ P ị 3 ] 3 k (3.16b>
õx õy õz
Lấy vi phân biêu thức (3.16) ta có:
ỡu, ỡ2q> ổu
ôz ôxdz ổx
õuy ỡ2cp _ ỡ u x
ỡx õyôx ổy
ỡ u x ổ 2(p II
(3.16c)
õz õy õzõy
Hàm cp(x, y. z. t) được gọi là thế vận tốc. Một chuyển động mà tồn tại hàm (p(x, y, z, t) sao cho (3.16) được thoá mãn thì chuyển động đó gọi là chuyển động thế (tức là tồn tại thế vận tốc). Như vậy chuyển động thế cũng có ý nghĩa là chuyển động không xoáy.
Đương nhiên,chuyển động xoáy hay chuyển động dạng không thế thì:
Rotũ * 0 Phương trình (3.16) dẫn đến:
I 1 , f t p , ỡcp ỡcp , 11 dx + 11vdy + u.,dz = — dx + — dy + — dz = dcp
> ỡx õy õz (3.17)
Mặt có cp = const hay dcp = 0 gọi là mặt đẳng thế vận tốc.
3.3.2.2. D òng chảy phẳng
Đối với dòng chảy phảng trục tung thường được kí hiệu là y, trục hoành là X, do vậy tốc độ góc quay quanh trục z là:
1 f ổu.
co = ỡll.
ỡx ơy
Biểu thức trong dấu ngoặc c = "ỡuy du õx õy
(3.18)
(3.1 8a) được gọi là véc tơ xoáy, do vậy
4 = 2(0 (3.18b), còn co là tốc độ góc của phần tử chất lỏng quay quanh khối tâm của nó trong mặt phẳng xOy. Trong chuyển động xoáy luôn tồn tại véc tơ xoáy, còn trong chuyển động không xoáy (chuyển động tịnh tiến hay chuyển động biến dạng góc đơn tluiần) thì véc tơ xoáy bằng không, tức là:
ạ ụ / L 3y j
ơu.
2 co = 0
hay
ỡx
ỡ u v ỡu
(3.18c) 5x õy
Việc phân biệt dòng xoáy và dòng không xoáy là rất quan trọng, chẳng hạn phương trình Becnuli rút ra cho đường dòng sẽ được áp dụng cho tất cả các đường dòng của dòng chảy không xoáy, lưới thuỷ động chí sử dụng đối với dòng không xoáy.
61
Nếu chuyển động của chất lóng là chuyển động phẳng thì hàm thế vận tốc cp(x, y) sẽ có:
ổọ , . ỡ(p
d ọ = u xd x + u d y = •—L d x H— — d y
Khi (p = const thì:
ỡx
— d x + — d y = d(p = 0
ỡx ổy
õy (3.18d)
(3.1 Se) Đó là phương trình đẳng thế vận tốc
trong chuyến động phẳng. Trong chuyển động phẳng (hình 3.1 lg) ^ 2 phương trình đường dòng có dạng: vl/l
dx dy u. 11 hay
Uydx - u xd y = 0
Ta đưa vào một hàm số VỊ/(x, y) thoả mãn điều kiện: * £ = 1 . 0 . 1 9 )
õy
Hình 3.1 Ig
õy ôy y
thì phương trình đường dòng của chuyển động phẳng được viết thành:
. ỡ\|/ Ỡ\Ị/
d\|/ = — dx + — dy = 0 õx
tức là V|/(x,y) = const dọc theo dường dòng. Hàm số v|/(x,y)thoả mãn điều kiện (3.19) gọi là hàm dòng. Hàm dòng giữ giá trị không đổi dọc theo mỗi đường dòng. Những đường dòng khác nhau có trị số hàm dòng khác nhau.
Hiệu số những trị số hàm dòng của hai đưòng dòng cho trước bằng lưu lượng chất lỏng giữa hai đường dòng đó (hình 3.1 lg, h), tức là:
dQ = uxdy - uydx hay
ổy (3.20)
Ilình 3.1 Ih d Q = — d y + ậ ^ d x = d iịí
dy ỡx
Do đó lưu lượng chảy qua mặt c ắ t s giữa hai đường dòng là:
M'12
Q = ĩ dvK = H'2 - V|
Vi
hay
Q = \ịl 2 - V|/,
Trong chuyển động phẳng có thế, ta có sự liên hệ giữa hàm thế vận tốc và hàm dòng ỡ<p _ ỠV|/
ỡx õy
ỡ ọ _ ỠVỊ/
_ _ ~ ỡ x
(3.21) ỡy
Do đó dẫn tới:
ổ(p ỡ\|/ ổọ õ\ự _
õx ỡx ỡy ôy (3.22)
Biếu thức này chỉ ra rằng họ đường đẳng thế vận tốc cp = const và họ đường đòn
Vị/ = const trực giao với nhau và tạo nên lưới thủy động (hình 3.1 lh).
Các biểu thức của (3.21) thoả mãn phương trình Lưpỉaxơ. có nghĩa là:
ổ2v +ể!i = 0 ổ x 2 õy
Ô2(Ọ ỡ 2tp
(3.23)
= 0 ổx2 õ y2
Sử dụng toán tử Laplaxơ À thì (3.23) được viết lại:
Avị/ = A(p = 0 (3 .2 3 a )
trong đó:
A =
ổx2 ổy2
Đối với dòng chảy conq (hình 3.1 li) đê tiện áp dụng ta sử dụng toạ độ độc cực:
V|/ = f(r , 0 )
vi phân cho:
_ ô\ự , Õ\\I õ\ụ = — dr + — d0
õ r a e