Từ đó HS sẽ tự hình thành thuật giải để tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị. Đó là phân chia, lắp ghép để tính thơng qua các hình phẳng chỉ giới hạn bởi hai đồ thị.
2.2.3.7. Hoạt động dạy học cơng thức về ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể.
Các kiến thức liên quan đã biết:
- Định nghĩa tích phân, các tính chất và ý nghĩa hình học của tích phân. - Tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân từng phần.
- Thể tích khối chóp, khối nón, khối cầu.
Mục tiêu của hoạt động:
- HS tự hình dung cơng thức áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể và kiểm chứng trong một số trƣờng hợp cụ thể.
- HS tự hình thành cơng thức áp dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thịy f x , trục hoành, hai đƣờng thẳng xa x; b quay xung quanh Ox.
- HS áp dụng đƣợc công thức đã xây dựng để giải quyết một số bài toán liên quan.
Triển khai hoạt động dạy học:
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV hƣớng dẫn HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc chia HS thành các nhóm thực hiện các nhiệm vụ học tập là các ví dụ sau:
Ví dụ 2.20. Đặt một khối chóp có diện tích đáy là B và độ dài đƣờng cao là
h trong không gian Oxyz với đáy của hình chóp nằm trên mặt phẳng Oyz và đƣờng cao của hình chóp song song với trục Ox, đỉnh khối chóp có hồnh độ dƣơng. Với một giá trị x bất kì trong đoạn 0;h , mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tính diện tích S x của thiết diện theo x và từ đó tính tích phân
0
h
V S x dx.
Ví dụ 2.21. Đặt một khối nón có diện tích đáy là B và độ dài đƣờng cao là
một giá trị x bất kì trong đoạn 0;h , mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x cắt hình nón theo một thiết diện. Hãy tính diện tích S x của thiết diện theo x và từ đó tính tích phân
0
h
V S x dx.
Ví dụ 2.22. Đặt một khối cầu có bán kính R trong không gian Oxyz tiếp xúc với mặt phẳng Oyz và tâm khối cầu nằm trên tia Ox. Với một giá trị x bất kì trong đoạn 0; 2R, mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x cắt hình cầu theo một thiết diện. Hãy tính diện tích S x của thiết diện theo x và từ đó tính tích phân 2
0
R
V S x dx.
HS thực hiện các nhiệm vụ học tập:
Ví dụ 2.20. Thiết diện là một hình đồng dạng với đáy và tỉ số đồng dạng theo
định lý Thales là k h x h
, do đó thiết diện có diện tích là S x B. h x 2
h . Từ đó 2 2 3 0 0 1 . . 0 3 3 h h h x h h x B V S x dx B dx Bh h h . Ví dụ 2.21. Thiết diện là một hình trịn và bán kính là r R.h x h , với R là bán kính đáy của hình nón. Do đó thiết diện có diện tích là
2 2 2 . . h x . h x S x R B h h . Vậy 2 2 3 0 0 1 . . 0 3 3 h h h x h h x B V S x dx B dx Bh h h . Ví dụ 2.22. Thiết diện là một hình trịn có bán kính là 2 2 r R Rx . Do đó thiết diện có diện tích là 2 2 2
. 2 S x R Rx Rxx . 2 2 3 2 2 2 4 3 R R x R
Bước 2. Tìm giải pháp
GV hƣớng dẫn HS phân tích để tự thấy đƣợc kết quả các tích phân đều trùng hợp chính là cơng thức tính thể tích các khối hình tƣơng ứng mà HS đã đƣợc học trong hình học. Hơn nữa khi học các cơng thức thể tích đó trong nội dung hình học thì thấy chúng hồn tồn khơng liên quan tới nhau, nhƣng qua các ví dụ này HS sẽ thấy đƣợc dƣờng nhƣ chúng đều xuất phát từ chung một cách tính là
0
h
V S x dx. Từ đó HS sẽ tự hình thành cơng thức tính thể tích một vật thể.
Bước 3. Trình bày giải pháp
GV tổng khái qt hóa các ví dụ học sinh vừa thực hiện thành nội dung định lý: Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz, xét phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm a và b. Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x bất kì trong đoạn a b; cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là S x và S x là một hàm số liên tục trên a b; thì thể tích phần vật thể đang xét là b
a
V S x dx.
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
- GV hƣớng dẫn HS củng cố cơng thức qua các nhiệm vụ học tập:
Ví dụ 2.23. Cho T là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x0, x1. Tính thể tích V của T biết rằng khi cắt T bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ bằng x, 0 x 1, ta đều đƣợc thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 1x.
Ví dụ 2.24. Cho vật thể T giới hạn bởi hai mặt phẳng x0;x2. Biết rằng khi cắt vật thể T bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại x; 0 x 2 ta đƣợc thiết diện là một hình vng có cạnh là x1ex. Tính thể tích vật thể T .
HS thực hiện nhiệm vụ học tập:
Ví dụ 2.23. Diện tích tam giác đều cạnh bằng 1x là S x 3 1 x
Thể tích của vật thể T là 1 1 0 0 3 1 d d 4 x V S x x x 3 38 .
Ví dụ 2.24. Diện tích thiết diện là 2 2 1 x S x x e . Thể tích của vật thể T là 2 2 2 2 4 0 0 13 1 1 4 x e V S x dx x e dx . - GV hƣớng dẫn HS hình thành cơng thức áp dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , trục hoành, hai đƣờng thẳng xa x; b quay xung quanh Ox.
HS áp dụng công thức trên và thực hiện từng bƣớc: Tính S x rồi tính thể tích: Thiết diện là hình trịn có bán kính là f x nên 2
. S x f x . Do đó: 2 b b a a V S x dx f x dx.
Nhƣ vậy HS đã tự hình thành cơng thức tính thể tích khối trịn xoay trên.
2.3. Dạy học giải quyết vấn đề nội dung quy tắc, phƣơng pháp giải toán thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân chủ đề Nguyên hàm – Tích phân
2.3.1. Những lưu ý khi dạy học nội dung quy tắc, phương pháp giải toán
Trong dạy học bộ mơn Tốn những quy tắc, phƣơng pháp giải toán thƣờng khơng hồn tồn độc lập với định nghĩa và định lí. Hầu hết các quy tắc, phƣơng pháp giải toán đều đƣợc xây dựng trên một định nghĩa hay định lí nào đó, hoặc có thể chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lí. Tuy nhiên, việc dạy học loại tri thức này có những nét riêng và cần lƣu ý một số điều nhƣ sau:
- Cần hƣớng dẫn HS tìm ra nhiều hình thức thể hiện khác nhau cho mỗi quy tắc, giúp cho HS nắm vững nội dung từng bƣớc và trình tự thực hiện các bƣớc của quy tắc đó.
- Cần trình bày rõ từng bƣớc thực hiện quy tắc trong một số ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian phù hợp. Điều này giúp cho quy tắc đọng lại cách trình bày của HS khi luyện tập và áp dụng trong một thời gian đủ dài để họ
- Cần hƣớng dẫn cho HS tập luyện thực hiện theo những chỉ dẫn từng bƣớc nêu trong quy tắc để hình thành những thuật giải tƣơng ứng với quy tắc. Nếu HS không biến đƣợc quy tắc và những chỉ dẫn trong đó thành các thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải thì dù có học thuộc và hiểu đƣợc quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào các trƣờng hợp cụ thể.
- Dạy học quy tắc, phƣơng pháp giải toán cần hƣớng dẫn HS nắm đƣợc một cách vững chắc vùng khả dụng của quy tắc, phƣơng pháp đó. HS cần nắm rõ các điều kiện tiên quyết cần có để sử dụng mỗi quy tắc, phƣơng pháp nhất định, xác định một cách thành thạo việc lựa chọn áp dụng quy tắc nào, phƣơng pháp nào vào từng bài tốn cụ thể.
- Thơng qua dạy học quy tắc, phƣơng pháp, GV cần giúp HS hình thành thói quen và rèn luyện, phát triển tƣ duy thuật giải. Bởi vì tƣ duy thuật giải giúp HS hình dung đƣợc tiến trình thực hiện theo từng quy tắc, phƣơng pháp, giúp HS hiểu đƣợc sâu sắc q trình giải tốn, đặc biệt là những bài toán phức tạp, đồ sộ mà việc thực hiện một quy tắc một lần không thể giải quyết trọn vẹn đƣợc mà phải cần thực hiện lặp lại nhiều lần hoặc phối hợp nhiều quy tắc, phƣơng pháp theo một trình tự nhất định.
2.3.2. Quy trình dạy học giải quyết vấn đề nội dung quy tắc, phương pháp giải toán toán
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
- Thơng qua các ví dụ cụ thể, GV hƣớng dẫn HS khám phá, phân tích, tổng hợp để phát hiện các vấn đề cụ thể trong tình huống và định hƣớng giúp HS tìm cách để GQVĐ cụ thể đó.
- Dƣới sự hƣớng dẫn, giúp đỡ của GV, HS giải quyết từng vấn đề cụ thể trong các ví dụ đƣợc đƣa ra.
Bước 2: Tìm giải pháp
- GV hƣớng dẫn HS GQVĐ cụ thể đã đặt ra thông qua các hoạt động theo một trình tự nhất định.
- GV hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh các vấn đề cụ thể đó để tìm ra đặc điểm đặc trƣng chung nhất, từ đó xây dựng một lớp đối tƣợng chung cho các vấn đề
- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh… các lời giải cụ thể về mặt trình tự, bản chất tốn học từng bƣớc mà HS đã tiến hành ở trên để tìm ra quy tắc, phƣơng pháp chung cho lớp đối tƣợng đã xét.
Bước 3: Trình bày giải pháp
- GV hƣớng dẫn HS mơ tả chính xác lớp đối tƣợng đang xét với các đặc điểm đặc trƣng đã chỉ ra.
- GV hƣớng dẫn HS phát biểu chi tiết trình tự và bản chất toán học của từng bƣớc HS đã thực hiện, từ đó tổng quát hóa thành quy tắc, phƣơng pháp dƣới dạng tƣờng minh.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tổ chức cho HS hoạt động củng cố kiến thức quy tắc, phƣơng pháp bằng cách xây dựng và giải quyết một số tình huống phù hợp với quy tắc, phƣơng pháp đã hình thành.
- Hƣớng dẫn HS xây dựng các hình thức khác nhau khi thực hiện quy tắc, phƣơng pháp để phù hợp với từng trƣờng hợp cụ thể.
- Hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh, đặc biệt hóa, tổng quát hóa…dựa trên quy tắc, phƣơng pháp đã có cùng những tình huống cụ thể để tìm ra quy tắc, phƣơng pháp mang tính chất tổng quát hơn cho một lớp đối tƣợng rộng hơn hoặc cụ thể hơn với các lớp đối tƣợng cụ thể phù hợp.
2.3.3. Dạy học giải quyết vấn đề một số quy tắc, phương pháp giải toán thuộc phần Nguyên hàm – Tích phân lớp ở 12 phần Nguyên hàm – Tích phân lớp ở 12
2.3.3.1. Hoạt động dạy học phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm Các kiến thức liên quan đã biết:
- Khái niệm, các tính chất và các quy tắc tính đạo hàm của hàm số trên các khoảng, đoạn, nửa khoảng.
- Khái niệm nguyên hàm, kí hiệu và ý nghĩa họ nguyên hàm của một hàm số, các tính chất của nguyên hàm, một số nguyên hàm cơ bản thƣờng gặp.
- Khái niệm vi phân, công thức vi phân của một hàm số
- HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc hồn chỉnh định lí, chứng minh đƣợc định lí.
- HS sử dụng nội dung định lí để tự xây dựng phƣơng pháp đổi biến khi tìm nguyên hàm, hình thành sơ đồ thuật giải cho việc tìm nguyên hàm theo phƣơng pháp đổi biến.
- HS vận dụng phƣơng pháp đổi biến để giải quyết bài tốn tìm ngun hàm của hàm số trong một số trƣờng hợp cụ thể.
Triển khai hoạt động dạy học:
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
- GV giúp HS củng cố cố kiến thức đạo hàm của hàm hợp thơng qua nhiệm vụ học tập:
Ví dụ 2.25. Hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 10 2 F x x x . b) 3 sin G x x. c) 3 2 H x x x . HS thực hiện nhiệm vụ học tập: a) 2 9 ' 10 . 2 1 F x x x x . b) 2 ' 3sin .cos G x x x. c) 2 3 2 1 ' . 3 2 2 H x x x x x .
Qua việc thực hiện nhiệm vụ này, HS đƣợc củng cố lại kiến thức về đạo hàm của hàm hợp. Việc tính đạo hàm của hàm hợp thƣờng đƣợc thực hiện qua các bƣớc:
Bƣớc 1: Hình dung ra cách đặt một hàm ẩn phụ u theo ẩn độc lập x để đƣa hàm số đã cho theo ẩn x chuyển thành theo ẩn u (mục tiêu là đƣa về các dạng hàm đã có cơng thức tính đạo hàm).
Bƣớc 2: Tính đạo hàm theo ẩn u coi nhƣ u là ẩn độc lập và chuyển kết quả quay lại ẩn x.
Bƣớc 3: Nhân thêm đạo hàm của hàm u theo ẩn x vào kết quả vừa tính. - GV hƣớng dẫn HS thâm nhập vấn đề bằng cách đảo ngƣợc quá trình tìm đạo hàm hàm hợp thành q trình tìm ngun hàm thơng qua nhiệm vụ học tập:
a) 2 9 2 9 2 2 10 10 x x . 2x1 dx 10. x x . x x dx' x x C
.
b) 2 2 3
3sin x.cosxdx 3sin x. sinx dx' sin xC
. c) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 . 3 2 . ' 2 2 x x dx x x dx x x C x x x x .
Ví dụ 2.27. Thực hiện nhiệm vụ tƣơng tự ví dụ 1, ví dụ 2 cho một hàm hợp
tổng quát yF u x nếu biết F x' f x x cũng tức là
f x dxF x C . HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Sử dụng đạo hàm: F u x ' F u u x' . ' f u u x . ' . Sử dụng nguyên hàm: f u u x dx ' F u u x dx' . ' F u x C. Bước 2: Tìm giải pháp
GV hƣớng dẫn HS tổng quát quá trình thực hiện các nhiệm vụ học tập ở trên để hình thành nội dung của định lý và con đƣờng chứng minh định lý:
- Đối với đạo hàm: Khi thay thế ẩn tự do x bằng một hàm ẩn phụ u x thì sau khi tính đạo hàm theo các quy tắc thơng thƣờng thì sẽ “phát sinh” thêm nhân tử là đạo hàm u x' của hàm ẩn phụ đó.
- Đối với nguyên hàm: Khi thay thế ẩn tự do x bằng một hàm ẩn phụ u x