Một số hình phẳng trên mặt phẳng tọa độ

GV chia HS làm nhiều nhóm thực hiện các nhiệm vụ độc lập theo các phiếu học tập (mỗi nhiệm vụ nên có ít nhất hai nhóm thực hiện).

Nội dung phiếu học tập 1: Hãy tìm hai nguyên hàm F x1  và F x2  của hàm số y f x  đƣợc nêu trong từng trong hình vẽ và tính F b1 F a1  và

   

2 2

F b F a .

Nội dung phiếu học tập 2: Hãy tính diện tích của ba hình đƣợc đánh dấu trong các hình vẽ.

Bước 2: Tìm giải pháp

- GV yêu cầu HS thực hiện các nhiệm vụ học tập sau đó trình bày báo cáo kết quả thực hiện nhiệm vụ và so sánh của các kết quả thu đƣợc của các nhóm. HS sẽ tự phát hiện ra hai vấn đề sau:

i) Ở kết quả của các nhóm thực hiện nhiệm vụ phiếu học tập 1: Dù việc chọn các nguyên hàm F x F x1   ; 2 khác nhau nhƣng kết quả cuối cùng của phép toán

   

1 1

F b F a và F b2 F a2  đều luôn nhƣ nhau.

ii) Kết quả của việc thực hiện hai nhiệm vụ học tập ứng với mỗi hình vẽ là bằng nhau.

- GV định hƣớng giúp HS hình thành giả thiết về việc có thể sử dụng cơng cụ nguyên hàm vào việc tính diện tích của hình thang cong bằng cách tƣơng tự nhƣ nhiệm vụ học tập trong phiếu học tập. Tức là giúp HS hình thành dự đốn: nếu đặt hình thang cong vào hệ trục tọa độ Oxy tƣơng tự hình vẽ ở các phiếu học tập và cạnh “cong” của hình thang cong là một phần của đồ thị hàm số f x  (nằm phía trên trục hồnh) thì việc đi tìm F x  là một nguyên hàm của hàm f x  và tính hiệu S F b F a  sẽ cho kết quả chính là diện tích của hình thang cong đó.

- GV giới thiệu cho HS về thuật ngữ tích phân: “Việc tìm một ngun hàm  

F x của hàm số f x  rồi tính hiệu S F b F a  sẽ cho kết quả là một số và kết quả đó gọi là tích phân của hàm số f x  từ a đến b”.

Bước 3: Trình bày giải pháp

GV hƣớng dẫn HS trình bày định nghĩa khái niệm tích phân:

Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  a b; . Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên đoạn  a b; thì hiệu số F b F a  đƣợc gọi là tích phân của

 

f x từ a đến b (hay tích phân của f x  trên đoạn  a b; ) và kí hiệu là:

  ( ) ( ) ( ) b b a a f x dxF x F b F a  .

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- GV bàn giao nhiệm vụ học tập cho HS củng cố khái niệm tích phân:

Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau: a) 1  0 2 1 I  x dx b) 1 0 x J e dx. Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: Đáp số: a) 1  0 2 1 2. I  x dx b) 1 0 1 x J e dx e .

- GV hƣớng dẫn HS tự tìm ra tính chất khơng phụ thuộc vào biến số của tích phân thơng qua ví dụ:

Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau: a) 1  0 2 1 I  t dt b) 1 0 t J e dt. Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: Đáp số: a) 1  0 2 1 2 I  t dt  . b) 1 0 1 t J e dt  e . GV hƣớng dẫn HS trình bày tính chất:

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là ( )

b a x dx f  hay   b f t dt  , tức là ( )   b b f x dx f t dt   .

- GV hƣớng dẫn HS tự tìm ra ý nghĩa hình học của tích phân bằng cách kết nối khái niệm tích phân với bài tốn mở đầu HS đã thực hiện:

Nếu hàm số f x  liên tục và không âm trên đoạn  a b; thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f x , trục Ox và hai đƣờng thẳng

;

xa xb là b  

a

S  f x dx.

2.2. Dạy học giải quyết vấn đề nội dung định lí tốn học thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân hàm – Tích phân

2.2.1. Những u cầu khi dạy học định lí tốn học

Các định lí cùng với các khái niệm tốn học chính là hai nội dung cơ bản của mơn Tốn, làm nền tảng cho việc rèn luyện các kĩ năng bộ mơn, phát triển năng lực trí tuệ, đặc biệt là khả năng suy luận, dự đoán và chứng minh, rèn luyện phẩm chất và đạo đức, tiêu biểu là tính kiên trì, cẩn thận.

Việc dạy học các định lí tốn học phải đạt đƣợc các yêu cầu sau đây:

- HS xây dựng đƣợc hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán và cao hơn là giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

- HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày đƣợc chứng minh, đến mức độ biết suy nghĩ, tƣ duy để tìm ra phép chứng minh tính đúng đắn của một giả thuyết để hình thành định lý và cao nhất là phân tích, tổng hợp, dự đốn rồi đi đến chứng minh hoặc bác bỏ một giả thuyết nào đó.

- HS khơng những cần hiểu đƣợc kết quả về mặt tốn học của định lí mà cịn cần hiểu sâu sắc các định lí tốn học: định lí đƣợc xây dựng trên nền kiến thức nào, đƣợc hình thành và chứng minh dựa trên kết quả của các định lí nào, định lí đó là đúng với những điều kiện giả thiết nào, nếu thay đổi các điều kiện giả thiết thì sẽ ra sao, định lí đó sẽ dùng để giải quyết các bài tốn nào,… Trong đó, HS phải thấy đƣợc việc dự đốn và chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phƣơng pháp làm việc trên lĩnh vực Tốn học.

- Thơng qua việc dạy học các định lí tốn học, HS phải đƣợc rèn luyện phƣơng pháp tƣ duy toán học bằng con đƣờng phát hiện và GQVĐ: nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các trƣờng hợp cụ thể, dự đốn tính chất tổng quát, đƣa ra giả thuyết toán học tổng quát, bác bỏ giả thuyết sai, chứng minh giả thuyết đúng, hình thành định lí, ứng dụng, phát triển định lí.

- Hệ thống các định lí tốn học chính là các cơng cụ đƣợc Toán học sinh ra để giải quyết các vấn đề của chính Tốn học. Do đó, việc dạy học định lí tốn học ở trƣờng phổ thơng cịn phải rèn luyện cho HS khả năng phát hiện và GQVĐ ở mức độ phù hợp. Cụ thể đó là việc tìm kiếm các cơng cụ phù hợp, mức độ cao hơn là phối hợp một cách khoa học các công cụ đã có và cao hơn nữa là cải tiến các cơng cụ đã có để sáng tạo ra cơng cụ mới phù hợp cho việc GQVĐ đƣợc đặt ra.

2.2.2. Quy trình thực hiện dạy học giải quyết vấn đề định lí tốn học

Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề

- GV giới thiệu tới HS THCVĐ chứa đựng nội dung của định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ tốn học thơng qua các nhiệm vụ học tập phù hợp.

- GV hƣớng dẫn HS thực hiện các nhiệm vụ học tập, từ đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, lật ngƣợc vấn đề… để hình thành các giả thuyết tốn học, từ đó phát hiện nội dung định lí.

Bước 2: Tìm giải pháp

- GV hƣớng dẫn HS phát biểu giả thuyết toán học rồi định hƣớng HS thực hiện các thao tác tƣ duy: suy luận, phân tích, so sánh, đối chiếu, đặc biệt hóa, qui lạ về quen, … để tìm ra giải pháp bác bỏ các giả thuyết sai, chứng minh các giả thuyết đúng, hình thành định lí.

- Với một số định lí có mức độ trừu tƣợng cao, việc chứng minh nằm ngoài yêu cầu của chƣơng trình Tốn phổ thơng thì thay vì việc tìm giải pháp chứng minh định lí, GV phải định hƣớng HS kiểm chứng định lí thơng qua một số tình huống cụ thể để hình thành niềm tin vào sự đúng đắn của định lí.

Bước 3: Trình bày giải pháp

- GV giúp đỡ HS trình bày hồn chỉnh nội dung định lí, giới thiệu các kí hiệu tốn học mới, từ đó hƣớng dẫn HS chuyển hóa nội dung định lí thành cơng thức tốn học.

- GV hƣớng dẫn HS trình bày hồn chỉnh giải pháp chứng minh định lí.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- GV hƣớng dẫn HS phát biểu định lí bằng lời lẽ của mình và diễn đạt nội dung định lí dƣới những dạng trình bày khác nhau: Bằng lời văn, bằng công thức, bằng giả thiết – kết luận,….

- GV hƣớng dẫn HS nhận dạng, thể hiện và vận dụng định lí thơng qua các nhiệm vụ học tập phù hợp.

- GV hƣớng dẫn HS khái qt hóa, đặc biệt hóa… để tìm ra các tính chất mới và các ứng dụng khác của định lí.

- GV hƣớng dẫn HS nghiên cứu mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận của định lí, tìm ra sự cần thiết, ràng buộc lẫn nhau giữa các yếu tố đó, sự thay đổi của chúng sẽ làm cho định lí trở nên sai lầm hoặc có thể dẫn đến một định lí khác.

- GV hƣớng dẫn HS phân tích nội dung định lí để HS nhận ra những cách áp dụng khơng chính xác nội dung định lí, từ đó tránh mắc phải những sai lầm trong giải toán.

2.2.3. Dạy học giải quyết vấn đề các định lí điển hình thuộc chủ đề Ngun hàm – Tích phân ở lớp 12

2.2.3.1. Hoạt động dạy học định lí: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số    

f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên  K . Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên 

K đều có dạng F x C với C là một hằng số. Các kiến thức liên quan đã biết:

- Định nghĩa, các tính chất và quy tắc tìm đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định.

Mục tiêu của hoạt động:

- HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc định lí, làm quen và sử dụng thành thạo kí hiệu tốn học thể hiện họ các nguyên hàm của một hàm số.

- HS tự hình thành lời chứng minh của định lí.

- HS vận dụng nội dung định lí để tìm đƣợc các ngun hàm khác nhau của hàm số theo yêu cầu của đề bài.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề

GV hƣớng dẫn HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập:

Ví dụ 2.7. Trong các hàm số sau, hãy chọn các hàm số là nguyên hàm của

hàm số   2 3 2 1 f x  x  x trên R: a)   3 2 1 F x  x x x. b)    2   2 1 1 F x  x  x . c)    3  2 3 1 2 1 2 F x  x  x  x.

Ví dụ 2.8. a) Hãy nêu ít nhất bốn hàm số khác nhau cùng là nguyên hàm của

hàm số   3 4

f x  x trên R.

b) So sánh bốn hàm số thu đƣợc ở câu a), nêu dạng tổng quát của các nguyên hàm của hàm số   3

4

f x  x . Ngoài dạng tổng quát đó, liệu có hàm số dạng nào khác cũng là nguyên hàm của hàm số   3 4 f x  x hay không? HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.7. Biến đổi   3 2 2 1 F x x x  x ;   3 2 2 1 F x x x  x . Tìm đạo hàm của các hàm F x F x F x1     ; 2 ; 3 ta đƣợc:       2 1' 2' 3' 3 2 1 F x F x F x  x  x  x R.

Vậy F x F x F x1     ; 2 ; 3 đều là nguyên hàm của hàm số f x  trên R.

Ví dụ 2.8. a) Rõ ràng   4

F x x là một nguyên hàm của hàm   3 4

f x  x và việc cộng thêm các hằng số tự do vào F x  cũng khơng làm thay đổi đạo hàm của

nó (do đạo hàm của hàm hằng là 0) nên có thể lấy một số nguyên hàm khác là   4 1 1; F x x    4 2 2; F x x    4 3 3; F x x  … b) Các hàm số tìm đƣợc ở câu a) có dạng   4 F x x C (với C là hằng số) có đều là nguyên hàm của hàm số   3

4

f x  x .

HS hình thành dự đốn: Ngƣợc lại, ngồi các hàm số có dạng   4

F x x C

(với C là hằng số) thì dƣờng nhƣ khơng có hàm số dạng nào khác cũng là nguyên hàm của hàm số   3

4

f x  x vì nếu khơng phải thêm vào hằng số mà lại thêm vào các biểu thức có ẩn x thì chắc chắn sẽ làm thay đổi đạo hàm của nó.

Bước 2: Tìm giải pháp

- GV hƣớng dẫn HS trình bày định lí: Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  thì các hàm số G x F x C với C là hằng số cũng là nguyên hàm của hàm số f x  và mọi nguyên hàm của hàm số f x  cũng đều có dạng đó.

- GV hƣớng dẫn HS tìm cách chứng minh định lí.

+) Chứng minh các hàm số G x F x C cũng là nguyên hàm của hàm số f x : Dễ dàng chỉ ra đạo hàm của chúng vẫn là f x .

+) Chứng minh mọi nguyên hàm của f x  đều có dạng F x C:

Trƣớc hết, định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã khẳng định nếu hàm u x  có u x' 0  x R thì u x C là hàm hằng trên R.

Giả sử nếu có một nguyên hàm của f x  dạng F x   u x thì theo quy tắc về đạo hàm ta sẽ có u x' 0 với mọi x. Do đó u x  phải là hàm hằng:

 

u x C  x R. Tức là nguyên hàm đó có dạng F x C với C là hằng số.

Bước 3: Trình bày giải pháp

- GV hƣớng dẫn HS phát biểu hồn chỉnh nội dung định lí:

Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì với mỗi hằng số

Ngƣợc lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x  trênK đều có dạng F x C với

C là một hằng số.

- GV giới thiệu kí hiệu toán học: Theo kết quả của định lí trên thì

  ,

F x C CR gọi là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên K. Kí hiệu:  f x dx  F x C.

- GV hƣớng dẫn HS trình bày lời chứng minh định lí:

+) Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K và hàm số

   

G x F x C với C là hằng số thì ta có G x' F x C'F x'  f x 

nên G x  cũng là một nguyên hàm của f x .

+) Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K và G x  cũng là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K. Gọi u x G x F x  x ta có

     

' ' ' 0

u x G x F x  x nên u x  là hàm hằng trên K , tức là u x C với

C là hằng số, do đó G x F x C x.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- GV hƣớng dẫn HS củng cố, khắc sâu kiến thức thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.9. Tìm các ngun hàm a) 2 3x dx  . b) sinx dx . c) 2 dx x  . Đáp số: a) 3 x C b) cosx C . c) xC.

Ví dụ 2.10. Trong các nguyên hàm của hàm số   4 5 f x  x , tìm nguyên hàm   F x thỏa mãn F 1 10. Đáp số:   5 9 F x x  .

2.2.3.2. Hoạt động dạy học định lí: Nếu f g, là hai hàm số liên tục trên K thì: a)f x g x dx f x dx  g x dx  .

b) Với mọi số thực k 0 ta có k f x dx( ) k f x dx( ) . Các kiến thức liên quan đã biết: