Dạy học giải quyết vấn đề các khái niệm điển hình thuộc chủ đề Nguyên

9. Cấu trúc luận văn

2.1. Dạy học giải quyết vấn đề nội dung khái niệm toán học thuộc chủ đề Nguyên

2.1.3. Dạy học giải quyết vấn đề các khái niệm điển hình thuộc chủ đề Nguyên

hàm – Tích phân ở lớp 12

2.1.3.1. Hoạt động dạy học khái niệm nguyên hàm Các kiến thức liên quan đã biết:

- Khái niệm đạo hàm của hàm số trên một khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Đạo hàm của một số hàm số cơ bản.

- Các tính chất và các quy tắc tính đạo hàm thơng dụng.

Mục tiêu của hoạt động:

HS tự hình thành khái niệm nguyên hàm và định nghĩa đƣợc khái niệm nguyên hàm thông qua những kiến thức liên quan đã biết.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề

GV đƣa ra tình huống thơng qua các ví dụ sau:

Ví dụ 2.1. Nếu một chất điểm chuyển động có phƣơng trình   2 2

s t  t t thì có cơng thức vận tốc là gì?

Ví dụ 2.2. Nếu biết một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời cho bởi

hàm số   2 3

v t  t và phƣơng trình của chuyển động đó là một trong 3 phƣơng án sau đây thì phƣơng án nào đúng?

A.   2 3 s t  t B.   3 s t t C.   3 2 s t  t

Ví dụ 2.3. Nếu biết một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời cho bởi

hàm số   2

2

v t   t t và phƣơng trình của chuyển động đó là một trong 3 phƣơng án sau đây thì phƣơng án nào đúng?

A.   3 2 2 2 s t  t  t t B.   3 2 3 2 s t  t t  t . C.   1 3 1 2 2 2 3 2 s t  t  t  t . HS thực hiện nhiệm vụ học tập:

Ví dụ 2.1. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì vận tốc tức thời của chuyển

động có phƣơng trình   2 2

s t  t t là v t s t'  4t 1.

Ví dụ 2.2. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì phƣơng án B là đúng vì chỉ

có phƣơng án B thỏa mãn s t'   v t t.

Ví dụ 2.3. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì phƣơng án C là đúng vì chỉ

GV đƣa ra nhiệm vụ: Hãy dùng lời mô tả mối quan hệ giữa hàm phƣơng trình chuyển động và hàm vận tốc của chuyển động đó theo hai cách khác nhau.

Đến đây, HS đã tìm ra đƣợc vấn đề là cần thêm một cách mô tả quan hệ đạo hàm nhƣng theo chiều ngƣợc lại.

Bước 2: Tìm giải pháp

HS trả lời câu hỏi:

Phát biểu cách 1: Hàm vận tốc của chuyển động là đạo hàm của hàm phƣơng trình chuyển động.

Phát biểu cách 2: HS sẽ cảm nhận, mƣờng tƣợng ra cách phát biểu thứ hai là phát biểu ngƣợc lại: “Hàm phƣơng trình chuyển động là … của hàm vận tốc của chuyển động” và trong dấu “…” sẽ là một từ khóa cũng thể hiện quan hệ “đạo hàm” nhƣng theo chiều ngƣợc lại.

GV sẽ trả lời giúp HS từ khóa cịn thiếu đó là “ngun hàm” và u cầu HS thử dự đoán nội dung của định nghĩa khái niệm nguyên hàm.

Bước 3: Trình bày giải pháp

- HS trình bày định nghĩa khái niệm nguyên hàm bằng lời văn theo cảm nhận thơng qua ví dụ trên:

Một hàm F x  gọi là nguyên hàm của hàm f x  nếu đạo hàm của hàm  

F x bằng hàm f x  với mọi x.

- GV giúp đỡ HS hoàn chỉnh định nghĩa khái niệm ngun hàm bằng ngơn ngữ tốn học.

Cho hàm số f x  xác định trên tập K. Hàm số F x  đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu F x'  f x  với mọi xK.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động củng cố khái niệm sau:

Ví dụ 2.4. Cho các hàm số sau, hãy nêu tất cả các quan hệ: “Hàm… là một

nguyên hàm của hàm … trên R”.

  2 sin

  2 3 cos f x x  x.    2 4 1 2 cos f x  x  x x.   2 5 sin 2 f x  x  x     . f6 x  cosx. HS trả lời:

Hàm f x1  là một nguyên hàm của hàm f2 x trên R. Hàm f2 x là một nguyên hàm của hàm f6 x trên R.

Hàm f3 x , f4 x , f5 x đều là nguyên hàm của hàm f x1  trên R.

2.1.3.2. Hoạt động dạy học khái niệm tính phân Các kiến thức liên quan đã biết:

- Cơng thức tính diện tích của hình thang, hình trịn. - Khái niệm và các quy tắc tìm tập xác định của hàm số

- Khái niệm, các tính chất, các phƣơng pháp tìm nguyên hàm của hàm số.

Mục tiêu của hoạt động:

- HS tự hình thành khái niệm tích phân và định nghĩa đƣợc khái niệm tích phân thơng qua khái niệm nguyên hàm đã biết.

- HS thể hiện đƣợc cơng thức tính tích phân.

- HS tự tìm ra đƣợc tính chất của tích phân là khơng phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm số trong dấu tích phân và hai cận.

- HS tự xây dựng đƣợc ý nghĩa hình học của tích phân.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề

- GV đƣa ra tình huống thực tiễn để dẫn dắt đến ý tƣởng về hình thang cong và tam giác cong:

Trong hình học, ta thƣờng chỉ làm việc với các hình “đẹp” là các đa giác, tuy nhiên trong thực tế, đa phần các hình đều khơng có hình dạng nhƣ thế: một cái hồ, một mảnh đất, …(GV đƣa ra hình ví dụ trên giấy in sẵn). Vậy làm thế nào để có thể tính đƣợc diện tích của một hình nhƣ thế? GV đƣa ra nhiệm vụ học tập tính một cách chính xác nhất diện tích hình vẽ đã đƣa ra làm ví dụ ở trên.

HS sẽ tự tƣ duy, suy nghĩ tìm các phƣơng án xử lý. Một số cách xử lý của HS sẽ lựa chọn: Làm gần đúng coi hình cần tính nhƣ hình bình hành, cắt, ghép thành mơ hình đa giác, …. HS có thể tìm ra hoặc GV đƣa ra phƣơng án: Trong thực tế ngƣời ta thƣờng chia nhỏ hình cần tính diện tích bằng lƣới ơ vng. Từ đó, diện tích cần tính sẽ đƣợc chia nhỏ thành các hình vng và các hình có hình dạng gần giống hình thang vng hay tam giác vng nhƣng có cạnh bên hoặc cạnh huyền là đƣờng cong và chúng đƣợc tạm gọi là các hình thang cong hay tam giác cong. Và nhƣ vậy bài toán sẽ quy về việc tính diện tích các hình thang cong hay tam giác cong đó.

Hình 2.1. Hình thang cong và tam giác cong Hình 2.1a. Minh họa hình Hình 2.1a. Minh họa hình

cần tính diện tích

Hình 2.1b. Minh họa lưới ơ vng để tính diện tích

Hình 2.1c. Hình thang cong

Hình 2.1d. Tam giác cong

Tuy nhiên, HS sẽ cảm thấy mặc dù về mặt hình dạng khá giống hình thang và tam giác nhƣng HS chƣa có cơng thức nào có thể tính đƣợc chính xác diện tích của hình thang cong hay tam giác cong.

- GV bàn giao nhiệm vụ học tập tính diện tích những mơ hình đơn giản hơn:

GV chia HS làm nhiều nhóm thực hiện các nhiệm vụ độc lập theo các phiếu học tập (mỗi nhiệm vụ nên có ít nhất hai nhóm thực hiện).

Nội dung phiếu học tập 1: Hãy tìm hai nguyên hàm F x1  và F x2  của hàm số y f x  đƣợc nêu trong từng trong hình vẽ và tính F b1 F a1  và

   

2 2

F b F a .

Nội dung phiếu học tập 2: Hãy tính diện tích của ba hình đƣợc đánh dấu trong các hình vẽ.

Bước 2: Tìm giải pháp

- GV yêu cầu HS thực hiện các nhiệm vụ học tập sau đó trình bày báo cáo kết quả thực hiện nhiệm vụ và so sánh của các kết quả thu đƣợc của các nhóm. HS sẽ tự phát hiện ra hai vấn đề sau:

i) Ở kết quả của các nhóm thực hiện nhiệm vụ phiếu học tập 1: Dù việc chọn các nguyên hàm F x F x1   ; 2 khác nhau nhƣng kết quả cuối cùng của phép toán

   

1 1

F b F a và F b2 F a2  đều luôn nhƣ nhau.

ii) Kết quả của việc thực hiện hai nhiệm vụ học tập ứng với mỗi hình vẽ là bằng nhau.

- GV định hƣớng giúp HS hình thành giả thiết về việc có thể sử dụng cơng cụ nguyên hàm vào việc tính diện tích của hình thang cong bằng cách tƣơng tự nhƣ nhiệm vụ học tập trong phiếu học tập. Tức là giúp HS hình thành dự đốn: nếu đặt hình thang cong vào hệ trục tọa độ Oxy tƣơng tự hình vẽ ở các phiếu học tập và cạnh “cong” của hình thang cong là một phần của đồ thị hàm số f x  (nằm phía trên trục hồnh) thì việc đi tìm F x  là một nguyên hàm của hàm f x  và tính hiệu S F b F a  sẽ cho kết quả chính là diện tích của hình thang cong đó.

- GV giới thiệu cho HS về thuật ngữ tích phân: “Việc tìm một ngun hàm  

F x của hàm số f x  rồi tính hiệu S F b F a  sẽ cho kết quả là một số và kết quả đó gọi là tích phân của hàm số f x  từ a đến b”.

Bước 3: Trình bày giải pháp

GV hƣớng dẫn HS trình bày định nghĩa khái niệm tích phân:

Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  a b; . Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên đoạn  a b; thì hiệu số F b F a  đƣợc gọi là tích phân của

 

f x từ a đến b (hay tích phân của f x  trên đoạn  a b; ) và kí hiệu là:

  ( ) ( ) ( ) b b a a f x dxF x F b F a  .

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- GV bàn giao nhiệm vụ học tập cho HS củng cố khái niệm tích phân:

Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau: a) 1  0 2 1 I  x dx b) 1 0 x J e dx. Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: Đáp số: a) 1  0 2 1 2. I  x dx b) 1 0 1 x J e dx e .

- GV hƣớng dẫn HS tự tìm ra tính chất khơng phụ thuộc vào biến số của tích phân thơng qua ví dụ:

Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau: a) 1  0 2 1 I  t dt b) 1 0 t J e dt. Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: Đáp số: a) 1  0 2 1 2 I  t dt  . b) 1 0 1 t J e dt  e . GV hƣớng dẫn HS trình bày tính chất:

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là ( )

b a x dx f  hay   b f t dt  , tức là ( )   b b f x dx f t dt   .

- GV hƣớng dẫn HS tự tìm ra ý nghĩa hình học của tích phân bằng cách kết nối khái niệm tích phân với bài tốn mở đầu HS đã thực hiện:

Nếu hàm số f x  liên tục và không âm trên đoạn  a b; thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f x , trục Ox và hai đƣờng thẳng

;

xa xb là b  

a

S  f x dx.