Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.3. Các nguyên tắc chính của lý thuyết RME
1.3.1. Hướng dẫn người học tái phát minh tri thức hướng đến q trình tốn học hóa tốn học hóa
Sơ đồ thể hiện q trình tốn học hóa được De Lange đề xuất trong việc xây dựng khái niệm toán học (Nguyễn Thanh Thủy, 2005).
Dựa vào sơ đồ 1.1, ta thấy rằng bối cảnh xuất hiện vấn đề từ thực tế có vai trị quan trọng cũng như đó là điểm khởi đầu trong việc học tốn. Cũng theo De Lange, quá trình hình thành và phát triển các ý tưởng và khái niệm toán học đều bắt đầu từ thế giới thực và cuối cùng người học vận dụng những gì đã học hoặc được cung cấp các giải pháp hữu ích để quay lại giải quyết vấn đề ở thế giới thực tế. Như vậy, trong giáo dục tốn học, chất liệu chính là lấy từ thế giới thực, tốn học hóa vấn đề được lấy và sau đó đưa vấn đề trở lại thế giới thực. Tất cả q trình này được hiểu là tốn học hóa khái niệm (mathematizing conceptual).
Theo Treffers có hai loại tốn học hóa:
Một là, tốn học hóa theo chiều ngang. Trong q trình này, người học đưa ra các cơng cụ tốn học nhằm giúp giải quyết vấn đề theo ngữ cảnh ban đầu. Ví dụ về tốn học hóa theo chiều ngang: người học xác định hoặc mơ tả được tình huống
Thế giới thực (Real world) Vận dụng tốn học hóa (Mathematizing In Application) Tốn học hóa và sự phản ánh của tốn học hóa
(Mathematizing and Reflections)
Khái qt hóa và hình thức hóa
(Abstaction and Formalization)
chứa ngữ cảnh ban đầu, lập sơ đồ, có nhiều giải pháp khác nhau khi giải quyết vấn đề, hiểu được các mối quan hệ, tính trật tự, liên kết và xâu chuỗi, chuyển vấn đề từ thế giới thực sang vấn đề tốn học,...
Hai là, tốn học hóa theo chiều dọc. Đây là quá trình người học sắp xếp, hệ thống lại trong nội dung toán học. Một số hoạt động thể hiện tốn học hóa theo chiều dọc như sau: xác định cơng thức; điều chỉnh mơ hình giải quyết vấn đề; phối hợp và tích hợp các mơ hình; xây dựng mơ hình tốn học và khái qt hóa cơng thức, quy tắc,...tốn học.
Dựa trên quan điểm của Treffers, Freudenthal cho rằng “q trình tốn học hóa theo chiều ngang xảy ra khi người học bắt đầu chuyển đổi từ thế giới của sự sống sang thế giới của các biểu tượng; cịn q trình tốn học hóa chiều dọc được hiểu như sự di chuyển trong thế giới của các biểu tượng”. Tuy nhiên, sự khác biệt giữa hai q trình này khơng phải lúc nào cũng rõ ràng.
Trong đó: Q trình tốn học hóa theo chiều ngang ( ); Q trình tốn học hóa theo chiều dọc ( )
Sơ đồ 1.2 là mơ tả q trình tái khám phá tri thức tốn học do Gravemeijer đề xuất. Trong thực tế, quá trình này được diễn ra lặp đi lặp lại theo chiều mũi tên. Xuất phát từ vấn đề bối cảnh, học sinh sẽ mô tả lại vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học (ký hiệu hoặc cơng thức tốn học). Cũng có thể từ việc mơ tả vấn đề, học sinh tiếp tục tìm hướng giải quyết và cuối cùng là đưa ra thuật toán. Trong một vài trường
Ngơn ngữ tốn học Thuật tốn Mơ tả vấn đề Giải quyết vấn đề Vấn đề theo ngữ cảnh
Sơ đồ 1.2. Mơ tả lại q trình tốn học hóa theo chiều ngang và chiều dọc dựa theo mơ hình của Gravemeijer, 1994
hợp, học sinh có thể bỏ qua bước mơ tả vấn đề. Bắt đầu từ tình huống chứa bối cảnh thực tế, học sinh lập luận giải quyết vấn đề, sau đó chuyển sang thuật tốn. Ngơn ngữ tốn học và thuật tốn ở đây được hiểu là một dạng hình thức (formal) của kiến thức tốn học.
Sơ đồ 1.3. Q trình tái khám phá tri thức tốn học
Thơng qua sơ đồ 1.3, cho thấy rằng, tốn học hóa theo chiều ngang và dọc đều diễn ra để phát triển các khái niệm cơ bản về tốn học hoặc xây dựng ngơn ngữ toán học như định lý, mệnh đề, cơng thức,...một cách chính thức.
Bảng 1.1. Những cách tiếp cận trong giáo dục toán học theo chiều dọc và chiều ngang (dấu + là có ảnh hưởng, dấu – là khơng có ảnh hưởng)
Loại hình tiếp cận Tốn học hóa theo chiều ngang Tốn học hóa theo chiều dọc Tiếp cận máy móc - - Tiếp cận cấu trúc - +
Tiếp cận kinh nghiệm + -
Tiếp cận thực tế + +
Nguồn: de Lange
Bảng 1.1 mô tả sự khác biệt của bốn cách tiếp cận dựa theo tốn học hóa theo chiều ngang và chiều dọc của Treffers. Điều này cũng được Freudenthal mô tả cụ thể hơn: Ngơn ngữ tốn học học Thuật tốn Mơ tả vấn đề Giải quyết vấn đề Vấn đề theo ngữ cảnh Các dạng hình thức của kiến thức toán học
Cách tiếp cận cơ học được hiểu như là phương pháp truyền thống. Học sinh hoạt động chủ yếu ghi nhớ máy móc cơng thức hoặc quy tắc tốn học. Do đó, khi gặp một tình huống có vấn đề, học sinh thường khó giải quyết. Trong cách tiếp cận này, toán học ngang và dọc đều không được sử dụng.
Cách tiếp cận theo kinh nghiệm là dựa vào sự hiểu biết, vốn sống, tích lũy kiến thức, kỹ năng từ thế giới sống. Theo đó, học sinh phải giải quyết các tình huống liên quan đến việc thực hiện hoạt động toán học theo chiều ngang. Tuy nhiên, người học chưa tiếp cận nhiều những tình huống mở rộng để tự đưa ra cơng thức hoặc mơ hình giải quyết. Tác giả Treffers nhận định đối với phương pháp này, đây là một kiểu tiếp cận chưa được dạy nhiều.
Ngược lại với kiểu tiếp cận kinh nghiệm là kiểu tiếp cận cấu trúc. Q trình tốn học hóa chỉ xảy ra theo chiều dọc. Ở đó, học sinh học khái niệm, xây dựng nguyên tắc,...thông qua các hoạt động xác định cơng thức, khái qt hóa, sử dụng phối hợp với các mơ hình đã học.
Cách tiếp cận thực tế với điểm khởi đầu là tình huống trong thế giới thực hoặc xuất phát từ một vấn đề theo ngữ cảnh. Ban đầu, q trình tốn học hóa theo chiều ngang xảy ra với những hoạt động tổ chức vấn đề, khám phá các quy tắc,...Sau đó, học sinh thực hiện các bước phát triển khái niệm toán học, đưa ra quy tắc,...bằng cách thực hiện q trình tốn học hóa theo chiều dọc. Sự đan xen giữa hai quá trình tốn học hóa theo chiều ngang và dọc đơi khi khơng rõ rệt. (Barbara Peter, 2016)
Nói cách khác, mỗi cách tiếp cận có những ảnh hưởng khác nhau. Nếu như tiếp cận theo kiểu máy móc, sự tương tác giữa giáo viên và học sinh, học sinh và học sinh là khơng có. Đối với tiếp cận theo kiểu cấu trúc, chỉ là sự ảnh hưởng qua lại của giáo viên và học sinh, học sinh và học sinh khơng có ảnh hưởng. Tiếp cận kinh nghiệm cho thấy sự ảnh hưởng qua lại giữa học sinh - học sinh và khi học sinh thực hành trao đổi trong nhóm. Như vậy, sự tương tác ảnh hưởng qua lại của mơ hình tốn học hóa theo chiều ngang, chiều dọc thể hiện rõ nhất qua tiếp cận thực tế.
Theo Barbara Peter, q trình tốn học hóa khơng chỉ thể hiện ở cách tiếp cận về phương pháp dạy học mà còn thể hiện sự tương tác, mối liên hệ giữa giáo viên và học sinh, học sinh và học sinh (Barbara Peters, 1993).
Mơ hình tốn học theo chiều ngang có nghĩa là giáo viên đưa ra một vấn đề nào đó cho người học. Người học sẽ tìm cách giải quyết vấn đề đó bằng việc hợp tác với bạn trong nhóm đơi hoặc nhóm lớn. Giáo viên là người quan sát, nhận xét và đánh giá quá trình, đánh giá kết quả hoạt động của học sinh.
Học sinh
Học sinh Giáo viên
Nhóm học sinh
Sơ đồ 1.4. Mơ hình tương tác theo chiều ngang
Mơ hình tốn theo chiều dọc là mơ hình tương tác giữa giáo viên và học sinh. Giáo viên đóng vai trị hướng dẫn và giải thích. Giáo viên khuyến khích học sinh đặt câu hỏi và gợi ý bằng câu hỏi mở.
Loại tương tác này thường được sử dụng khi dạy bài có nội dung mới. Giáo viên
Học sinh Học sinh
Sơ đồ 1.5. Mơ hình tương tác theo chiều dọc
Vì vậy, trong quá trình học tốn, học sinh cần thực hiện cả hai mơ hình tốn học hóa theo chiều ngang và tốn học hóa theo chiều dọc.
1.3.2. Tính Didactic trong tình huống tốn học của lý thuyết RME
Freudenthal ủng hộ quan điểm sử dụng tình huống có tính didactic trong giáo dục tốn học. Giáo viên, người hướng dẫn có thể bắt đầu từ những hiện tượng thực tế hoặc tìm kiếm các vấn đề có ý nghĩa đối với người học nhằm cải thiện, thúc đẩy quá trình học tập. Các vấn đề ngữ cảnh trong RME khơng nhất thiết phải giải quyết các tình huống thực tế hàng ngày, tình huống có ý nghĩa mà dựa vào tình huống học tập đó, người học có thể giải quyết một cách hợp lý, thơng minh.
Có hai lí do mà Freudenthal ủng hộ tính didactic trong việc xây dựng hoặc tìm kiếm tình huống tốn học. Một là, tình huống được lựa chọn giúp học sinh tái phát minh kiến thức phải có bối cảnh thực tế liên quan đến một khía cạnh tốn học. Hai là, sự phù hợp giữa tình huống có tính didactic với các chủ điểm tốn học sao cho người học có thể hướng đến q trình tốn học hóa.
Theo Gravemeijer, mục tiêu của việc vận dụng didactic trong giảng dạy là tìm ra các tình huống có vấn đề sao cho việc giải quyết vấn đề có thể được khái quát hóa và gợi lên các cách giải khác nhau. Điều này là cũng cơ sở cho mơ hình tốn học hóa theo chiều dọc.
1.3.3. Mơ hình tự phát triển
Trong giáo dục toán học dựa trên thực tế, mục tiêu của quá trình học tập là giải quyết vấn đề. Khi xuất hiện tình huống có vấn đề, người học sẽ mơ tả lại vấn đề theo cách riêng của cá nhân người học dựa vào kinh nghiệm hoặc sử dụng kiến thức toán học đã biết. Các biểu tượng, hình vẽ, sơ đồ,...được cá nhân người học tự nghĩ ra và truyền tải chúng như kiểu tốn học khơng chính thức, khơng phải ngơn ngữ tốn học (kí hiệu, cơng thức,...) đã học. Điều này giúp người học hiểu vấn đề tốt hơn. Nói cách khác, với tình huống ban đầu, người học trải qua quá trình đơn giản hóa và chính thức hóa, tiếp tục đưa ra mơ hình và chiến lược giải quyết vấn đề khơng chính thức, sau đó hình thành và phát triển kiến thức tốn học trừu tượng.
Theo Gravemeijer, thuật ngữ "mơ hình" trong lý thuyết RME dùng để chỉ các mơ hình tình huống và mơ hình tốn học được phát triển bởi chính học sinh. Những mơ hình này là cơ sở để xây dựng kiến thức toán học. Giáo viên cần tạo điều kiện cho sự phát triển các mơ hình và cách thức giải quyết vấn đề riêng ở mỗi cá nhân học sinh.
Sơ đồ 1.6. Mơ hình tự phát triển của lý thuyết RME 1.4. Nguyên tắc giảng dạy và học tập của lý thuyết RME
Dựa trên ý tưởng và quan điểm của chính tác giả Freudenthal, các nhà nghiên cứu tiếp tục phát triển lý thuyết này. Tác giả Treffers đã đề ra 5 nguyên lý giảng dạy và học tập: xây dựng và cụ thể hóa, mức độ và mơ hình, sự phản ánh và những
Tình huống Mơ hình chung Mơ hình chính thức
Kiến thức tốn học chính thức
nhiệm vụ đặc biệt, bối cảnh xã hội và tương tác, cấu trúc và gắn kết kiến thức. Dựa vào đó, Treffers phát triển thành sáu nguyên tắc như sau:
- Nguyên tắc hoạt động (activity principle): Người học là chủ thể chính trong quá trình học tập. Việc chủ động tham gia các hoạt động học tập quyết định tính hiệu quả của quá trình dạy học. Chính vì thế, cách học tốn tốt nhất là thơng qua làm toán.
- Nguyên tắc thực tiễn (reality principle): Thực tiễn ở đây có thể được hiểu theo hai nghĩa. Một là, tính thực tiễn trong việc giáo dục tốn học. Điều này gắn liền với mục tiêu người học có khả năng áp dụng toán vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hằng ngày. Hai là, tình huống tốn học cần xuất phát từ thực tiễn, có ý nghĩa với người học, tạo cho người học cơ hội nhận biết toán học gần gũi và thiết thực, giúp người học có thể tự động hóa lưu lại cấu trúc tốn học vào tâm trí họ. Như vậy, việc dạy tốn theo lý thuyết RME khơng bắt đầu từ những khái niệm, định nghĩa và định lý mà luôn khởi đầu bằng những tình huống địi hỏi người học phải tham gia hoạt động tốn học hóa.
- Ngun tắc cấp độ (level principle): Nguyên tắc này được giới thiệu bởi Gravemeijer, sau đó được phân tích làm rõ hơn bởi Van den Heuvel Panhuize. Nhấn mạnh sự thăng tiến về nhận thức qua nhiều cấp độ khác nhau trong q trình học tốn. Cụ thể là từ ngữ cảnh phi toán học liên quan đến tri thức, qua biểu tượng sơ đồ, tới nội dung toán học thuần túy của tri thức. Các mơ hình là cầu nối quan trọng giữa những kinh nghiệm khơng chính thức, bối cảnh tốn học liên quan và những kiến thức toán thuần túy. Để thực hiện chức năng cầu nối này, các mơ hình phải có sự chuyển biến từ mơ hình một tình huống sang mơ hình cho những dạng tình huống tương tự.
- Nguyên tắc xoắn bện (intertwinement principle): nội dung toán học dạy theo xu hướng RME, sẽ không chú trọng tới ranh giới như tốn có sẵn giữa các phân mơn Đại số, Hình học, Lượng giác, Xác suất thống kê,...mà được tích hợp cao độ. Người học được tạo cơ hội tham gia giải quyết các vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ khác nhau, đan xen với nhau (suy luận, tính tốn, thống kê,...), sử dụng nhiều kiến thức, cơng cụ tốn học hoặc kết hợp những phân môn khác.
- Nguyên tắc tương tác (interactivity principle): học tốn khơng chỉ là hoạt động cá thể mà cịn là hoạt động có tính xã hội. Vì vậy, RME khuyến khích sự tương tác giữa các cá nhân và hoạt động nhóm để tạo cơ hội cho mỗi cá nhân được chia sẻ quan điểm, ý tưởng,...Đối với người học khác, họ được thụ hưởng thêm về thông tin, cách thức cũng như cách xây dựng chiến lược giải quyết vấn đề. Như vậy, mỗi cá nhân sẽ tự phát triển về mặt nhận thức, năng lực thông qua việc học với thầy và học với bạn.
- Nguyên tắc hướng dẫn (guidance principle): Đây là nguyên tắc được chính tác giả Freudenthal đề xuất khi thực hiện quá trình khám phá lại tri thức có hướng dẫn (guides re-invention) trong dạy học tốn. Giáo viên sẽ là người xây dựng kịch bản giàu hoạt động. Và khi tiến hành các hoạt động đó, người học có những bước nhảy ý nghĩa về mặt nhận thức. Để thực hiện được nguyên tắc này, cần ưu tiên những dự án dạy học dài hạn hơn là các bài học đơn lẽ theo kiểu truyền thống.
Như vậy, sáu nguyên tắc vừa nêu có thể chia làm hai nhánh như sau:
- Nguyên tắc giảng dạy bao gồm: nguyên tắc thực, có sử dụng bối cảnh thực tế; nguyên tắc đan xen; nguyên tắc hướng dẫn.
- Nguyên tắc học tập bao gồm: nguyên tắc hoạt động; nguyên tắc cấp độ và nguyên tắc tương tác. (Barbara Peter, 2016)
Từ sáu nguyên tắc nêu trên, có thể sử dụng trong thiết kế bài dạy hình học một cách hợp lý và rõ ràng. Trong suốt q trình tốn học hóa, các ngun tắc này đồng thời diễn ra, ảnh hưởng tác động qua lại, đan xen vào nhau, cùng “tái khám phá tri thức toán học” và khả năng giải quyết vấn đề.
1.5. Quy trình dạy học RME
Ngữ cảnh thực tế được xem là điểm khởi đầu cho việc dạy và học toán. Để thiết kế nội dung học tập dựa trên lý thuyết RME, cần xác định các thành phần của kế hoạch bài dạy và lưu ý về việc kết nối chúng với thực tế. Những thành phần đó bao gồm mục tiêu, nội dung, hoạt động và đánh giá (Laurens et. al, 2017).
a) Về mục tiêu
De Lange mô tả ba mức độ của mục tiêu trong giáo dục toán học dựa vào thực tế: thấp, trung bình và cao. Mức độ thấp được hiểu là các kỹ năng, cơng thức, các
mơ hình giải pháp đơn giản. Cịn mức độ trung bình và cao là những mục tiêu của