ĐẶT VẤN ĐỀ Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường

I. LỜI MỞ ĐẦU

1. ĐẶT VẤN ĐỀ Khi giải quyết những vấn đề kinh tế, người ta thường

những vấn đề kinh tế, người ta thường gặp các bài toán xác định trị số tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ...). Trong toán học, đó chính là bài tốn tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm f(X) (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong khơng gian. Bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, trong bài viết này tác giả chỉ giới thiệu về một số ứng dụng của cực trị khơng có điều kiện (cực trị tự do) của hàm hai biến số trong các bài toán kinh tế.

2. NỘI DUNG

2.1. Cực trị địa phƣơng của hàm hai biến biến

2.1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền 2

DR , M0(x0, y0)

 D.

+ Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương

tại M0 nếu tồn tại tập

 0 

SM(x, y)D d(M , M)   ,0sao cho: sao cho:

f(x, y)  f(x0, y0), (x, y) SD.

+ Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương

tại M0 nếu tồn tại tập

 0 

SM(x, y)D d(M , M)   ,0 sao cho: cho:

f(x0, y0)  f(x, y), (x, y) SD. + Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

2.1.2. Điều kiện cần của cực trị địa phương

Định lý. Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn

tại thì '' x00y00 f (x , y )0;f (x , y )0. Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn '' x00y00 f (x , y )0;f (x , y )0được gọi là điểm dừng.

2.1.3. Điều kiện đủ của cực trị địa phương

Định lý.Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0). Xét ma trận "" xxxy "" yxyy ff H ff      gọi là ma trận Heissen. Đặt " 1xx H f ; "" xxxy 2"" yxyy ff H ff 

 Số 8 - Tháng 6/2014 74

+ Nếu H1(M0) > 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu.

+ Nếu H1(M0) < 0 và H2(M0) > 0 thì điểm M0 là điểm cực đại.

+ Nếu H2(M0) < 0 thì điểm M0 là khơng phải là điểm cực trị.

+ Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0.

2.2. Cực trị toàn cục của hàm hai biến biến

2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền 2

DR , M0(x0, y0)

 D.

+ Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y)  f(x0, y0), (x, y)D. + Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0)  f(x, y), (x, y)D. 2.2.1. Định lý. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0).

+ Nếu H1 > 0 và H2 > 0, (x, y)  D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D.

+ Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y)  D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D.

2.3. Một số ứng dụng trong các bài tốn kinh tế tốn kinh tế

Ví dụ 1. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm. Gọi Qi là số lượng sản phẩm của mặt hàng thứ i (i1, 2); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i (i1, 2).

Hàm lợi nhuận của công ty là:

1122R C P Q P Q C