1.4.1 Nguyên lý cực trị Gauss
Năm 1829 nhà toán học người Đức K.F. Gauss đã đưa ra nguyên lí sau đối với cơ hệ chất điểm [4], [64]:
“Chuyển động thực của hệ chất điểm có liên kết tùy ý chịu tác động bất kì ở
mỗi thời điểm xảy ra một cách phù hợp nhất có thể với chuyển động của hệ đó khi
nếu như số đo lượng cưỡng bức lấy bằng tổng các tích khối lượng chất điểm với
bình phương độ lệch vị trí chất điểm so với vị trí khi chúng hồn tồn tự do”.
Gọi mi là khối lượng chất điểm, Ai là vị trí của nó, Bi là vị trí sau thời đoạn vơ cùng bé do tác động lực ngoài và do vận tốc ở đầu thời đoạn gây ra, Ci là vị trí có thể (bị ràng buộc bởi liên kết) thì lượng cưỡng bức được viết như sau:
( )2
i i i
i
Z=∑m B C →min (1.24)
Dấu tổng trong (1.24) lấy theo số chất điểm.
Nguyên lí cực trị Gauss có dạng của phương pháp bình phương tối thiểu là phương pháp cũng do Gauss đưa ra và được dùng rộng rãi trong toán học hiện đại, trong giải tích cũng như trong lời giải số.
1.4.2 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss
Trong bài viết của mình Gauss nêu nhận xét rằng ngun lí vận tốc ảo biến vấn
đề tĩnh học thành vấn đề tốn học thuần t, cịn ngun lí D’Alembert đưa bài toán động lực học về bài toán tĩnh học và mọi nguyên lí của cơ học hoặc nhiều hoặc ít đều có thể trực tiếp rút ra từ hai nguyên lí trên. Như vậy, dựa trên nguyên lí chuyển
vị ảo cũng sẽ nhận được biểu thức (1.24) của nguyên lí Gauss.
Xét hệ chất điểm có liên kết tuỳ ý ở một thời điểm bất kì nào đó có nghĩa là
phải đưa lực qn tính fi của hệ tại thời điểm đó tác dụng lên hệ. Đối với hệ hoàn
toàn tự do lực qn tính f0i của nó bằng với ngoại lực (chỉ số ‘0’ ở chân kí tự chỉ
rằng kí tự đó thuộc hệ so sánh, trường hợp này là hệ hồn tồn tự do có cùng khối lượng và cùng chịu tác dụng lực ngoài giống như hệ có liên kết). Như vậy, các lực tác dụng lên hệ có liên kết gồm các lực fi= miɺɺri và các lực f0i = mi ɺɺr0i (thay cho ngoại lực) (ri, rɺi và ɺɺri lần lượt là vectơ toạ độ, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của điểm i). Theo nguyên lí chuyển vị ảo đối với liên kết giữ (liên kết dưới dạng đẳng
thức) và không giữ (liên kết dưới dạng bất đẳng thức) thì từ điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng (tổng các lực tác dụng lên hệ phải bằng không) là:
( i 0i) i
i
f −f δ ≤r 0
∑ (1.25)
Biểu thức (1.25) được Fourier (năm 1798), Gauss và Ostrogradsky (năm 1838)
Trong biểu thức (1.25) cần xem các chuyển vị ri độc lập đối với lực tác dụng.
Cho nên từ (1.25) có thể viết:
( i 0i) i
i
Z=∑ f −f r →min (1.26)
Trong (1.26), ri là các biến độc lập cần tìm để cho Z cực tiểu. Vì chuyển vị r0i
của hệ hồn tồn tự do đã biết nên (1.26) tương đương với các biểu thức dưới đây:
( i 0i)( i 0i) i Z=∑ f −f r −r →min (1.27) hoặc: i ( ) i 0i i 0i i i f Z m r r r min m = − − → ∑ ɺɺ (1.28)
Dễ nhận thấy rằng (1.28) là tích của khối lượng mivới bình phương độ lệch vị trí chất điểm và do đó Z xác định theo (1.26) là lượng cưỡng bức của nguyên lý
Gauss. Biểu thức (1.26) nó cho phép so sánh hệ có liên kết với hệ hoàn toàn tự do.
Đại lượng biến phân trong (1.26) là chuyển vị. Ngồi ra có thể xét đại lượng biến
phân là vận tốc hoặc gia tốc. Đương nhiên, các đại lượng chuyển vị, vận tốc, gia tốc phải thoả mãn các điều kiện liên kết của hệ.
Tác giả Cornelius Lanczos [39] trang 106 cho rằng nguyên lý cực trị Gauss là một dạng khác của nguyên lý D’Alembert và chỉ ra rằng nhược điểm của nguyên lý cực trị Gauss so với các nguyên lý khác ở chỗ là phải dùng đến đạo hàm bậc 2 (gia tốc) là đại lượng biến phân, tính tốn sẽ phức tạp hơn trong khi các nguyên lý khác chỉ dùng đến đạo hàm bậc nhất là đại lượng biến phân.
Với những nhận xét trên, nguyên lý cực trị Gauss hầu như ít được quan tâm
trong cơ học chất điểm và không sử dụng trong cơ học môi trường liên tục đặc biệt là đối với bài toán tĩnh (bài toán trong luận án của NCS) vì khi cho rằng đại lượng
biến phân của nguyên lý cực trị Gauss là gia tốc thì khơng thể dùng nguyên lý này
để nghiên cứu điều kiện cân bằng và chuyển động của bài toán tĩnh của môi trường
liên tục.
GS.TSKH. Hà Huy Cương là người đề xuất phương pháp sử dụng nguyên lý
Gauss để giải các bài toán cơ học vật rắn biến dạng và được gọi là “Phương pháp
Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss có mục đích xây dựng các phương trình
cân bằng và các phương trình chuyển động của cơ hệ có liên kết tổng quát là liên kết không giữ, liên kết giữ là một trường hợp riêng. Phương pháp không những cho phép so sánh chuyển động của hệ cần tính với hệ hồn tồn tự do (giải phóng liên kết) mà với hệ bất kỳ khi hai hệ có cùng lực tác dụng.
Áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, nhiều tác giả đã xây dựng và
giải các bài toán trong cơ học vật rắn biến dạng.
Trong [6], [16], [17] các tác giả Đoàn Văn Duẩn, Vũ Thanh Thủy đã xây dựng và giải bài toán dầm chịu uốn có xét biến dạng trượt ngang. Khi dùng hệ so sánh hoàn toàn tự do, hệ so sánh khơng có nội lực và lực liên kết nên đưa lực ngoài vào trong phiếm hàm, biểu thức của phiếm hàm lượng cưỡng bức của bài toán được
viết:
l l l
0 0 0
Z=∫M dxχ +∫Q dxγ −∫qydx→min (1.29)
trong đó: M, Q là mơ men, lực cắt; q là tải trọng phân bố đều; χ ,γ, y là biến dạng uốn, biến dạng trượt, độ võng của dầm và là các đại lượng biến phân.
Trong [20], Phạm Văn Trung đã xây dựng và giải bài toán dây phi tuyến. Biểu thức của phiếm hàm được viết ở (1.18).
Ngồi ra, cịn các cơng trình nghiên cứu của các tác giả trong các bài toán tấm có liên kết trên biên, tấm trên nền đàn hồi, cọc trong nền đất.....