Xây dựng thuật toán và chương trình tính cầu dây văng

3.5 Phương pháp số (rời rạc bằng PTHH) tính tốn cầu dây văng

3.5.5 Xây dựng thuật toán và chương trình tính cầu dây văng

Trên cơ sở của phương pháp rời rạc kết cấu bằng PTHH đã trình bày ở mục 3.5, ta lập thuật tốn và chương trình tính cầu dây văng.

3.5.5.1 Thuật tốn

Thuật tốn có các khối như sau: - Khai báo sơ đồ kết cấu cầu,

- Khai báo đặc trưng vật liệu, đặc trưng hình học, - Khai báo tải trọng,

- Lựa chọn số điểm chia dây văng m, số phần tử dầm, phần tử tháp

- Tính tốn, kiểm tra cân bằng và xuất kết quả

Hình 3.14 Thuật tốn tính cầu dây văng

3.5.5.2 Chương trình

Chương trình tính cầu dây văng có tên là CS Bridge (Phụ lục 3) dựa trên ngơn ngữ lập trình Matlab gồm 3 chương trình con là CS1, CS2 và CS3, trong đó:

- Chương trình CS1 là chương trình chung, chứa các điều kiện ràng buộc

tuyến tính của phần dầm và tháp (3.73), xác định các ẩn của bài toán, kiểm tra điều kiện cân bằng và xuất kết quả.

- Chương trình CS2 chứa các điều kiện ràng buộc phi tuyến của phần dây

(3.74) và (3.75).

- Chương trình CS3 chứa hàm mục tiêu (3.76). Trong chương trình CS1 sử dụng hàm fmincon để giải bài toán quy hoạch phi tuyến. Hàm fmincon tìm tập giá trị của véc tơ biến r để phiếm hàm f(r) đạt cực tiểu theo các điều kiện:

( ) eq( ) eq eq b b c r 0 1 c r 0 2 A.r b 3 A .r b 4 l r u 5  ≤ =  ≤ =   ≤ ≤  (3.77)

Cú pháp của hàm fmincon như sau:

( 0 eq eq b b )

r = fmincon fun, r , A, b, A , b ,l , u , nonlcon

trong đó: r, b, b , l , ueq b b là các véc tơ, A và Aeq là các ma trận, c r và ( ) ceq( )r là các hàm và trả về các véc tơ, f r là hàm trả về một giá trị vô hướng. Các hàm ( )

f(r), c(r) và ceq( )r có thể là các hàm phi tuyến, fun là hàm mục tiêu, nonlcon là điều kiện phi tuyến.

Chi tiết về các dạng bài tốn và thuật giải của hàm fmincon có thể tham khảo

trong các tài liệu hướng dẫn của phần mềm Matlab, ở đây chỉ trình bày thuật tốn

triển khai phiếm hàm thành các hàm và các ràng buộc phù hợp để giải.

Khi lấy biến phân phiếm hàm (3.72) và cho bằng không (δ =Z 0) ta sẽ nhận

được hệ phương trình phi tuyến có nvar phương trình chứa nvar ẩn số. Ma trận hệ số

eq

A là ma trận vuông cấp nvar gồm có 7nd −(nd − −1) ng +6nt hàng và cột có số hạng khác không tương ứng với các ẩn của dầm, tháp và thành phần hình chiếu lên trục thanh của lực căng trong dây tại điểm liên kết với dầm và tháp. Theo Vũ Thanh Thủy (2009) [17], với phần tử thanh chịu uốn, ma trận hệ số của mỗi phần tử có kích thước 7x7 và được xác định theo công thức (3.71).

[ ] [ ] { } ( ) 1 e i 1 i i Q Z k x A M Q u dx; i 1 7 u − u GF u 2  ∂ χ ∂  ∂ ∆ = =  +  = ÷ ∂ ∫ ∂ ∂ 

Véc tơ beq xác định bằng cách ghép các véc tơ be của từng phần tử thanh theo các vị trí tương ứng với thành phần ẩn số như phương pháp cộng độ cứng trực tiếp của phần tử hữu hạn, véc tơ be của mỗi phần tử thanh được tính từ thành phần biến phân tương ứng với lượng cưỡng bức viết cho các lực tập trung tác dụng lên hai đầu nút của phần tử: ( ) 1i ( ) e 1i 1i 2i 2i 2i ji ji P Z b P w P w ; j 1 2 P w w   ∂ ∂ = = + =  = ÷ ∂ ∂   (3.78)

Ghép các ma trận Ae của phần tử vào ma trận Aeq của hệ và chú ý rằng tại các

điểm nút có liên kết của dây vào dầm và tháp thì trong thành phần của lực tập trung đặt tại đầu phần tử thanh có cả ẩn số là thành phần lực căng trong phần tử dây chiếu

lên phương vng góc với trục thanh nên số hạng tương ứng trong ma trận Aeq sẽ

tăng thêm 1 đơn vị.

Hàm mục tiêu fun được viết trong chương trình con CS3 chứa biểu thức (3.76)

Điều kiện ràng buộc phi tuyến nonlcon được viết trong chương trình CS2.

Véc tơ nghiệm xuất phát ban đầu r0 có thể chọn tùy ý; véc tơ các cận dưới lb

và cận trên ubcủa nghiệm và các bất đẳng thức 3 , 5 trong các điều kiện ràng

buộc (3.77) không dùng đến, ta dùng ký hiệu [] được quy định trong ngơn ngữ lập

trình Matlab; từ đó nghiệm của hệ phương trình δ =Z 0 được giải theo hàm fmincon như sau:

( 0 eq eq )

r = fmincon @CS3, r ,[],[], A , b ,[],[],@CS2 (3.79)

Nghiệm của bài toán là duy nhất. Sau khi xác định được các ẩn số sẽ xác định

được các thành phần nội lực, chuyển vị (mô men uốn và lực cắt trong dầm, tháp,

chuyển vị và lực căng dây); thành phần lực dọc trong dầm và tháp khơng có trong

các phương trình của bài tốn nhưng hồn tồn có thể xác định theo các điều kiện

cân bằng nút theo các phương pháp của cơ học kết cấu.

3.5.6 Nhận xét

- So với phương pháp dùng lời giải giải tích, lời giải theo bằng cách rời rạc kết

cấu kiểu PTHH cho phép giải hệ phương trình quy hoạch phi tuyến với số ẩn lớn,

- Khác với các phương pháp PTHH ta thường gặp là dùng nguyên lý năng lượng, ở đây tác giả dùng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng hệ

phương trình của bài tốn và giải theo bài toán quy hoạch phi tuyến.

- Ưu điểm của phương pháp giải hàm tối ưu dùng fmincon là có thể sử dụng

các điều kiện phi tuyến, tuyến tính ở dạng đẳng thức và bất đẳng thức. Trong bài

toán, tác giả đã sử dụng các điều kiện phi tuyến của dây dưới dạng đẳng thức. Trong các trường hợp mở rộng khác, nếu cần khống chế các đại lượng của bài toán như

nội lực, chuyển vị thì có thể sử dụng các điều kiện bất đẳng thức phi tuyến 1 , bất

đẳng thức tuyến tính 3 , bất đẳng thức giới hạn nghiệm 5 trong (3.77) để thỏa

mãn các yêu cầu thực tế thiết kế đặt ra (như khống chế lực căng dây, độ võng dầm) cũng như để bài tốn có nghiệm nhanh hội tụ.

3.6 Kết luận chương

- Trên cơ sở lý thuyết dây đã xây dựng ở chương 2 và lý thuyết dầm chịu uốn

có xét biến dạng trượt ngang, Tác giả đã áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị

Gauss để xây dựng và giải bài tốn phẳng phân tích tĩnh học hệ kết cấu liên hợp của cầu dây văng chịu các tác động khác nhau theo hai phương pháp là phương pháp

giải tích và phương pháp số rời rạc bằng PTHH. Phương pháp tính cho phép xác

định đồng thời trạng thái nội lực-chuyển vị cũng như ứng suất-biến dạng của kết

cấu mà không cần phải đưa vào các giả thiết về mô đun đàn hồi tương đương, diện

tích dây tương đương, về góc liên kết của dây với dầm và tháp hay giả thiết dạng đường độ võng của dây như trong các phương pháp truyền thống.

- Phương pháp giải tích cho ta hệ phương trình đại số phi tuyến tường minh

với ẩn là các thừa số của đa thức mô tả đường độ võng và lực cắt trong dầm, tháp và chuyển vị của dây. Kết quả tính tốn các ví dụ số đều thỏa mãn các điều kiện cân bằng, điều kiện liên tục và phù hợp với các quy luật cơ học cho thấy tính đúng đắn của phương pháp.

- Áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss đã xây dựng được các

phương trình và thuật tốn cho lời giải số (rời rạc hóa bằng PTHH) để phân tích tĩnh học bài tốn phẳng của cầu dây văng chịu các tác động khác nhau. Trên cơ sở thuật toán nghiên cứu đã xây dựng chương trình CS Bridge trên ngơn ngữ lập trình

Matlab. Chương trình khơng những cho phép phân tích nội lực-chuyển vị trong kết cấu cầu dây văng mà cịn cho phép tính tốn điều chỉnh lực căng trong dây để điều chỉnh nội lực và chuyển vị trong cầu dây văng.

Chương 4 THỬ NGHIỆM SỐ

Chương này áp dụng chương trình đã xây dựng trong chương 3 để nghiên cứu tính tốn cho một số sơ đồ cầu dây văng trong các trường hợp cụ thể, trong đó có sự so sánh với phương pháp giải tích và so sánh với phần mềm Midas Civil để kiểm tra tính đúng đắn của chương trình.