6. Phƣơng pháp nghiên cứu
1.1.6. Khái niệm tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong toán học
- Nếu đại lƣợng liên hệ với đại lƣợng theo công thức
(với là hằng số khác 0) thì ta nói tỉ lệ thuận với theo hằng số tỉ lệ . - Khi đó, với mỗi giá trị 1, 2 , 3 ,… khác 0 của ta có một giá trị tƣơng ứng của .
Do đó:
Nếu đại lƣợng y liên hệ với đại lƣợng x theo công thức hay
= ( là một hằng số khác 0) thì ta nói tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ
- Khi đó, với mỗi giá trị khác 0 của ta có một giá trị tƣơng ứng:
của .
Do đó:
+ Tỉ lệ thuận: chu vi và cạnh của hình vuông; quãng đƣờng đi đƣợc và thời gian của một số vật chuyển động đều; số lƣợng hàng hóa mua đƣợc với số tiền bỏ ra;…
+ Tỉ lệ nghịch: Thời gian và vận tốc của một số vật chuyển động đều; số ngƣời tham gia làm một công việc và thời gian hoàn tất công việc đó;…
Xuất phát từ những trƣờng hợp thực tế đó, chƣơng trình toán ở Tiểu học đã xây dựng các bài tập cơ bản về hai đại lƣợng tỉ lệ với mục đích cuối cùng nhằm giúp học sinh có đƣợc các kỹ năng tính toán cần thiết trong đời sống hàng ngày.
- Bài toán cơ bản về đại lượng tỉ lệ thuận
+ Trong sản xuất: số sản phẩm của một đội công nhân sản xuất ra trong một ngày bằng số sản phẩm của một công nhân sản xuất trong một ngày nhân với số công nhân của đội. Nếu tất cả công nhân có năng suất lao động nhƣ nhau thì số sản phẩm của một công nhân sản xuất trong một ngày là số không đổi. Vậy số sản phẩm đội công nhân sản xuất trong một ngày tỉ lệ thuận với số công nhân của đội.
+ Trong cuộc sống: Khi mua một loại hàng hóa nào đó thì số tiền phải trả bằng giá tiền của một đơn vị hàng hóa đó nhân với số lƣợng hàng mua. Giá tiền của một đơn vị hàng hóa là một số không đổi nên số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số lƣợng hàng mua.
+ Trong chƣơng trình toán Tiểu học: Xuất hiện nhiều cặp đaị lƣợng tỉ lệ thuận nhƣ:
Chu vi và độ dài bán kính của hình tròn là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận. Chu vi và cạnh của hình vuông là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận.
Nếu chiều rộng (hoặc chiều dài) của hình chữ nhật không đổi thì diện tích và chiều dài (hoặc chiều rộng) là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận.
Nếu đáy (hoặc chiều cao) của tam giác không đổi thì diện tích và chiều cao (hoặc đáy) của tam giác là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận.
Nếu chiều cao của hình thang không đổi thì diện tích và tổng độ dài của hai đáy là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận.
Trong chuyển động đều, nếu vận tốc (hoặc thời gian) không đổi thì quãng đƣờng và thời gian (hoặc vận tốc) là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận.
- Bài toán cơ bản về đại lượng tỉ lệ nghịch
Trong sản xuất: Thời gian để một đội công nhân hoàn thành một công việc bằng thời gian mà một công nhân cần hoàn thành công việc đó chia cho số công nhân của đội. Nếu năng suất lao động của tất cả công nhân là nhƣ nhau thì thời gian để một công nhân hoàn thành công việc là số không đổi. Vậy thời gian để đội công nhân hoàn thành một công việc tỉ lệ nghịch với số công nhân của đội.
Nói cách khác, số ngƣời tăng thì thời gian làm việc sẽ giảm và ngƣợc lại.
Trong chƣơng trình toán Tiểu học: Xuất hiện nhiều cặp đại lƣợng tỉ lệ nghịch, nhƣ:
+ Nếu diện tích của hình thang không đổi thì chiều cao và tổng độ dài của hai đáy là hai đại lƣợng tỉ lệ nghịch.
- Trong chuyển động đều, nếu quãng đƣờng không đổi thì vận tốc và thời gian là hai đại lƣợng tỉ lệ nghịch,…
- Tính chất của hai đại lƣợng tỉ lệ thuận đƣợc giới thiệu ở Tiểu học là: Nếu giá trị của đại lƣợng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lƣợng kia cũng tăng (hoặc giảm) đi bấy nhiêu lần.
1.1.7. Phƣơng pháp rút về đơn vị và phƣơng pháp tỉ số trong giải toán có lời văn ở tiểu học
1.1.7.1. Khái niệm
Phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS là hai phƣơng pháp giải toán , dùng để giải các bài toán về đại lƣợng tỉ lệ thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch.
Trong một bài toán đơn giản về đại lƣợng tỉ lệ (thuận hay nghịch)
ngƣời ta thƣờng cho biết 2 giá trị của đại lƣợng thứ nhất và một giá trị của đại lƣợng thứ hai, bài toán đòi hỏi phải tìm một giá trị chƣa biết của đại lƣợng thứ hai. Để tìm giá trị đó, ở tiểu học có thể sử dụng một trong những phƣơng pháp thƣờng dùng nhƣ phƣơng pháp rút về đơn vị, phƣơng pháp tỉ số.
Phƣơng pháp rút về đơn vị và phƣơng pháp tỉ số là hai phƣơng pháp nhƣng có các bƣớc giải giống nhau, giải cùng một loại toán nên đƣợc gộp lại.
Các bƣớc giải bài toán bằng phƣơng pháp rút về đơn vị và phƣơng pháp tỉ số
a) Phƣơng pháp rút về đơn vị:
Bƣớc 1: Rút về đơn vị. Trong bƣớc này ta tính toán một đơn vị của đại lƣợng này tƣơng ứng với bao nhiêu đơn vị của đại lƣợng kia.
Bƣớc 2: Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ 2.
Ví dụ 1.1. Có 40m vải may đƣợc 8 bộ quần áo nhƣ nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải loại đó để may đƣợc 6 bộ quần áo nhƣ thế?
Bài toán trên cho hai giá trị của đại lƣợng thứ nhất (8 bộ và 6 bộ) và một giá trị của đại lƣợng thứ hai (40m). Ta phải đi tìm một giá trị chƣa biết của đại lƣợng thứ hai. Bài toán phải giải theo hai bƣớc sau:
Bƣớc 1: Rút về đơn vị (xem một bộ quần áo may hết bao nhiêu mét vải)
Bƣớc 2: Tìm xem 6 bộ quần áo may hết bao nhiêu vải?
Lời giải:
Số mét vải để may một bộ quần áo là: 40 : 8 = 5 (m)
Số mét vải để may 6 bộ quần áo là: 5 6 = 30 (m)
Đáp số: 30 mét vải b) Phƣơng pháp tỉ số
Bƣớc 1: Tìm tỉ số. Trong bƣớc này ta xác định trong hai giá trị đã biết của đại lƣợng thứ nhất, giá trị này gấp hoặc kém mấy lần giá trị kia.
Bƣớc 2: Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ 2.
Ví dụ 1.2. Dùng 60m vải thì may đƣợc 9 bộ quần áo nhƣ nhau. Hỏi dùng 20m vải cùng loại thì may đƣợc bao nhiêu bộ quần áo nhƣ thế?
Với bài toán trên không thể dùng phƣơng pháp rút về đơn vị để giải đƣợc vì khi tìm số mét vải để may 1 bộ quần áo thì 60 không chia hết cho 9.
Bài này ta phải giải bằng phƣơng pháp tỉ số.
Bƣớc 1: Tìm tỉ số (trong 2 giá trị của 1 đại lƣợng thì giá trị kia gấp giá trị này bao nhiêu lần)
Bƣớc 2: Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ 2.
Lời giải:
60m vải gấp 20m vải số lần là: 60 : 20 = 3 (lần)
Dùng 20m vải may đƣợc số bộ quần áo là: 9 : 3 = 3 (bộ)
Đáp số: 3 bộ quần áo
1.1.7.2. Vị trí, vai trò của phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số
- Trong chƣơng trình Toán tiểu học, các bài toán về đại lƣợng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch đƣợc bƣớc đầu đƣa ra làm quen với học sinh lớp 3 và nâng cao dần trong chƣơng trình lớp 4, 5. Đến lớp 5 đã có những bài về tỉ lệ kép. Đây là dạng toán tƣơng đối khó trong chƣơng trình toán Tiểu học. Để giải tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh phải phân tích chính xác và tìm đƣợc phƣơng pháp giải phù hợp.
- Phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS là hai phƣơng pháp điển hình để giải các bài toán về đại lƣợng tỉ lệ thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch. Trong đó các bài toán về đại lƣợng tỉ lệ nghịch đều có thể giải bằng phƣơng pháp RVĐV.
- Trong bài toán về đại lƣợng tỉ lệ thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch thƣờng xuất hiện hai đại lƣợng biến thiên theo tƣơng quan tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch. Trong hai đại lƣợng biến thiên đó, ngƣời ta cho biết hai giá trị của một đại lƣợng rồi yêu cầu tìm giá trị còn lại của đại lƣợng chƣa biết.
1.1.7.3. Ý nghĩa, tác dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số
- HS nắm chắc đƣợc kiến thức và phƣơng pháp giải toán, nắm đƣợc quy trình giải toán ngay trên lớp và nhớ đƣợc lâu.
- HS có đƣợc cách nhìn tổng quát khi phân tích dữ kiện của bài toán về tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và tỉ lệ kép để lựa chọn phƣơng pháp RVĐV và
phƣơng pháp TS hoặc sử dụng cả hai phƣơng pháp để giải một bài toán. - Phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS giúp học sinh có hứng thú tìm nhiều cách giải khác nhau.
- Đặc biệt trong phân tích các bài toán về tỉ lệ kép, để tìm ra đƣợc mối quan hệ giữa các đại lƣợng, từ đó có thể đƣa về những bài toán đơn dễ hiểu và áp dụng phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS sẽ rèn luyện cho HS thao tác phân tích - tổng hợp, so sánh, suy luận, khái quát, giúp HS rèn kỹ năng giải toán tốt hơn.
1.1.7.4. Một số chú ý khi dạy HS giải toán bằng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số
- Một số HS chƣa biết cách tóm tắt bài toán một cách khoa học mà còn tóm tắt bài toán theo kiểu liệt kê các dữ kiện của bài vì thế không thấy đƣợc ý nghĩa của số liệu đã cho để tìm ra phƣơng pháp giải phù hợp. Do đó giáo viên nên hƣớng dẫn HS khi tóm tắt phải nhóm các giá trị cùng đơn vị về cùng nhóm.
- HS không xác định đƣợc mối quan hệ giữa các đại lƣợng trong bài biến thiên theo tƣơng quan tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch. Giáo viên cần gợi ý cho HS gắn tình huống của bài toán trong thực tế để xác định chính xác mối quan hệ đó.
- Trong giải toán, HS hay bị nhầm lẫn giữa bƣớc rút về đơn vị và bƣớc tìm tỉ số. Giáo viên cần giảng giải để HS hiểu: trong bƣớc rút về đơn vị nghĩa là ta đi tìm giá trị của một đại lƣợng này tƣơng ứng với bao nhiêu giá trị của đại lƣợng kia (hai đại lƣợng khác nhau về đơn vị đo). Còn bƣớc tìm tỉ số, ta tìm tỉ số giữa hai giá trị của một đại lƣợng cùng đơn vị gấp hoặc kèm nhau bao nhiêu lần.
- HS cũng nhầm lẫn giữa phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS để giải một bài toán cụ thể. Trƣờng hợp này khi giải từng bài toán giáo viên nên giảng kĩ cho HS hiểu tại sao phải chọn phƣơng pháp RVĐV hay phƣơng pháp TS, từ đó đƣa ra cách khái quát: Khi hai giá trị của cùng một đại lƣợng chia hết cho nhau thì ta nên lựa chọn phƣơng pháp TS để giải bài toán.
- Mặt khác, do HS không nắm chắc cách giải của từng dạng toán và các bƣớc của từng phƣơng pháp nên mắc sai lầm, lúng túng khi giải. Vì vậy khi dạy HS giáo viên phải hƣớng dẫn cụ thể, tỉ mỉ giải từng dạng toán và từng phƣơng pháp giải để HS hiểu và nắm chắc cách giải.
- Ngoài ra giáo viên nên hƣớng dẫn cho HS biết áp dụng phƣơng pháp giải toán vào việc giải các bài tập một cách linh hoạt sáng tạo, rèn cho HS thao tác tƣ duy và kỹ năng giải toán thành thạo để đạt hiệu quả cao trong học toán nói chung.