6. Phƣơng pháp nghiên cứu
2.3.3. Hƣớng dẫn học sinh phân dạng các bài toán giải bằng phƣơng pháp rút
pháp rút về đơn vị và phƣơng pháp tỉ số
2.3.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp
Từ khảo sát thực tiễn, chúng tôi nhận thấy rằng: tổ chức hƣớng dẫn cho học sinh phân dạng các bài toán giải bằng phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS thành các dạng toán nhỏ là một việc làm quan trọng góp phần rèn luyện và phát triển cho học sinh kỹ năng giải toán có lời văn. Hƣớng dẫn học sinh phân dạng thành các dạng toán nhỏ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc xác định cách giải, trình bày lời giải và tránh đƣợc sự nhầm lẫn giữa các đại lƣợng của bài toán.
2.3.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp
Tổ chức hƣớng dẫn cho học sinh phân dạng bài toán giải bằng phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS thành các dạng toán nhỏ là biện pháp tích cực góp phần không nhỏ trong việc hình thành cho học sinh các kỹ năng giải toán nhƣ: kỹ năng nhận dạng để và đƣa các bài toán có lời văn về các dạng toán điển hình hay không điển hình mà đã biết cách giải; kỹ năng phân tích
tổng hợp trong quá trình tìm, xây dựng kế hoạch giải và thực hiện kế hoạch giải toán theo mức độ khó tăng dần,… Thực hiện tốt công việc phân dạng các bài toán bằng phƣơng pháp RVĐV và phƣơng pháp TS thành những dạng nhỏ sẽ giúp cho học sinh xác định đƣợc các mức độ bài toán phù hợp với khả năng của mình, những mức độ bài toán học sinh cần phải cố gắng để tìm ra hƣớng giải quyết. Các dạng toán cần đƣợc trình bày từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp sao cho phù hợp với trình độ của từng đối tƣợng, mức độ khó nâng dần sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh.
2.3.3.3. Thực hiện biện pháp
Dạng 1. Giải các bài toán về tỉ lệ thuận
Để nắm chắc kỹ năng giải toán và giải tốt các dạng toán này, học sinh phải nắm chắc bản chất mối quan hệ giữa các đại lƣợng đã cho trong bài toán, đó là quan hệ theo tƣơng quan tỉ lệ thuận: Nghĩa là khi giá trị của đại lƣợng này tăng lên (hoặc giảm xuống) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lƣợng kia cũng tăng lên (hoặc giảm xuống) bấy nhiêu lần.
Ví dụ 2.3. Một ôtô cứ đi 200km thì tiêu thụ hết 10 lít xăng. Biết rằng ô tô đã đi đƣợc 150km. Hỏi ô tô đã tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng?
Phân tích:
- Đối với bài toán này, học sinh phải nắm đƣợc mối quan hệ giữa quãng đƣờng ôtô đi đƣợc và số lít xăng tiêu thụ là hai đại lƣợng tỉ lệ thuận: khi quãng đƣờng tăng lên (hoặc giảm xuống) thì số lít xăng tiêu thụ cũng tăng lên (hoặc giảm xuống).
- Khi phân tích và tóm tắt bài toán, một số học sinh chƣa biết tóm tắt nhƣ thế nào cho khoa học mà chỉ tóm tắt theo kiểu liệt kê các dữ kiện của bài toán, chƣa có kĩ năng khái quát và sắp xếp các dữ kiện nên tóm tắt bài toán theo kiểu:
10 lít xăng đi đƣợc: 200 km. Đi 150 km hết: ... lít xăng?
Với cách tóm tắt này, sẽ khó khăn cho học sinh trong việc tìm ra số liệu về quãng đƣờng giảm xuống nên số xăng tiêu thụ chắc chắn ít hơn 10 lít.
- Khi tiến hành giải bài toán trong bƣớc rút về đơn vị, học sinh sẽ lúng túng không biết nên tìm: 1 lít xăng đi đƣợc bao nhiêu km (nghĩa là lấy 200: 10) hay tìm: đi 1 km đƣờng tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng (lấy 10 : 200) nên sẽ khó khăn khi định hƣớng cách giải.
- Từ sự phân tích trên, giáo viên nên gợi ý để học sinh tóm tắt bài toán bằng cách: nhóm các đại lƣợng cùng đơn vị về một bên nhƣ sau:
Đi 200 km hết: 10 lít xăng. Đi 150 km hết: ... lít xăng?
Nhìn vào tóm tắt này, học sinh sẽ nhận thấy ngay số lít xăng tìm đƣợc sẽ nhỏ hơn 10 lít (vì 150km nhỏ hơn 200 km). Do đó, khi giải ra kết quả của bài toán, chƣa cần thử lại, học sinh cũng có thể biết đƣợc kết quả lớn hơn (hoặc bằng 10) thì mình đã giải sai bài toán.
Sau khi học sinh đã tóm tắt chính xác, giáo viên hƣớng dẫn học sinh giải bằng cách đƣa ra câu hỏi gợi ý:
+ Muốn biết ô tô đi đƣợc 150 km tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng thì trƣớc hết ta phải tính đƣợc cái gì? (1 lít xăng ô tô sẽ đi đƣợc bao nhiêu km). Thực hiện đƣợc phép tính này trong bài toán đơn:
10 lít xăng đi: 200 km.
1 lít xăng đi : ... km ? (20 km)
+ Để tính số lít xăng đó tiêu thụ khi đi đƣợc 150 km thì ta phải làm thế nào?
Ta tìm kết quả của phép tính trong bài toán đơn: Đi 20 km hết: 1 lít xăng.
Đi 150 km hết: ... lít xăng ?
Trả lời tốt các câu hỏi trên, học sinh sẽ giải đƣợc bài toán nhƣ sau:
Lời giải
Một lít xăng ô tô đi đƣợc số km là: 200 : 10 = 20 (km)
Đi 150 km hết số lít xăng là: 150 : 20 = 7,5 ( )
Đáp số: 7,5 lít xăng.
Nhận xét: Đây chính là bài toán hợp bởi hai bài toán đơn: 10 lít xăng đi: 200 km.
(1) 1 lít xăng đi: ... km ? (20 km). Và:
Đi 20 km hết: 1 lít xăng. (2) Đi 150 km hết: ... lít xăng ?
Khi giải bài toán này phải dùng hai phép tính chia.
Nhƣ vậy, với việc hƣớng dẫn học sinh giải bài toán này, giáo viên đã rèn cho học sinh các kỹ năng về tóm tắt bài toán; kỹ năng thiết lập mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán; kỹ năng phân tích bài toán hợp thành các bài toán đơn và định hƣớng cách giải cho các bài toán đơn đó. Kết quả của bài toán (1) chính là dữ kiện của bài toán (2).
Ví dụ 2.4. Xây 15m2 tƣờng nhà hết 1000 viên gạch. Hỏi xây 180 m2 tƣờng nhà bằng cùng loại gạch đó thì hết bao nhiêu viên gạch?
Phân tích:
- Bài toán đƣợc tóm tắt nhƣ sau: Xây 15m2 hết: 1000 viên gạch Xây 180m2 hết: ... viên gạch?
Với bài toán này khi tiến hành phân tích và lập kế hoạch giải bài toán, có thể một số học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc chọn phƣơng pháp giải phù hợp vì nếu giải theo phƣơng pháp RVĐV thì 1000 : 15 không phải là số tự nhiên nên không thể tính xây 1m2 tƣờng nhà hết bao nhiêu viên gạch đƣợc, nghĩa là bài toán không thể giải đƣợc theo phƣơng pháp RVĐV. Do đó, HS sẽ phải suy nghĩ để tìm phƣơng pháp giải khác.
- Xét kết quả 180 chia hết cho 15, nhƣ vậy bài toán sẽ đƣợc giải theo phƣơng pháp tỷ số. Ở đây 180 m2
tƣờng nhà gấp 15m2 là 12 lần, vì thế số gạch dùng để xây 180m2 cũng sẽ gấp số gạch dùng để xây 15m2
là 12 lần, nghĩa là phải lấy 1000 nhân với 12.
cho học sinh kĩ năng lựa chọn phƣơng pháp giải thích thích hợp trong việc giải bài toán có lời văn. Nắm chắc đƣợc phƣơng pháp giải học sinh sẽ giải tốt bài toán nhƣ sau:
Lời giải: 180m2 gấp 15m2 số lần là: 180 : 15 = 12 (lần) Xây 180m2 tƣờng nhà hết số viên gạch là: 1000 12 = 12000 (viên) Đáp số: 12000 viên gạch
Ví dụ 2.5. Mua 5m vải hết 80 000 đồng. Hỏi mua 7m vải loại đó hết bao nhiêu tiền?
Lời giải
Giá tiền của 1m vải là:
80 000 : 5 = 16 000 (đồng) Mua 7m vải loại đó hết số tiền là:
16 000 7 = 112 000 (đồng)
Đáp số: 112 000 đồng
Ví dụ 2.6. Để hƣởng ứng tết trồng cây, đầu năm mới, lớp 5A đã tổ chức cho học sinh tham gia lao động trồng cây. Biết rằng cứ 3 em thì trồng đƣợc 2 cây. Hỏi với lớp sĩ số gồm 24 em thì trồng đƣợc bao nhiêu cây?
Lời giải 24 em gấp 3 em số lần là: 24 : 3 = 8 (lần) Lớp 5A trồng đƣợc số cây là: 2 8 = 16 (cây) Đáp số: 16 cây
Ví dụ 2.7. Một đội công nhân dự định đăp xong quãng đƣờng 200m trong 10 ngày. Sau khi đắp xong 120m thì đội đƣợc giao thêm 320 m nữa. Hỏi đội công nhân sẽ đắp xong toàn bộ quãng đƣờng đó trong bao nhiêu ngày?
Lời giải Cách 1: (Phƣơng pháp RVĐV)
1 ngày đắp đƣợc số m đƣờng là: 200 : 10 = 20 (m)
Quãng đƣờng phải đắp sau khi bổ sung thêm là: (200 - 120) + 320 = 400 (m)
Thời gian để đắp xong toàn bộ quãng đƣờng đó là: 400 : 20 = 20 (ngày)
Đáp số: 20 ngày
Cách 2: (Phƣơng pháp TS)
Quãng đƣờng phải đắp sau khi bổ sung là: (200 - 120) + 320 = 400 (m)
400 m gấp 200 m số lần là: 400 : 200 = 2 (lần)
Thời gian đội công nhân đắp xong toàn bộ quãng đƣờng là: 10 2 = 20 (ngày)
Đáp số: 20 ngày
Ví dụ 2.8. Mua 4 m vải cùng loại hết 100 000 đồng. Mẹ mua 2 mảnh vải nhƣ vậy: một mảnh 5m và một mảnh 3m. Hỏi mẹ mua hết tất cả bao nhiêu tiền ?
Lời giải Cách 1: (Phƣơng pháp RVĐV)
Giá tiền của 1m vải là:
100 000 : 4 = 25 000 (đồng) Mẹ mua 2 mảnh vảI hết số tiền là:
25 000 (5 + 3) = 200 000 (đồng) Đáp số: 200 000 đồng
Cách 2: (Phƣơng pháp TS)
Cả 2 tấm vải dài số m là: 5 + 3 = 8 (m)
8m gấp 4m số lần là: 8 : 4 = 2 (lần)
Mẹ mua 2 mảnh vải đó hết số tiền là: 100 000 2 = 200 000 (đồng)
Đáp số: 200 000 đồng.
Dạng 2. Giải bài toán về tỉ lệ nghịch
- Nếu nhƣ mối quan hệ các dữ liệu trong bài toán tỉ lệ thuận là giá trị của 2 đại lƣợng cùng tăng hoặc cùng giảm thì mối quan hệ các dữ kiện trong bài tỉ lệ nghịch lại hoàn toàn ngƣợc lại: nếu giá trị của đại lƣợng này tăng lên (hoặc giảm xuống) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lƣợng kia lại giảm xuống (hoặc tăng lên) bấy nhiêu lần.
- Giả các bài toán dạng này có nhiều điều kiện bồi dƣỡng tính thuận nghịch của tƣ duy cho học sinh, góp phần trang bị cho học sinh cơ sở ban đầu về tính thuận nghịch của hàm số trong tƣơng lai.
- Trong khi đó tƣ duy của học sinh tiểu học lại thiên về chiều thuận, nghĩa là: đã tăng thì cùng tăng hoặc đã giảm thì cùng giảm. Vì thế với các em, việc giải các bài toán về tỉ lệ thuận thƣờng dễ dàng hơn so với bài toán về tỉ lệ nghịch.
- Thực tế cho thấy khi gặp những bài toán về tỉ lệ nghịch có rất nhiều học sinh giải sai. Do đó, khi hƣớng dẫn học sinh giải các bài tập về dạng này giáo viên cần lƣu ý: Phải hƣớng dẫn cụ thể, tỉ mỉ để học sinh hiểu và nắm chắc kĩ năng phân tích, kĩ năng giải toán.
Ví dụ 2.9. 10 ngƣời làm xong một công việc phải hết 7 ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu ngƣời? Biết rằng mức làm của mỗi ngƣời trong một ngày là nhƣ nhau.
Phân tích:
- Tóm tắt: Làm 7 ngày cần: 10 ngƣời. Làm 5 ngày cần: ... ngƣời ?
- Với bài toán này, để học sinh hiểu và nắm chắc bản chất mối quan hệ giữa các đại lƣợng trong bài toán, giáo viên thƣờng phải giảng giải gắn với
suy luận thực tiễn: cùng một công việc, nếu càng đông ngƣời thì làm càng nhanh. Do đó, thời gian hoàn thành công việc càng sớm. Nhƣ vậy quan hệ giữa số ngƣời tham gia làm việc và số ngày hoàn thành công việc là 2 đại lƣợng biến thiên theo tƣơng quan tỉ lệ nghịch. Nếu số ngƣời làm việc càng đông thì số ngày hoàn thành công việc càng ít.
- Dù hiểu đƣợc bản chất của bài toán là nhƣ thế nhƣng khi bắt tay vào lập kế hoạch giải và tiến hành giải bài toán này, đa số học sinh gặp lúng túng và gặp khó khăn khi lựa chọn phƣơng pháp giải. Nếu giải theo phƣơng pháp TS thì kết quả 5 : 7 hay 7 : 5 không phải là số tự nhiên. Nếu giải theo phƣơng pháp RVĐV thì rất nhiều học sinh nhầm lẫn với bƣớc rút về đơn vị trong dạng toán tỉ lệ thuận và tiến hành thực hiện phép chia theo kiểu 10 : 7 để tìm xem 1 ngày cần mấy ngƣời làm. Vì thế khó tìm ra hƣớng giải của bài toán.
- Ở đây, định mức công việc của 1 ngƣời trong 1 ngày là đại lƣợng không đổi. Giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh thực hiện bƣớc rút về đơn vị theo 2 cách:
+ Rút về đơn vị theo 1 ngƣời: Theo bài ra 10 ngƣời làm xong công việc trong 7 ngày. Nếu 1 ngƣời làm thì số ngƣời đã giảm đi 10 lần, do đó số ngày sẽ tăng lên 7 lần và bằng:
10 7 = 70 (ngày)
+ Rút về đơn vị theo 1 ngày: 10 ngƣời làm xong công việc trong 7 ngày. Nếu làm xong trong 1 ngày thì số ngày đã giảm đi 7 lần, do đó số ngƣời phải tăng lên 7 lần và bằng:
7 10 = 70 (ngƣời)
Nếu làm trong 5 ngày thì số ngày đã tăng lên 5 lần, do đó số ngƣời đã giảm đi 5 lần và bằng:
70 : 5 = 14 (ngày)
- Từ sự phân tích và hƣớng dẫn nhƣ trên, học sinh sẽ đƣa ra cách giải:
Cách 1:
Lời giải
7 10 = 70 (ngày)
Muốn làm xong công việc trong 5 ngày thì cần số ngƣời là: 70 : 5 = 14 (ngƣời)
Đáp số: 14 ngƣời
Cách 2:
Lời giải
Để làm xong công việc trong 1 ngày cần số ngƣời là: 10 7 =70 (ngƣời)
Để làm xong công việc trong 5 ngày cần số ngƣời là: 70 : 5 =14 (ngƣời)
Đáp số: 14 ngƣời
- Đƣa ra đƣợc lời giải chính xác nhƣ trên chứng tỏ học sinh đã nắm chắc kĩ thực hiện phép tính và kĩ năng đặt lời giải trong phép tính rút về đơn vị (với cách đặt lời giải khác nhau, ta sẽ tìm đƣợc đơn vị khác nhau trong phép tính nhƣ ở bƣớc 1 của cách 1 và bƣớc 1 cải cách 2). Điều này sẽ rèn cho học sinh sự linh hoạt trong cách đặt lời giải cho bài toán.
Qua ví dụ trên ta thấy với mỗi cách phân tích khác nhau có thể đƣa ra nhiều cách giải khác nhau. Đồng thời trong mỗi cách giải không phải sử dụng riêng một phƣơng pháp đặc trƣng nào mà có thể kết hợp nhiều phƣơng pháp khác nhau, góp phần hình thành kỹ xảo giải toán cho học sinh, kích thích hứng thú và sự sáng tạo của học sinh để tìm ra cách giải hay nhất.
Ví dụ 2.10. Một bếp ăn tập thể chuẩn bị đủ gạo cho 150 sinh viên ăn trong 10 ngày, sau 4 ngày có 30 sinh viên đến thêm. Hỏi số gạo còn lại đủ để sinh viên ăn trong bao nhiêu ngày? Biết rằng khẩu phần ăn của mỗi sinh viên trong 1 ngày là nhƣ nhau.
Lời giải
Sau 4 ngày, số gạo còn lại đủ cho 150 sinh viên ăn trong số ngày là: 10 - 4 = 6 (ngày)
Tổng số sinh viên hiện có là:
1 sinh viên ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là: 6 150 = 900 (ngày)
180 sinh viên ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là: 900 : 180 = 5 (ngày)
Đáp số : 5 ngày
Ví dụ 2.11. Ngƣời ta bơm nƣớc ở một cái hồ. Nếu dùng 3 máy bơm thì hút hết nƣớc ở hồ trong 4 giờ. Hỏi dùng 6 máy bơm nhƣ thế thì hút hết nƣớc ở hồ trong mấy giờ?
Lời giải Cách 1: (Phƣơng pháp RVĐV)
Dùng 1 máy bơm thì hút hết nƣớc ở hồ trong số giờ là: 4 3 = 12 (giờ)
Dùng 6 máy bơm thì hút hết nƣớc ở hồ trong số giờ là: 12 : 6 = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ
Cách 2: (Phƣơng pháp TS)
6 máy bơm gấp 3 máy bơm số lần là: 6 : 3 = 2 (lần)
Dùng 6 máy bơm thì hút hết nƣớc ở hồ trong số giờ là: 4 : 2 = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ
Ví dụ 2.12. Theo dự định 12 ngƣời làm xong công việc trong 10 ngày. Hỏi muốn làm xong công việc đó sớm hơn 2 ngày thì cần bao nhiêu ngƣời? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi ngƣời trong một ngày là nhƣ nhau.
Lời giải Cách 1:
Để làm xong công việc trong 1 ngày thì cần số ngƣời là: 12 10 = 120 (ngƣời)
Số ngƣời cần để làm xong công việc trong 8 ngày là: 120 : (10 - 2) = 15 (ngƣời)
Đáp số: 15 ngƣời
Cách 2:
1 ngƣời làm xong công việc trong số ngày là: 10 12 = 120 ( ngày)
Muốn làm xong công việc trƣớc 2 ngày cần số ngƣời là: 120 : (10 - 2) = 15 ( ngƣời)
Đáp số: 15 ngƣời.
Dạng 3. Giải các bài toán về tỉ lệ kép