theo thời gian
Tương tự phần trước, với bộ điều khiển PI ta cĩ C (s )= kp
trưng :δs, k ( p Giả sử n là bậc củaδ(s, kp , ki ) và m là bậc của N (s) . Vấn đề ổn định bằng bộ điều khiển PI tương đương với việc xác định các giá trị kp , ki sao cho đa thức
δ (s, kp , ki ) là Hurwitz.
Ta thấy rằng kp , ki ảnh hưởng đến cả hai phần chẵn và lẻ của δ(s,kp , ki ). Tương tự thiết kế bộ điều khiển P, phương pháp tiếp cận ở đây là xây dựng một đa thức đặc trưng mới mà phần chẵn phụ thuộc ki và phần lẻ phụ thuộc kp . Nhânδ(s, kp , ki ) với
N* (s) chúng ta đạt được :
l (δ(s,kp , ki ) N* ( s))− r(δ( s, kp , ki ) N* ( s))
= l (δ(s, kp , ki ))− r (δ( s, kp , ki ))− ( l( N( s)) − r( N( s)))
23
δ(s, kp, ki ) bậc n là Hurwitz nếu và chỉ nếu l (δ(s, kp , ki )) = n
và
r (δ(s ,kp ,ki ))= 0 . Vì vậy, kết quả sau đây được dẫn ra : Định lý 2.4:δ(s, kp , ki ) là Hurwitz nếu và chỉ nếu σi (δ(s ,kp ,ki ) N* ( s)) = n− ( l( N( s)) − r( N( s))) Ta cĩ : δ( jω, kp , ki ) N* ( jω) = p(ω, ki) + jq(ω, kp ) , trong đĩ: p (ω, ki ) = p1 (ω) + ki p2 (ω) q (ω,kp ) = q1 (ω) + kp q2 (ω) p1 (ω) = −ω2 (Ne ( −ω2 ) Do ( −ω2 ) − De ( −ω2 ) N0 ( −ω2 )) p2 (ω) = Ne ( −ω2 ) Ne ( −ω2 ) +ω2 N0 ( −ω2 ) N0 ( −ω2 ) q1 (ω) = ω⎡⎣Ne ( −ω2 ) De ( −ω2 ) +ω2 Do ( −ω2 )N0 ( −ω2 )⎤⎦ q 2 (ω) = ω⎡⎣Ne (−ω2 )Ne (−ω2 )+ω2 No (−ω2 ) N0 (−ω2 )⎤⎦ Định nghĩa 2.6: pf (ω, ki ) = qf (ω,kp ) =
Ta thấy rằng với kp cố định, các nghiệm của q (ω,kp ) khơng phụ thuộc vào ki , các kết quả của thiết kế bộ điều khiển P là cĩ thể được áp dụng trong trường hợp này.
24
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Như vậy, bằng cách quét tất cả các giá trị thực kp và giải quyết bài tốn ổn định bằng bộ điều khiển P,chúng ta cĩ thể xác định tập tất cả các giá trị cho đối tượng được đưa ra.
Tuy nhiên miền giá trị của kp cĩ thể giảm xuống trong nhiều trường hợp xuất phát từ kết quả :
Với một giá trị kp cố định, điều kiện cần để tồn tại giá trị ki là số các nghiệm thực khác nhau, khơng âm, hữu hạn, bội lẻ của q (ω,kp ) thỏa mãn phải lớn hơn hoặc bằng
n −(l (N ( s)) − r (N (s )))
2 nếu n + m chẵn
n −(l (N ( s)) − r (N (s ))) +1 nếu n + m lẻ
2
Một điều kiện cần như vậy cĩ thể được kiểm tra sau :
bằng cách viết lại q (ω,kp ) như
q (ω,kp ) = ω⎡⎣U (ω) + kp V(ω)⎤⎦ trong đĩ : ω U ( ) ω V ( )
Ta thấy q(ω, kp ) cĩ ít nhất một nghiệm thực khơng âm ở gốc. Bằng phương pháp quĩ đạo nghiệm, chúng ta cĩ thể xác định được phân bố nghiệm của tương ứng với với các dải khác nhau của kp .
Phương pháp quĩ đạo nghiệm :
1.Xác định các điểm tách khỏi trục thực là nghiệm của phương trình :
25 download by : skknchat@gmail.com Luận văn thạc sĩ d ⎜ ⎛V (ω) ⎞ (ω)⎟ ⎝ U ⎠ q (ω, kp ) (ki , kp )
dω Vũ Thu Diệp
U (⇔ ⇔
2. Giả sử k1 < k2 <... <kz
các điểm tách khỏi trục thực.ωj , j = 1, 2,..., z ứng với mỗi ki
của phương trình
k p∈ (kj, kj+ 1 ), các nghiệm thực của phương trình U (ω) + kpV(ω) = 0 là bội đơn và số các nghiệm thực là khơng đổi.
3.Nếu U (0) +kpV(0) ≠0 với mọi kp ∈ (kj , kj+1 ) thì phân bố các nghiệm thực của phương trình U (ω) + kpV (ω) = 0 so với điểm gốc là khơng đổi trên khoảng giá trị này của kp .
Do n −(l( N( s)) − r ( N ( s))) đã biết, chúng ta cĩ thể tìm ra các khoảng giá trị của
kptheo đĩ q (ω,kp )khơng thỏa mãn điều kiện cần ở trên, nghĩa là cĩ thể thu hẹp miền giá trị của kp .
Ví dụ xét hệ thống cĩ :
D( s) = s5 + 3s4 + 29s3 +15s2 −3s +60 và N ( s) = s3 +6s2 −2s +1
Đa thức đặc trưng của hệ thống cĩ vịng lặp kín :
δ(s, kp, ki ) = sD( s)+ ( ki + kp s) N( s) Ta cĩ : δ( jω, kp , ki ) N* ( jω) = p(ω, ki ) + jq(ω, kp ) , trong đĩ: p (ω, ki ) = p1 (ω) + ki p2 (ω) q (ω,kp ) = q1 (ω) + kp q2 (ω) 26 download by : skknchat@gmail.com
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
p1 (ω) =3ω8 −166ω6 −19ω4 −117ω2
p2 (ω) =ω6 +40ω4 −8ω2 +1
q1 (ω) = −ω9 + 9ω7 +154ω5 −369ω3 + 60ω
q2 (ω) = ω7 + 40ω5 − 8ω3 +ω
Bây giờ ta sẽ xác định dải các giá trị của kp bằng phương pháp quĩ đạo nghiệm. Ta cĩ: q ( ω, trong đĩ : ( ) U ( ) V Từ đây : α ω ( )= 2 β ω= ( ) (
Các giá trị kp sinh ra các điểm tách khỏi trục thực hoặc nghiệm tại gốc tọa độ là : k1
đồng thời các nghiệmω tương ứng là :
ω=± ,
1
Phân bố nghiệm thực của phương trình U (ω) + kpV (ω) = 0 so với gốc tọa độ, tương ứng với các dải giá trị của kp khác nhau là như sau :
k p∈ (−∞,−61. 67086) : khơng cĩ nghiệm thực
k p∈ (−61 .67086,−60) : hai nghiệm thực, dương, đơn, hai nghiệm thưc, âm, đơn
27
k p ∈ (−60,−2. 54119) : một nghiệm thực, dương, đơn, một nghiệm âm, dương, đơn
k p∈ (−2. 54119,16 .44309) : ba nghiệm thực, dương, đơn,
ba nghiệm thực, âm, đơn
k p∈ (16. 44309,∞ ) : một nghiệm thực dương, đơn, một nghiệm thực, âm, đơn
Từ giả thiết ta cĩ m + n là lẻ và n −(l (N ( s)) − r (N ( s))) = 6 −(1 −2) −7 . Vì vậy với một giá trị kp cố định, điều kiện cần để tồn tại giá trị ki ổn định là
p) phải cĩ ít nhất bốn nghiệm thực khơng âm, khác nhau, và bội lẻ. Phân bố nghiệm trình bày ở trên chỉ ra khả năng duy nhất là kp ∈ (− 2. 54119,16 .44309) . Với mỗi giá trị kp
trong dải này chúng ta cĩ thể xác định dải giá trị chính xác của ki . Vùng ổn định được vẽ trong hình II.3 sau đây.
Hình II.3 Tập ổn định của các giá trị tham số (kp , ki )
28
download by : skknchat@gmail.com
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp