Trong các ứng dụng điều khiển cơng nghiệp, đối tượng thường được mơ hình hĩa như một hệ thống bậc một hoặc bậc hai cĩ trễ và các bộ điều khiển cĩ thể hoặc
47
download by : skknchat@gmail.com
là P, PI hoặc PID. Mục này sẽ trình bày thiết kế bộ điều khiển P, trên cơ sở đĩ sẽ thiết kế các bộ điều khiển PI, PID ở các mục tiếp theo.
Để thiết kế bộ điều khiển P ổn định hĩa hệ bậc một cĩ trễ, cĩ thể sử dụng các phương pháp như Nyquist và các biến thể của nĩ. Tuy nhiên tiếp cận bằng các kết quả đã trình bày ở phần trước cho phép hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa thời gian trễ và sự ổn định của hệ thống bằng bộ điều khiển P.
III.3.1 Hệ thống bậc một cĩ trễ
Các hệ thống bậc một cĩ trễ cĩ hàm truyền G (s ) = k
e−Ls và cĩ hàm đáp
1 + Ts
ứng bước như sau :
t (s)
Hình III.6 Đáp ứng bước vịng lặp hở
Xét trường hợp thời gian trễ L=0, đa thức đặc trưng của vịng lặp kín là :
δ( s) = kkc + 1+ Ts.
Đa thức này cĩ một nghiệm đơn s = −
hợp của đối tượng được điều khiển :
- T>0 sao cho đối tượng là cĩ thể ổn định vịng hở, để đảm bảo hệ thống với vịng lặp kín ổn định thì điều kiện phải cĩ là k > − 1 .
c k
48
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
- Trường hợp đối tượng khơng thể ổn định vịng hở, nghĩa là T<0, để đảm bảo hệ thống với vịng lặp kín ổn định điều kiện phải cĩ là kc < − k1 .
Xét trường hợp thời gian trễ L>0, giả sử k>0, đa thức đặc trưng của vịng lặp kín là :δ(s) = kkc e−Ls + 1+ Ts.
Sử dụng định lý 3.5, hai kết quả tương ứng với hai trường hợp của đối tượng điều khiển được chứng minh :
+ Đối tượng cĩ thể ổn định vịng hở (T>0): tập hợp tất cả các hệ số kc là − 1 < kc < T k kL ⎛π ⎞. khoảng ⎜ , π ⎟ ⎝2 ⎠
+ Đối tượng khơng thể ổn định vịng hở (T<0): điều kiện cần để cả đối tượng cĩ trễ và khơng trễ ổn định đồng thời là T >1 , khi ấy tập hợp tất cả các hệ số kc L là T kL ⎛π⎞. trong kh oảng ⎜0, ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ví dụ xét hệ thống trễ bậc một với k = 1, L = 1.8s, T = 3s.
Vì đối tượng là cĩ thể ổn định vịng hở, trước hết chúng ta tìm nghiệm
nghiệm của phương trình tan
z1 là
dẫn đến z1 = 1 .8798 . Dải các giá trị ổn định của hằng số khuếch đại là : −1 < kc < 3 .2887 .
Tiếp theo chúng ta kiểm tra các nghiệm của Im (δ*
(s )) cĩ đan xen hay khơng với một giá trị đặc biệt của kc . Với kc = 1 , ta cĩ :
δ* (s) = 1 +(3s +1)e1.8 s .
49
⇒δ* ( jω)= ⎡1+ cos (1 .8ω)− 3ωsin(1 .8ω)⎤ + j ⎡ sin (1 .8ω)+ 3ωcos (1 .8ω)⎤ ⎣⎦⎣⎦
Phần thực Phần ảo
ω rad/s
Hình III.7 Đồ thị phần thực và phần ảo củaδ* ( jω)
t (s)
Hình III.8 Đáp ứng xung của hệ thống vịng lặp kín
50
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Hình III.7 là đồ thị phần thực và phần ảo của δ* ( jω) . Cĩ thể thấy các nghiệm phần thực và ảo là đan xen nhau. Hình III.8 là đáp ứng xung của vịng lặp kín tại t = 5
giây.
Bây giờ chúng ta so sánh với xấp xỉ Padé để xác định dải ổn định. Các kết quả sau đây là với các bậc xấp xỉ khác nhau. Từ đĩ cĩ thể so sánh dải ổn định xấp xỉ với dải đúng đã được xác định ở trên.
Bậc 1 : −1 < kc
Bậc 2 : −1 < kc
Bậc 3 : −1 < kc
Bậc 5 : −1 < kc
Như vậy với xấp xỉ Padé bậc 1, 2 và 3 đưa ra các giá trị khuếch đại khơng ổn định cho hệ thống thực tế.
III.3.2 Hệ thống bậc hai cĩ trễ
Các hệ thống trễ trong trường hợp này cĩ hàm truyền G (s ) =
s2
Khơng mất tính thực tế của bài tốn giả sử k>0.
Xét trường hợp thời gian trễ L=0, đa thức đặc trưng của vịng lặp kín là :
δ( s) = s2 + a1s + (a0 +kkc ) . Điều kiện cần và đủ sao cho vịng lặp kín ổn định sẽ là : a1 >0,kc > −a
k0 .
Xét trường hợp thời gian trễ L>0, đa thức đặc trưng của vịng lặp kín là :
δ( s) = kkc e−Ls + s2 + a1 s + a0 .
Sử dụng định lý 3.5, hai kết quả tương ứng với hai trường hợp của đối tượng điều khiển được chứng minh :
+ Đối tượng cĩ thể ổn định vịng hở (a1>0, a 0>0) :
51
cot ( z) = z 2 Nếu a12 < 2a0 ⎫ ⎪ ⎬trong đĩ zj là⎪⎭ nghiệm của α = L a0 − a12 2 α− zj ≥ 0 và ev = arg min α− j even
+ Đối tượng khơng thể ổn định vịng hở (a1`> 0 , a0 < 0 ). Điều kiện cần để cả đối tượng cĩ trễ và khơng trễ ổn định đồng thời là
số k là − a0
c
k
cos (z) = z2 − L
2 a0
Ví dụ : Xét hệ thống trễ bậc một và thiết kế bộ điều khiển P ổn định cho hế thống. Các tham số là : k = 5,
Từ giả thiết suy ra : đối tượng cĩ thể ổn định vịng hở,
od = 1 và ev = 2 .
Các nghiệm zi (i = 1, 2, 3, 4) của phương trình cot (z) = z1 =2. 7570, z2 = 5. 3080, z3 =7. 6932, z4 = 10. 3011 .
Tập các hệ số khuếch đại ổn định là :
,4⎪kLsin
j=2
⇒ −0 .8015 < kc < 0. 9186 .
Tiếp theo chúng ta kiểm tra các nghiệm của Im (δ* (s )) cĩ đan xen hay khơng với một giá trị đặc biệt của kc . Với kc = 0.3, ta cĩ :
δ* (s) = 1 +(3s +1)e1.8 s .
⇒ δ* ( jω)= ⎡1+ cos (1 .8ω)− 3ωsin(1 .8ω)⎤ + j ⎡ sin (1 .8ω)+ 3ωcos (1 .8ω)⎤
⎣⎦⎣⎦
Hình III.9 Đồ thị phần thực và phần ảo củaδ* ( jω)
53
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
t (s)
Hình III.10 Đáp ứng xung của hệ thống vịng lặp kín
Hình III.9 là đồ thị phần thực và phần ảo của δ* ( jω) . Cĩ thể thấy các nghiệm phần thực và ảo là đan xen nhau. Hình III.10 là đáp ứng xung của vịng lặp kín tại t = 1 giây.