Xấp xỉ Padé thường được sử dụng để xấp xỉ đại lượng trễ thời gian bằng hàm truyền phân thức và qui hệ thống cĩ trễ vận tải thành hệ thống cĩ hàm truyền phân thức, từ đây cĩ thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định của lý thuyết Hermite-Biehler để xây dựng miền tham số các bộ điều khiển PID ổn định cho hệ thống.
Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng xấp xỉ Padé là cĩ giới hạn, chúng ta sẽ lấy ví dụ với mơ hình trễ bậc 1 đơn giản. Hàm truyền của hệ thống như sau :
G (s) = Xấp xỉ Padé của e trong đĩ : Nr (sL) = ∑r (2r ( −k ))! (−sL)k k =0 k! r − k ! Dr (sL) = ∑ III.1.1 Sử dụng xấp xỉ Padé bậc 1 Xấp xỉ Padé bậc 1 của mẫu trễ e
thành : Gm (s) = Đa thức đặc trưng : ( p i δ s, k , k 35
trong đĩ : k' d
Sử dụng kết quả của phần II.5, tập các giá trị ổn định (kp , ki , kd ) phải thỏa mãn các bất đẳng thức sau : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 4T L kkp L)⎦⎥ (3.1) và − (3.2)
Chú ý rằng tập các bất đẳng thức 3.1 và 3.2 cĩ cấu trúc đặc biệt. Với kp cố định tập giá trị ( ki , kd ) cĩ thể giải bằng phương pháp lập trình tuyến tính, được chỉ ra là miền tam giác trong đồ thị hình III.1.
Câu hỏi cần quan tâm ở đây là cĩ hay khơng xấp xỉ Padé bậc một đưa ra chính xác tập các tham số PID ổn định cho hệ thống cĩ trễ ban đầu. Trong ví dụ sau đây sẽ chỉ ra, tập giá trị trong hình III.1 cĩ thể chứa các giá trị tham số của bộ điều khiển dẫn đến một hệ thống kín khơng ổn định.
Ví dụ xét hệ thống cĩ :
Xấp xỉ Padé bậc 1 của đối tượng :
Giá trị kp đạt được từ (3.2): kp ∈ (−0. 6, 28. 7555) . Chúng ta cố định kp tại 8.4467, giá trị được đề nghị lựa chọn bởi phương pháp đáp ứng bước Ziegler-Nichols (sẽ đề cập