Trong phần này chúng ta sẽ xét đối tượng với hàm truyền G (s) = k
e−Ls và
1+ Ts
bộ điều khiển PID C (s) = kp + k
si + kd s . Khơng mất tính thực tế của bài tốn giả sử k>0.
Mục tiêu là xác định miền tham số (ki,kp,kd) sao cho hệ thống kín là ổn định. Xét trường hợp thời gian trễ L=0, đa thức đặc trưng của vịng lặp kín là :
δ( s) = (T + kkd ) s2 +( 1+ kkp ) s+ kki.
58
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Vì đây là đa thức bậc 2, sự ổn định của vịng lặp kín là tương đương với điều kiện tất cả các hệ số cùng dấu hay :
kp > − 1 k , ki > 0, kd > −T k hoặc kp < − 1 , ki < 0, kd < −T k k
Sử dụng định lý 3.5, hai kết quả tương ứng với hai trường hợp của đối tượng điều khiển được chứng minh :
+ Đối tượng cĩ thể ổn định vịng hở (T>0). Ta thấy kp chỉ xuất hiện trong δi (ω) , ki và kd chỉ xuất hiện trongδr (ω) .
Các kết quả cần thiết :
Kết quả 1 :δi (ω) chỉ cĩ nghiệm thực nếu và chỉ nếu
− 1 < kp <1⎡T k ⎢ k ⎣ L tan ( ) = − T α T + L
Kết quả 2 : Với mỗi giá trị kp ở trên, các điều kiện cần và đủ của ki và kd để các nghiệm củaδi ( z) vàδr ( z) đan xen là các bất đẳng thức sau đều đúng :
ki > 0 kd >m1 ki + b1 kd < m2 ki + b2 kd >m3 ki + b3 kd < m4 ki + b4 …
trong đĩ các tham số mj và bj (j=1,2,3,…) được định nghĩa:
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
z j là nghiệm của phương trình kkp + cos( z) − T
L zsin( z) = 0. Kết quả 3: Nếu −
1. bj < bj+2
2. bj > T
k và bj → T
k khi j → ∞ với các giá trị j chẵn 3. 0 < vj < vj+2 với các giá trị j lẻ Kết quả 4: Nếu kp 1. bj = −T với các giá trị j lẻ k 2. b j = T với các giá trị j chẵn k Kết quả 5: nếu phương trình tan 1. b j 2. bj 3.ωj 4. b < b , ω < ω 1 2 1 2
Định lý 3.9: Dải giá trị của kp với thiết kế trong trường hợp đối tượng cĩ thể ổn định vịng hở:
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
−1 <
kp
<1 ⎡T k
tan(α) = −T T+ Lα trong khoảng (0,π) .
Với những giá trị kp nằm ngồi dải này, khơng cĩ các bộ điều khiển PID thỏa mãn. Vùng ổn định hồn chỉnh được xác định bởi (Hình III.14):
1. Với mỗi là hình thang T.
2. Với kp = 1
, kết quả là tam giác Δ.
3. Với mỗi
Hình III.14 Vùng ổn định của ( ki , kd ) với a) − k1 < kp < 1
k , b) kp = 1