Sự ổn định của các hệ thống khơng trễ là tương đối dễ để nghiên cứu vì số các nghiệm của đa thức đặc trưng là hữu hạn. Tuy nhiên khi cĩ thêm thành phần trễ, số các nghiệm là vơ hạn và việc thiết lập các tiêu chuẩn ổn định là cực kì khĩ khăn. Lý thuyết Hermite-Biehler cho các đa thức Hurwitz là khơng thể thực hiện trên hàm biến phức ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm cĩ dạng
39
download by : skknchat@gmail.com
F (s ) f (s, es ) ,
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
trong đĩ f (s,t ) là các đa thức của hai biến và được gọi là các tựa đa thức. Trước khi trình bày các kết quả, chúng ta đưa ra các định nghĩa ban đầu.
Giả sử f (s,t ) là một đa thức với các hệ số thực hoặc phức được định nghĩa như M N
sau: f (s,t ) = ∑∑ahkshtk . h =0 k =0
Định nghĩa 3.1: f (s,t ) được gọi là cĩ thành phần chính nếu tồn tại một hệ số
ahkkhác khơng, trong đĩ cả hai chỉ số cĩ giá trị lớn nhất. Khơng mất tính tổng quát, chúng ta xem như thành phần chính là aMNsMtN . Điều này cĩ nghĩa rằng với
mỗi thành phầnahkshtk , với ahk ≠ 0 , chúng ta cĩ hoặc M >h, N > k hoặc M =h, N > k , hoặc M > h,N = k .
Định lý 3.1: (Pontryagin) [9] Nếu đa thức f (s,t ) khơng cĩ thành phần chính thì hàm F (s ) = f (s, es ) cĩ vơ số nghiệm với phần thực dương, lớn tùy ý.
Nếu f (s,t ) cĩ thành phần chính, Pontryagin đã chỉ ra rằng lý thuyết Hermite- Biehler cĩ thể được mở rộng đến lớp các hàm F (s ) = f (s,es ).
( k)
(u v )
h
rằngφ
Thành phần chính của g (s,u, v) là s Mφ(N) (u,v) ,
M
N
Kí hiệuφ*(N ) (u, v) là hệ số của sM thì:φ*(N ) (u,v) = ∑φ(Mk) (u, v).
k=0
Xét lớp hàm siêu việt G (s ) = g (s, cos (s),sin (s ) ) kí hiệuφ*(
N) (s ) = φ*(
N) (cos (s ),sin (s )) , hàm cĩ chu kì 2π.
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Định lý 3.2: Giả sử g
Nếuη là giá trị sao choφ*(N ) (η+ jω) ≠ 0 vớiω thực, thì từ một giá trị đủ lớn của l , G
(s ) sẽ cĩ chính xác 4lN + M nghiệm trong dải −2lπ+η≤ Re[s] ≤ 2lπ +η . Vì vậyđể hàm
G (s) chỉ cĩ các nghiệm thực, điều kiện cần và đủ là trong đoạn −2lπ+ η≤ Re [s] ≤ 2lπ+η nĩ cĩ chính xác 4lN + M nghiệm thực với giá trị l đủ lớn.
M N
Chúng ta quay lại lớp hàm F (s ) = f (s,es ) của các hàm f ( s, t) = ∑∑ ahk shtk .
h=0 k= 0
Thành phần chính là aMNsMtN . Chúng ta biểu diễn lại như sau:
f ( s,t) = sM X
Định nghĩa 3.2: Giả sử F (s ) = f
phần chính, xét biểu diễn : nghiệm thực của
nghiệm được sắp xếp theo giá trị tăng dần. Các nghiệm của gọi là đan xen nếu chúng thỏa mãn điều kiện :
Trong định nghĩa này :
ω = gr ( Fr ( ) ω = gi ( Fi ( ) Định lý 3.3:
Giả sử F (s ) = f (s,e s ), trong đĩ biểu diễn :
phẳng trái, thì các nghiệm của
với mỗi ω∈ (−∞,∞ ).
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Ngồi ra, nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn thì tất cả các nghiệm của F (s ) thuộc nửa mặt phẳng trái :
1. Tất cả các nghiệm của Fr (ω) và Fi (ω) là thực, đơn, đan xen và bất đẳng thức (3.3) đúng với ít nhất một giá trịω.
2. Tất cả các nghiệm của Fr (ω) là thực và với mỗi nghiệmω=ωr , bất đẳng thức (3.3) đúng, nghĩa là
thức (3.3) đúng, nghĩa là
Điều kiện bất đẳng thức (3.3) là tương tự thuộc tính pha tăng đơn điệu đã trình bày trong định lý 2.1 (lý thuyết Hermite-Biehler cổ điển).
Đối với thơng tin liên quan đến sự tồn tại các nghiệm của F (s) thuộc nửa mặt phẳng phải, định lý sau đề cập thêm về vấn đề này.
Định lý 3.4:
Xét lớp hàm F (s )= f (s,es ), trong đĩ f ( s, t ) là một đa thức cĩ thành phần chính. Nếu hàm X*(N) (es ) cĩ các nghiệm thuộc nửa mặt phẳng phải, thì hàm F (s )
cĩ các nghiệm khơng bị chặn trong nửa mặt phẳng phải. Nếu tất cả các nghiệm của
X*(N ) (es ) thuộc nửa mặt phẳng trái, thì hàm F (s) cĩ các nghiệm bị chặn trong nửa mặt phẳng phải.
III.2.1 Ứng dụng với lý thuyết điều khiển
Các hệ thống cĩ trễ vận tải dẫn đến đa thức đặc trưng :
δ =
(s) d (s)
trong đĩ d ( s) và ni ( s) là các đa thức với hệ số thực, thỏa mãn :
⎣
A1. deg ⎡d
A2. 0 <L1
A3. Li = αi L1 , i = 2,..., m vàαi là các số nguyên khơng âm
Dựa trên kết quả của Pontryagin, định lý 3.3 trên đây cĩ thể được phát triển mở rộng để nghiên cứu sự ổn định của lớp giả đa thứcδ(s) . Thay vì (3.4), chúng ta xét lớp giả đa thức : δ* (s) = esLmδ(s) = esLm d (s) + es(Lm−L 1 ) n1 ( s) + es(Lm−L 2 )n2 ( s) +... +nm (s)
Đa thứcδ* (s) cĩ dạng f (s, es ). Vì e sLm ≠ 0 , các nghiệm củaδ(s ) vàδ* (s ) là như nhau. cĩ thành phần chính vì theo 1 và 2, hạng tử chứa các lũy thừa cao nhất của s, es khác khơng.
Định lý 3.5: Xétδ* (s) = δr (ω)+ jδi (ω) . Dưới các điều kiện A1&A2, δ* (ω) là ổn định nếu và chỉ nếu :
1. δr (ω) vàδi (ω) chỉ cĩ các nghiệm thực, đơn và đan xen từ −∞ đến ∞. 2. δ' (ω )δ (ω ) −δ (ω )δ' (ω ) > 0 , với một vàiω ∈ (−∞,∞) .
i0r0i0r00
Định lý 3.5 sẽ được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển P, PI, PID ổn định cho các hệ thống cĩ trễ.
Để kiểm tra định lý sau :
(Định lý 3.6: Kí hiệu M , N là các lũy thừa cao nhất tương ứng với s, es trong
δ*
)
ω . Giả sửη là một hằng số sao cho các hệ số của các thành phần cĩ bậc lớn
r nhất trongδ ω phương trình − 2lπ +η≤ω≤ thực với giá trị l0 43 download by : skknchat@gmail.com δ* ( s)
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Ví dụ xét hệ thống cĩ hàm truyền bậc nhất G (s ) =
điều khiển PI với k
hệ thống kín ổn định. Xét cùng một hệ thống bậc nhất nhưng với thời gian trễ 10 giây, nghĩa là : G (s) là :δ(s) = 2s2 + s + (1.8s +0.2)e−10s . Suy ra :δ* Đổi biến : ˆ* ˆ = δ (s) (0 02s
Tựa đa thức mới
ˆ ˆ δr (ω) = 0.2 − 0.1ω ˆ ˆ = δ ω ω . i ( ) Xét phương trình δ ω Suy ra :
Các nghiệm thực dương của (3.6) là:
ˆ ω 1 ωˆ = 3 13 5896 ˆ = ω 5 19 5618 … Chúng ta chọnη= π
để thỏa mãn yêu cầu của định lý 3.6 sao cho
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
ω rad/s
Từ phân bố này chúng ta thấy rằng
⎡ , π− π⎤ = ⎢0 2 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ khoảng ⎢ − ⎣
khơng cĩ nghiệ m trong khoảng ⎢
khoảng⎢⎡−2π+π
, 2π +π
⎣
này l0 = 1.
Với l0
chúng ta cũng thấy trong khoảng⎢⎡−4π+π,4π +
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
⎢⎡−2lπ+π
⎣ 4
ta kết luận rằng các nghiệm của
III.2.2 Ổn định của các hệ thống cĩ trễ đơn
Đa thức đặc trưng của hệ thống cĩ trễ đơn cĩ dạng :δ(s ) = d (s )+ e−sLn (s ), trong đĩ d ( s) và n ( s) là các đa thức với hệ số thực,
q ≥ p , L > 0 .
Vấn đề là xác định các giá trị L sao cho tất cả các nghiệm của đa thức đặc trưng nằm trong nửa trái của mặt phẳng s . Các kết quả cuối cùng cĩ thể được tĩm tắt theo 3 bước :
Chú ý sử dụng biểu thức tính tốn trung gian:
W (ω2 )= d ( jω) d(− jω) − n( jω) n(− jω)
Bước 1. Kiểm tra giá trị ổn định tại L = 0
Bước 2. Xét trường hợp L dương và nhỏ. Nếu q > p , tất cả các nghiệm sẽ nằm trong nửa mặt phẳng trái. Nếu q = p , vị trí của các nghiệm được xác định bởi dấu của
W (ω2 ) khiω đủ lớn.
Bước 3. Xác định các nghiệm dương của phương trình W (ω2 ) = 0 và bản chất của các nghiệm này, từ đĩ xác định các giá trị dương tương ứng của L. Nếu các nghiệm được xác định là khơng trùng nhau thì các nghiệm ổn định và khơng ổn định là đan xen nhau. Thủ tục như vậy cĩ thể được sử
dụng để xác định tất cả giá trị
các giá trị của L sao cho tất cả các nghiệm của nằm trong nửa mặt phẳng trái. Chú ý : Với bất kì ω≠ 0 thỏa mãn δ ( j L ) = 0
được giải bởi :
ω,
46
Luận văn thạc sĩ Vũ Thu Diệp
Nếu L0 là nghiệm nhỏ nhất, các nghiệm L cĩ cơng thức :
L = L0 + 2
ωπk , k = 0, 1, 2,...
Ví dụ : Xétδ(s, L) = s + 2e−
Ls . Thực hiện 3 bước trên, ta cĩ : vì vậy hệ thống là ổn định với L = 0 . Bước 2 : Vì q = 1 > p = 0 , bỏ qua bước này
Bước 3 : d (s ) = s và n (s ) = 2 , suy ra W (ω2 ) = ω2 − 4. Do W' (ω2 ) = 1 là dương nên chỉ cĩ một nghiệm dương của W (ω2 ) tại 4. Vì S = sgn ⎡⎣W' (ω2 )⎤⎦ = 1 nên nghiệm này là khơng ổn định. Các giá trị tương ứng của L được xác định bởi
⎡cos [Lω] = Re⎢ cos [Lω] = Re⎢ ⎣ sin[ω] = Im⎡jω⎤ = L ⎢ ⎥ 1 ⎣2 ⎦ Giải ra ta được : L = ( 4k
Điều này cĩ nghĩa rằng tại L =
từ trái sang phải của trục ảo. Như vậy tại trục ảo…
Kết luận vùng ổn định duy nhất là 0