8. Cấu trúc của luận văn
1.4.1. Giải thích các giả thuyết hiện tượng quan sát được
Suy luận ngoại suy có vai trò quan trọng trong việc lí giải nguồn gốc của các kết quả khoa học, lí giải các hiện tượng quan sát được nhằm đưa ra một phương án giải thích tốt nhất [22]. Đặc biệt, trong quá trình dạy học môn Hình học ở phổ thông theo quan điểm lí thuyết kiến tạo, suy luận ngoại suy thường xuất hiện ẩn tàng trong
quá trình hình thành tri thức mới thông qua việc quan sát các tình huống, các hiện tượng cần giải thích. Vì vậy, GV cần xây dựng tình huống thực nghiệm, giúp HS tạo ra các giả thuyết cần được kiểm chứng và sử dụng các phương pháp giải toán khác nhau. Qua đó, HS rèn luyện kĩ năng suy luận ngoại suy trong quá trình chứng minh các bài toán hình học.
Một số nhà nghiên cứu cho rằng, các phần mềm hình học động đã thay đổi cách suy nghĩ về các đối tượng hình học truyền thống vì trong khi di chuyển hay kéo rê các đối tượng hình học, đo đạc và kiểm tra các tính chất, người học có thể nhận ra các tính chất bất biến hình học [40], [22]. Từ đó, giả thuyết ban đầu về các đối tượng hình học và mối quan hệ giữa chúng được hình thành, sau đó, phần mềm hình học động cũng hỗ trợ quá trình kiểm tra tính đúng đắn của các giả thuyết đó [39]. Chính các hoạt động này dẫn đến các tình huống cần được giải thích và tạo nhu cầu chứng minh bài toán đó. Quá trình lập luận sau đó được chuyển từ trực quan sinh động sang một cấp độ cao hơn là dùng lời để mô tả, giải thích các hiện tượng quan sát được. Điều này có nghĩa là chúng ta cần đi tìm các luận cứ hay luận chứng để giải thích, chứng minh hay nói cách khác đây là tình huống dẫn đến việc sử dụng lập luận ngoại suy. Để hiểu rõ hơn về vai trò của các loại lập luận trong quá trình chứng minh hình học, chúng ta tìm hiểu sơ đồ dưới đây [20], [22]:
Hình 1.4. Quá trình chứng minh trong môi trường hình học động 1.4.2. Nguồn gốc hình thành các ý tưởng sáng tạo
Trong toán học, khi chứng minh một vấn đề nào đó thường sử dụng các lập luận lôgic kiểu suy diễn. Tuy nhiên, quá trình hình thành giả thuyết, khám phá tri thức mới lại xuất phát từ suy luận ngoại suy, đặc biệt là suy luận ngoại suy sáng tạo.
Do đó, suy luận ngoại suy còn đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra các ý tưởng mới và mở rộng vốn tri thức của nhân loại [20], [30].
Ví dụ 1.5. Trước khi học về công thức tính tổng vô hạn của cấp số nhân có công bội q (với q 1), GV yêu cầu HS chứng minh đẳng thức:
1 1 1 1 1 ...
41664256 3. Để tính được tổng phía bên trái, HS cần tìm ra một phương pháp mới, đây là lúc các em cần sử dụng suy luận ngoại suy sáng tạo. Số hạng thứ nhất là 1
4 có thể được hiểu là 1
4 của tam giác đơn vị (có diện tích bằng 1), số hạng thứ hai 1
16 sẽ là 1
4 của tam giác có diện tích bằng 1
4 tam giác đơn vị, … Cứ thực hiện thao tác chia vô hạn lần tam giác đơn vị, ta có thể biểu diễn được tổng phía bên trái của đẳng thức bởi phần màu đen ở Hình 1.5. Dựa vào lập luận trên, HS đã “sáng tạo” ra ý tưởng sử dụng phép chia 1
4tam giác đơn vị để chứng minh đẳng thức ban đầu hay các em đã vận dụng suy luận ngoại suy để giải bài toán. Mô hình dưới đây mô tả quá trình lập luận trên:
Hình 1.5. Tính tổng sử dụng ngoại suy sáng tạo 1.4.3. Chuyển sang chứng minh suy diễn
Suy luận ngoại suy đóng vai trò quan trọng trong quá trình chuyển tiếp sang chứng minh suy diễn hình học [22], [43].
Khi HS sử dụng các suy luận ngoại suy để tìm ra phương pháp giải quyết bài toán. Điều này dẫn đến HS phải thành lập các giả thuyết trước khi dùng suy luận ngoại suy đa tuyến và đơn tuyến để kiểm chứng lại chúng. Tuy nhiên, hầu hết các HS đều gặp khó khăn trong việc chuyển tiếp từ suy luận ngoại suy sang chứng minh suy diễn. Đây chính là chướng ngại về mặt cấu trúc giữa suy luận ngoại suy và chứng minh suy diễn. Mức độ khó khăn trong quá trình chuyển tiếp được nâng dần từ ngoại suy đơn tuyến đến ngoại suy sáng tạo. Nếu các HS nhận ra được cấu trúc của quá trình suy luận ngoại suy và sử dụng phép suy ngược lùi thì việc viết chứng minh suy diễn lại trở nên dễ dàng hơn [22].
1.5. Năng lực suy luận ngoại suy
1.5.1. Khái niệm
Từ cách hiểu về các khái niệm năng lực suy luận, các nghiên cứu về ngoại suy có thể hiểu năng lực ngoại suy trong hoạt động toán học của HS như sau:
“Năng lực suy luận ngoại suy là năng lực hoạt động của chủ thể nhằm tìm ra giả thuyết tốt nhất để giải thích cho kết quả quan sát được. Kết quả của suy luận ngoại suy là một giả thuyết và tính đúng đắn của nó cần được chứng minh”.
1.5.2. Các thành tố của năng lực suy luận ngoại suy
Thông qua nghiên cứu về năng lực suy luận, suy luận ngoại suy kết hợp với quá trình thực nghiệm, phân tích suy luận của các nhóm HS, từ đó có thể đề xuất lăm thành tố của năng lực suy luận ngoại suy:
a, Thành tố 1: Khả năng quan sát những biểu diễn trực quan đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa
Theo Arcavi (2003): Trực quan hóa là quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh sơ đồ…) trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ. Trực quan hóa nhằm mô tả giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để hiểu. Các biểu diễn trực quan như hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu được xem là công cụ để trực quan hóa nhằm giúp HS hiểu được các đối tượng trừu tượng. Biểu diễn trực quan được thừa nhận như là một thành phần chính của suy luận ngoại suy. Nó định hướng và hỗ trợ tích cực cho quá trình giải quyết vấn đề. Đặc biệt là biểu
diễn trực quan động với sự hỗ trợ của máy tính đã và đang có nhiều đóng góp trong việc khám phá tri thức mới [29].
Trong môi trường học tập với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động HS có điều kiện để tiến hành các thử nghiệm toán học thông qua thao tác trên các đối tượng được biểu diễn. Với các kết quả quan sát được cho các trường hợp riêng, HS vận dụng các suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy để đưa ra các phỏng đoán, đề xuất các giả thuyết, khám phá các quy luật và mối quan hệ mới, hay xây dựng các lí giải.
Ví dụ 1.6. Cho hai hình vuông ABCD và EFGH cạnh a, được đặt sao cho đỉnh E trùng với tâm của ABCD còn đình F có thể di chuyển được. Khi di chuyển F
nhận xét về phần giao của hai hình vuông.
Hình 1.6 Hình 1.7
Đầu tiên HS quan sát hình vẽ và sẽ suy nghĩ đến hình dạng của tứ giác
EMCN có phải là tứ giác đặc biệt không? Và HS sẽ bác bỏ ngay giả thuyết này khi kéo rê vị trí của điểm F. HS tiếp tục quan sát suy nghĩ và đưa ra giả thuyết về mối quan hệ giữa hai đường chéo của tứ giác trên liệu có vuông góc hoặc bằng nhau không? Và HS cũng bác bỏ luôn giả thuyết khi kéo rê ngẫu nhiên điểm F và nhận thấy giá trị của góc giữa hai đường chéo và độ dài hai đường chéo không luôn bằng nhau. Trong quá trình kéo rê điểm F HS nhận thấy một trường hợp đặc biệt khi tứ giác EMCN là hình vuông (Hình1.7) thì diện tích tứ giác EMCN bằng 1
tứ giác ABCD không đổi. HS đưa ra giả thuyết “Diện tích tứ giác EMNC không đổi và bằng 1 2
4a ”. HS kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết bằng công cụ đo đạc tính toán và nhận thấy giả thuyết trên là đúng. HS tìm cách chứng minh giả thuyết trên.
Ta có cấu trúc ngoại suy như sau:
D: ? C: 1 2
4
EMCN
S a
W: ?
HS phải tìm kiếm dữ liệu để chứng minh cho kết luận 1 2 4
EMCN
S a . Dựa vào kéo rê vào trường hợp đặc biệt như trên HS suy nghĩ đến kẻ đường cao từ E xuống
BC và DC và đi chứng minh hai tam giác bằng nhau EMH và ENK (với H, K là chân đường cao hạ từ E xuống BC và DC) từ đó có được điều phải chứng minh.
Như vậy, nếu có năng lực quan sát biểu diễn trực quan để đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa HS sẽ dễ dàng khám phá được các tri thức mới, giải quyết được các dạng bài toán khó, nhất là các bài toán quỹ tích và các bài toán dạng kết thúc mở.
b, Thành tố 2: Khả năng phát hiện quy luật hay tính chất toán học nhờ việc sử dụng quy nạp
Khi phải khám phá một quy luật hay tính chất toán học để đưa ngay ra kết quả là một việc khó khăn. HS sử dụng ngoại suy để bước đầu khám phá giả thuyết mang tính thăm dò nhằm giải thích cho một số trường hợp đã biết. Sau đó HS mở rộng giả thuyết ngoại suy này bằng cách kiểm chứng cho các trường hợp chưa biết bằng suy luận quy nạp nhằm tăng cường tính có lí của các giả thuyết hay tiến hành một phép suy luận ngoại suy khác khi có một phản ví dụ hay khi tổng quát hóa nên là quá khó. Suy luận ngoại suy sẽ hỗ trợ suy luận quy nạp tìm ra một giả thuyết mang tính tổng quát hóa nhằm giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
Ví dụ 1.7. GV yêu cầu HS thực hiện theo nhóm cho biết “Có bao nhiêu cặp đối đỉnh được tạo ra bởi n đường thẳng phân biệt”.
HS thực hiện theo nhóm, kết quả của một nhóm HS như sau:
Hình 1.8. Bài làm của HS
Hình 1.9. Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy
Một số HS có thể đưa ra ngay câu trả lời, nhưng một số khác có thể sẽ cảm thấy giải bài toán trực tiếp là một nhiệm vụ khó khăn. HS có thể nghĩ đến giải các bài toán đơn giản hơn.
Với 1 đường thẳng, có 0 cặp góc đối đỉnh. Với 2 đường thẳng, có 2 cặp góc đối đỉnh: (1-3) và (2-4). Với 3 đường thẳng, có 6 cặp góc đối đỉnh: (1-4); (2-5); (3- 6);(1,2-4,5); (2,3-5,6) và (3,4-1,6). Tương tự với 4, 5, 6 đường thẳng có tương ứng 12, 20, 30 cặp góc đối đỉnh (Hình 1.9). Tổ chức dữ liệu vào bảng như sau:
Bảng 1.2. Bảng dữ liệu về số đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh tương ứng
Số đường thẳng 1 2 3 4 5 6 Số cặp góc đối đỉnh 0 2 6 12 20 30
HS cố gắng đề xuất một giả thuyết về mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được bằng suy luận ngoại suy, chẳng hạn như mối quan hệ giữa số cặp góc đối đỉnh mỗi khi số đường thẳng tăng thêm một:
Nhưng HS gặp khó khăn trong việc tổng quát hóa bằng quy nạp nên HS đã đưa ra giả thuyết ngoại suy khác về quan hệ giữa đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh được tạo ra: T n n. 1 trong đó T là số cặp góc được tạo thành bởi n đường thẳng. Sau đó HS phải sử dụng suy luận quy nạp để kiểm tra giả thuyết mình đưa ra.
Như vậy, ngoại suy khi kết hợp với quy nạp giúp HS đưa ra những giả thuyết mang tính tổng quát hóa, làm tiền đề cho việc khám phá các quy luật toán và mở rộng hơn là khám phá các tính chất, các định lí toán học cơ bản.
c, Thành tố 3: Khả năng xác định căn cứ ở mỗi bước lập luận
Đây là khả năng mà HS sử dụng căn cứ của mỗi bước lập luận trong trình bày lời giải bài toán. Các căn cứ chính là định nghĩa, định lý hay tiên đề được thừa nhận đưa vào trong các bước lập luận chứng minh của các em.
Ví dụ sau đây mô tả thảo luận của hai HS bằng phương pháp ghi âm để thấy các căn cứ mỗi bước lập luận trong chứng minh bài toán. Trong phân tích lập luận chúng tôi kí hiệu Di, Ci và Wi lần lượt là các luận cứ, kết luận và luận chứng.
Ví dụ 1.8. Cho tam giác ABC về phía ngoài tam giác dựng các tam giác ABD
và BCE vuông cân tại B. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE.
Lập luận của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin
1. Hoa: Mình vẽ hình trước nhé.
2. Quang: ừ.
3. Hoa: Hai tam giác này liệu có bằng nhau không nhỉ? Nếu bằng nhau thì
HS nhận thấy hai tam giác cần so sánh có hai cạnh bằng nhau
(BDBA) nên dựng hai đường cao EH và CK tương ứng.
có thể suy ra hai tam giác có diện tích bằng nhau.
4. Quang: ừ, nhưng mình thấy hai tam giác này không bằng nhau vì góc
ABC và góc DBE không bằng nhau?
5. Hoa: Hai tam giác này có hai cạnh cặp cạnh bằng nhau!
6. Quang: uh, nếu mình sử dụng công thức diện tích tam giác thì ta sẽ xét các đường cao tương ứng, BD với
AB có bằng nhau không? Có bằng nhau.
7. Hoa: ừ.
8. Quang: Giờ mình chỉ cần vẽ đường cao, hạ đường cao tương ứng với hai cạnh đáy nữa và so sánh chúng với nhau, là biết diện tích hai tam giác ABC và BDE.
9. Hoa: Đúng rồi, giờ ta đi dựng đường cao EH và CK.
10.Quang: Như vậy là có đáy bằng nhau rồi.
11.Hoa: giờ chỉ cần so sánh EH và
CK.
12.Quang: ừ.
13.Hoa: Liệu EH = CK không?
14.Quang: Mình đo EH = CK rồi đấy, đúng mà, nhưng mình phải kiểm chứng xem.
Hình vẽ của HS:
HS lập luận vì đáy bằng nhau nên cần so sánh hai đường cao EH và CK.
C1: Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BDE
D1: ? C1: ? W1: Công thức tính diện tích D1:BD AB; đường cao EH và CK D2: C2: EH = CK W2: ?
HS lập luận hai đường cao EH và CK bằng nhau bằng việc tìm kiếm các dữ liệu để xác minh hai tam giác BCK và tam giác BEH bằng nhau.
15. Hoa: Xem tam giác BCK với BEH
có bằng nhau không?
16.Quang: Có góc vuông này, cạnh huyền BE = BC theo giả thiết.
17.Hoa: Đúng rồi.
18.Quang: Giờ mình cần chứng minh thêm một cạnh hoặc một góc nữa bằng nhau.
19.Hoa: BH và BK chắc không được rồi, vậy chỉ còn xem góc có bằng nhau không?
20.Quang: Xem EBH và KBC
hoặc BEH và BCK.
21.Hoa: Đúng rồi, góc EBH và
KBC cùng bù với góc DBE nên suy ra EBH = KBC.
22.Quang: À, rồi như vậy ta đã chứng minh được hai góc bằng nhau suy ra hai tam giác bằng nhau.
23.Hoa: Như vậy hai cạnh bằng nhau dẫn đến diện tích hai tam giác bằng nhau.
Quang: OK
W3: Định lí các trường hợp bằng nhau của tam giác
D3: BC = BE, BHF = BKC = 900, ?EBH = KBC
D4: C4: EBH = KBC
W4: Quy tắc suy luận
D4: KBC + DBE = 1800; EBH + DBE = 1800.
Như vậy, HS đã chứng minh hai tam giác bằng nhau để giải quyết bài toán. Từ đó, HS bắt đầu bằng việc chứng minh hai cạnh của hai tam giác bằng nhau.
Ta thấy trong từng bước suy luận HS cần phải xác định được các căn cứ, căn cứ đúng mới có thể đưa ra hướng làm đúng, nếu các căn cứ sai thì dẫn đến chứng minh sai. Vì vậy GV cần rèn luyện cho HS luôn luôn xác định căn cứ trong các bước lập luận của mình.
d, Thành tố 4: Khả năng kiểm tra, đánh giá các giả thuyết dựa vào các suy luận
Trong quá trình HS lập luận để tìm ra cách giải quyết các vấn đề đặt ra HS sẽ