8. Cấu trúc của luận văn
2.2.1. Biện pháp 1: Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận ngoại suy
Biểu diễn trực quan động không chỉ cung cấp những hình ảnh động, trực quan để minh họa cho các ý tưởng toán học mà còn được thừa nhận như là một thành phần hỗ trợ cho suy luận. Thật vậy, với đặc điểm của phần mềm hình học động là bảo toàn các mối quan hệ và cấu trúc toán học đã được xác định trước giữa các đối tượng khi di chuyển, một vài mối quan hệ hình học có thể không được phát hiện khi quan sát hình vẽ ở dạng tĩnh nhưng lại xuất hiện khi HS tiến hành các thao tác lên biểu diễn trực quan động. Quá trình kéo rê cũng giúp HS nhận ra “sự chuyển động của các đối tượng hình học khác nhau là phụ thuộc lẫn nhau”. Sự phụ thuộc về mặt chuyển động này được chuyển thành mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng trong hình học Ơclit. Đây được xem là chìa khóa chính để giúp HS đề xuất các giả thuyết khi khám phá các bài toán hình học.
Không chỉ tạo cơ hội cho HS quan sát và đề xuất giả thuyết bằng suy luận ngoại suy, việc sử dụng biểu diễn trực quan động trên máy tính còn hỗ trợ hiệu quả
cho quá trình kiểm chứng và tổng quát hóa giả thuyết bằng suy luận quy nạp. Trong môi trường giấy bút, HS chỉ có thể minh họa cho tính đúng đắn của giả thuyết thông qua một vài trường hợp cụ thể. Trái lại, trong môi trường hình học động, chỉ với một vài thao tác lên biểu diễn trực quan động, HS đã có thể kiểm chứng giả thuyết bằng thực nghiệm thông qua một số lượng lớn các thử nghiệm toán học với các phản hồi chính xác và gần như ngay lập tức. Cũng trong quá trình thử nghiệm này, HS có thể nhận ra một giả thuyết bị bác bỏ tại thời điểm nào. Nói cách khác, vô số trường hợp khác nhau được thể hiện qua biểu diễn trực quan động một cách “liên tục” giúp HS hình dung được toàn bộ quá trình trung gian diễn ra như thế nào, từ đó dễ dàng tiếp cận trường hợp tổng quát hoặc chỉ ra ngay thời điểm ở đó xuất hiện một phản ví dụ.
Như vậy, mặc dù những giả thuyết được xây dựng và kiểm chứng với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động không thay thế được cho chuỗi suy luận diễn dịch dẫn đến các chứng minh toán học, nhưng nó định hướng và hỗ trợ tích cực cho quá trình khám phá và giải quyết vấn đề bằng suy luận ngoại suy.
Để giúp HS phát triển năng lực suy luận ngoại suy chúng ta có thể khai thác phần mềm dạy học trong quá trình dạy học Hình học ở một số khía cạnh như: GV đưa ra hình vẽ để HS quan sát, xác định các yếu tố ban đầu; GV tổ chức các hoạt động để HS quan sát, tương tác với phần mềm thay đổi một số yếu tố của hình vẽ, đo đạc, tính toán... để phát hiện ra những vị trí, những mối quan hệ bất biến của bài toán. Từ đó, đưa ra những dự đoán, sử dụng phần mềm dạy học để minh hoạ kết quả bài toán.
GV tổ chức cho HS các hoạt động theo các bước sau: - Bước 1: Khám phá ngẫu nhiên
- Bước 2: Phát hiện bất biến
- Bước 3: Đề xuất giả thuyết ngoại suy - Bước 4: Kiểm chứng giả thuyết
Việc khai thác sử dụng phần mềm dạy học một cách thích hợp trong quá trình dạy học, GV sẽ góp phần giúp HS phát triển khả năng quan sát những biểu diễn trực quan đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa, khả năng
xác định căn cứ ở mỗi bước lập luận của HS, khả năng phát hiện quy luật hay tính chất toán học nhờ việc sử dụng quy nạp.
Ví dụ 2.1. Cho tứ giác ABCD. Về phía ngoài của tứ giác dựng các hình vuông nhận AB, BC, CD, DA tương ứng làm cạnh của nó. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm của các hình vuông này. Trong trường hợp tổng quát, có nhận xét gì về tứ giác.
Hình 2.1
Ở bài tập này HS chưa xác định được kết luận cần chứng minh mà HS phải đi tìm kết luận đó. Dạng bài tập này là một dạng khá phức tạp đối với HS. GV sử dụng phần mềm toán học động GeoGebra như sau:
Bước 1: Khám phá ngẫu nhiên
Để HS phát hiện được kết quả bài toán GV sử dụng phần mềm hình học động kéo rê xem các đỉnh A, B, C, D một cách tùy ý. HS chú ý quan sát tìm ra các tính chất của tứ giác MNPQ. HS sẽ nhận thấy tứ giác MNPQ có rất nhiều hình dạng và chưa đưa ra được một đặc điểm đặc biệt nào của tứ giác MNPQ. GV có thể gợi ý HS chú ý vào các đường chéo của tứ giác MNPQ.
Bước 2: Phát hiện bất biến
HS quan sát và phát hiện ra tính chất của hai đường chéo của tứ giác MNPQ
“Hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau” và “giao điểm của AC và BD
trùng với giao điểm của MP và NQ”.
Bước 3: Đề xuất giả thuyết ngoại suy
HS đưa ra các giả thuyết “ Hai đường chéo vuông góc với nhau”, “giao điểm của AC và BD trùng với giao điểm của MP và NQ”, “MP và NQ luôn bằng nhau” . HS đưa ra 3 giả thuyết và ba giả thuyết này có cấu trúc ngoại suy như sau:
D: ? C: MPNQ D: ? C: MP=NQ
W: ? W: ?
D: ? C: M PNQ ACBD W: ?
Đây đều là các ngoại suy sáng tạo. HS phải đi tìm kiếm các dữ liệu để kiểm chứng các giả thuyết của mình.
Bước 4: Kiểm chứng giả thuyết
Hình 2.2
Để xác định được tính đúng đắn của giả thuyết GV hướng dẫn kéo rê ngẫu nhiên kết hợp với việc sử dụng các công cụ đo đạc, tính toán của phần mềm và nhận thấy “Hai đường chéo vuông góc với nhau”, “MP và NQ luôn bằng nhau” khi tứ giác MNPQ có các hình dạng khác nhau, lập tức bác bỏ giả thuyết “giao điểm của
AC và BD trùng với giao điểm của MP và NQ” khi kéo rê. HS dẫn đến kết luận “Tứ giác MNPQ có hai đường chéo vuông góc và có độ dài bằng nhau”.
Ví dụ 2.2. Dựng ra phía ngoài ABC các hình vuông ABFG, BCDE và
ACKH trên ba cạnh AB, BC và AC của tam giác ABC.
a) Đề xuất các mối quan hệ có thể giữa các tam giác BEF, CDK, AGH? b)Chứng minh các kết quả được đề xuất.
- Bước 1. Khám phá ngẫu nhiên: Trong môi trường hình học động, khi thực hiện kéo rê ngẫu nhiên các đỉnh A, B, C đến các vị trí khác nhau và quan sát, HS loại bỏ giả thuyết các tam giác BEF, CDK, AGH bằng nhau hay đồng dạng.
Hình 2.3. HS đưa ra giả thuyết từ các trường hợp cụ thể
- Bước 2. Phát hiện bất biến: HS tiếp tục thao tác trên biểu diễn trực quan của bài toán và đan xen sử dụng suy luận ngoại suy, quy nạp cùng với các công cụ trợ giúp của phần mềm hình học động để khám phá những mối quan hệ khác giữa các tam giác BEF, CDK, AGH. Chẳng hạn, khi thực hiện kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với đỉnh A sao cho tam giác ABC đều và quan sát thấy các tam giác
BEF, CDK, AGH ở các vị trí bằng nhau, HS có thể nghĩ đến giả thuyết ngoại suy: “Diện tích các tam giác BEF, CDK, AGH bằng nhau”. Tương tự, khi thực hiện kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với đỉnh A sao cho tam giác ABC vuông tại B và quan sát thấy các tam giác BEF, ABC ở các vị trí bằng nhau, HS đưa ra giả thuyết: “Diện tích tam giác BEF bằng diện tích tam giác ABC”.
- Bước 3. Đề xuất giả thuyết bằng suy luận ngoại suy: HS đi đến một giả thuyết tổng quát hơn: “Diện tích các tam giác BEF, CDK, AGH không chỉ bằng nhau mà còn bằng diện tích tam giác ABC”.
- Bước 4. Kiểm chứng bác bỏ giả thuyết: HS tiến hành kiểm chứng giả thuyết này bằng cách kéo rê ngẫu nhiên các điểm A, B, C cho di chuyển tự do trong mặt phẳng và sử dụng công cụ tính diện tích của phần mềm hình học động đối với các tam giác ABC, BEF, CDK, AGH.
Ví dụ 2.3. Cho đường (O) trên đường tròn đó lấy hai điểm cố định B, C và điểm A di động. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A thay đổi trên đường tròn.
Bước 1: Khám phá ngẫu nhiên
GV kéo rê điểm A về các vị trí đặc biệt yêu cầu HS quan sát. HS sẽ nhận thấy điểm A đối xứng với C qua tâm O thì điểm H trùng với điểm B, điểm A đối xứng với điểm B qua tâm O thì điểm H trùng với điểm C (Hình 2.4).
Hình 2.4
Bước 2: Phát hiện bất biến
Hình 2.5
HS nhận thấy điểm B, C đều nằm trên đường tròn tâm O. GV kéo A đến vị trí chính giữa của cung BC HS nhận thấy H không nằm trên đường thẳng BC, H nằm
trên đường kính, HS nhận thấy IH=IH’. HS kéo điểm A đi vị trí khác và HS cũng nhận thấy IH=IH’ với H’ là giao điểm của của AH và (O), I là giao điểm của AH
với dây cung BC.
Bước 3: Đề xuất giả thuyết bằng suy luận ngoại suy
Từ những phát hiện trên HS đưa ra giả thuyết ngoại suy “Tập hợp điểm H
D: ? C: Tập hợp điểm H nằm trên một đường tròn W: ?
HS cần đi tìm kiếm dữ liệu để giải thích kết luận trên.
Bước 4: Kiểm chứng giả thuyết
Hình 2.6
GV giúp HS kiểm chứng lại giả thuyết bằng phần mềm bằng cách cho phần mềm chạy tìm quỹ tích của điểm H (Hình 2.6).