Biện pháp 3: Rèn luyện các kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy

8. Cấu trúc của luận văn

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện các kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy

Để rèn luyện cho HS khả năng dự đoán đưa ra các giả thuyết các tính chất, quy luật, các định lí, tự mình phát hiện ra vấn đề khi giải các bài tập cần rèn luyện cho HS các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa…

-Phân tích là tách một hệ thống thành các vật, một vật thành các bộ phận. Phân tích còn là việc tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm và cái đã cho, giữa cái chưa biết và cái đã biết.

-Tổng hợp là liên kết các bộ phận thành một vật, các vật thành một hệ thống. Tổng hợp còn là việc tìm mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, giữa cái đã cho và cái phải tìm.

-So sánh là xác định sự giống và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng. -Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang tập lớn hơn tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.

-Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập đã cho.

-Trừu tượng hóa là nêu bật, tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất.

Có thể cho HS rèn luyện các thao tác tư duy theo các bước sau: - Bước 1: Sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra giả thuyết ngoại suy - Bước 2: Đưa ra giả thuyết ngoại suy

- Bước 3: Kiểm tra giả thuyết - Bước 4: Trình bày lời giải - Bước 5: Nghiên cứu sâu lời giải

Biện pháp có thể giúp HS phát triển khả năng xác định căn cứ ở mỗi bước lập luận của HS, khả năng kiểm tra đánh giá các giả thuyết dựa vào các suy luận,

khả năng chuyển từ lập luận ngoại suy sang chứng minh hình học.

Ví dụ 2.8. Cho đường tròn (O), trên đường kính AB kéo dài lấy một điểm M, từ M vẽ tiếp tuyến MT, từ T vẽ dây cung TR vuông góc với AB. Trên cát tuyến đi

qua M cắt dây cung TR ở P lấy điểm Q sao cho 2 .

MP MQ  MT . Tìm quỹ tích P khi

Q chạy trong đoạn TR.

Bước 1: Sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra giả thuyết ngoại suy

Xét đẳng thức 2 .

MP MQ  MT có M, T cố định nên khi di động trên MT thì kéo theo sự di động của Q. Để tìm được quỹ tích bài toán HS cần dự đoán một số vị trí của Q khi P di chuyển trên TR nhờ vào xét các trường hợp đặc biệt sau:

-Khi P trùng với T thì 2

. .

MP MQ MT MQ  MT . Do đó Q trùng T. Vậy T

là điểm thuộc quỹ tích.

-Khi P trùng R thì 2

. .

MP MQ MR MQ MT . Do đó Q trùng R. Vậy R là một điểm thuộc quỹ tích.

-Khi P trùng với I (I  ABTR) thì MT2 MI MO. (OTM vuông tại T) nên

Q trùng O.

Bước 2: Đưa ra giả thuyết ngoại suy

Dựa vào các vị trí trên HS đưa ra giả thuyết ngoại suy “Quỹ tích là cung tròn” vì O, T, R không thẳng hàng nên quỹ tích không thể là đường thẳng mà quỹ tích Q là cung tròn thì phải đi qua 3 điểm O, T, R. Từ đó HS suy nghĩ tiếp nếu là cung tròn thì có thể là cung tròn nào.

HS có thể đưa ra hai giả thuyết ngoại suy thứ nhất: “Quỹ tích điểm Q là đường tròn nhận TR làm đường kính”, thứ hai là: “Quỹ tích là đường tròn nhận OM

là đường kính”.

Bước 3: Kiểm tra giả thuyết

HS có thế bác bỏ ngay giả thuyết “Quỹ tích điểm Q là đường tròn nhận TR

làm đường kính” vì khi đó TQR90o. Điều này là vô lí vì điểm M trên AB được kéo dài tùy ý, khả năng thứ nhất không xảy ra nên ta tập trung vào khả năng thứ hai.

Giả thuyết thứ hai có cấu trúc ngoại suy:

C: ? D: Q thuộc đường tròn đường kính OM. W: ?

HS phải đi tìm luận chứng và luận cứ để chứng minh kết luận trên: Vì OM cố định nên ta nghĩ tới MQO90o. Giả sử điều này xảy ra thì PIO90o tức là

C: ? D: PIOQ nội tiếp W: ?

Để ý rằng MT2 MI MO. nhưng theo giả thiết 2 .

MP MQ  MT . Do đó

. .

MP MQMI MO. Từ đó tứ giác PIOQ nội tiếp đường tròn đường kính PO. Rõ ràng Q nhìn OM cố định dưới một góc vuông.

Bước 4: Trình bày lời giải

GV chú ý cho HS để chứng minh được Q thuộc đường tròn đường kính OM

HS phải xuất phát từ chứng minh tứ giác PIOQ nội tiếp. Vì P nằm trên TR nên quỹ tích là cung tròn TOR của đường tròn đường kính OM.

Bước 5: Nghiên cứu sâu lời giải

GV có thể gợi ý cho HS phát triển bài toán từ bài toán trên.

Bài toán mở rộng: Cho đường tròn (O), trên đường kính AB kéo dài lấy một điểm M, từ M vẽ tiếp tuyến MT, từ T vẽ dây cung TR vuông góc với AB. Trên cát

tuyến đi qua M cắt dây cung TR ở P lấy điểm Q sao cho 2

.

MP MQ MT . Tìm quỹ tích P khi Q chạy trong đoạn TR.

Ví dụ 2.9. Tìm mối quan hệ giữa số đo của góc nội tiếp và số đo cung bị chắn bởi góc đó.

Bước 1: Sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra giả thuyết ngoại suy

HS có thể chưa có cơ sở để đoán được mối quan hệ giữa góc nội tiếp và cung chắn góc đó.

Có thể hướng dẫn HS đặc biệt hóa làm một trường hợp đặc biệt Trường hợp 1:

Hình 2.13

Tâm O nằm trên một cạnh của góc BAC . Áp dụng định lí về góc ngoài của tam giác OAC cân ta có 1

2

BAC BOC

   , mà góc ở tâm BOC chắn cung nhỏ

BC nên 1 2

BAC

  sđBC.

Bước 2: Đưa ra giả thuyết ngoại suy

Sau khi HS so sánh được trong trường hợp đặc biệt HS sẽ đưa ra dự đoán: “số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn”.

Bước 3: Kiểm tra giả thuyết

Để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết HS sẽ chứng minh trong các trường hợp tổng quát hơn.

Trường hợp 2:

Hình 2.14

Tâm O nằm trong gócBAC. Kẻ đường kính AD ta có

BAD DAC BAC

     , mà sđ BC =sđBD +sđDC. Theo trường hợp 1 ta có 1 2 BAD   sđBD, 1 2 DAC   sđDC. Cộng vế ta có 1 2 BAC   sđBC.

Trường hợp 3:

Hình 2.15

Tâm O nằm bên ngoài BAC . Kẻ đường kính AD ta có

BAC DAC BAD

     , mà sđBD =sđBC +sđDC. Theo trường hợp 1 ta có  1 2 BAD sđBD,  1 2 DAC  sđDC. Trừ vế ta có 1 2 BAC   sđBC.

Bước 4: Trình bày lời giải

GV hướng dẫn HS tổng quát cả ba trường hợp ta có định lí về góc nội tiếp và số đo cung bị chắn: “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn”.

Bước 5: Nghiên cứu sâu lời giải

Vận dụng định lí để giải các bài tập về góc và đường tròn. Sử dụng phép tương tự để yêu cầu HS chứng minh định lí sau: “Số đo của góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn”.

Ví dụ 2.10. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý của tam giác đều đến các cạnh của nólà không đổi. (Hình 2.16)

Bước 1: Sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra giả thuyết ngoại suy.

Trước hết ta tìm khoảng cách không đổi ở đây là gì?

Ta đặc biệt hóa cho M trùng với A ta có tổng khoảng cách cần tìm là AH.

Bước 2: Đưa ra giả thuyết ngoại suy

HS đưa ra giả thuyết ngoại suy “ tổng khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác đều không đổi và chính bằng độ dài đoạn AH”.

Bước 3: Kiểm tra giả thuyết

Để kiểm chứng xem giả thuyết đó có đúng không HS cần phải đi chứng minh với trường hợp M bất kì.

Hình 2.17

Trước hết cho M nằm trên cạnh AC (M không trùng với các đỉnh) (Hình 2.17). Cần chứng minh MI + MJ = AH.

D: ? C: MI + MJ = AH W: ?

HS không suy ra trực tiếp được kết luận HS suy nghĩ đến việc cần tạo ra các đoạn thẳng bằng các đoạn thẳng MI, MJ trên AH sao cho tổng khoảng cách chính bằng đoạn AH. Ta kẻ ML BC ,MLAH  P HS cần chứng minh MI=AP ,

D: ? C: MI=AP, MJ=PH

W: ?

HS phải tìm luận cứ và căn cứ để chứng minh kết luận trên. HS đi chứng minh AMN đều và tứ giác PMJH là hình bình hành.

Hình 2.18

Trong trường hợp tổng quát M thuộc miền trong của tam giác (hình 2.18). Tương tự như trường hợp đặc biệt trên ta vẽ PQ qua M và song song với BC, PQ cắt

AH tại L. Vận dụng trường đặc biệt trên APQ ta có MI +MK =AL còn MJ=LH từ đó có điều phải chứng minh.

Bước 4: Trình bày lời giải

GV lưu ý cho HS để trình bày lời giải ta phải đi chứng minh trong trường hợp M nằm trên cạnh AC trước sau đó mới chứng minh trong trường hợp tổng quát.

Bước 5: Nghiên cứu sâu lời giải

GV có thể cho HS dự đoán về tổng khoảng cách từ một điểm bất kì đến các cạnh của hình vuông và mở rộng hơn là đến các cạnh của một đa giác đều.

Ví dụ 2.12.

Bài toán: Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, AA’, BB’,

CC’là các đường cao. So sánh tổng

' ' '

AH BH CH

Hình 2.19

Bước 1: Sử dụng các thao tác tư duy để đưa ra giả thuyết ngoại suy

HS đặc biệt hóa trong trường hợp tam giác ABC đều thì 6

' ' '

AH BH CH

A H  B H C H  .

Bước 2: Đưa ra giả thuyết ngoại suy

HS có thể đưa ra giả thuyết 6

' ' '

AH BH CH

A H B H C H  và đi chứng minh giả

thuyết trên. GV cần chú ý cho HS có thể sử dụng phần mềm hoặc đo đạc trực tiếp điều này không luôn đúng và HS có thể nhận ra được 6

' ' '

AH BH CH

A H  B H C H  . HS

lại tiếp tục đưa ra giả thuyết 6

' ' '

AH BH CH

A H  B H C H  . Bước 3:Kiểm tra giả thuyết

GV hướng dẫn HS đưa về các tỉ số giữa các đường cao. Mà tỉ số về các đường cao chính là các tỉ số về diện tích các tam giác để chứng minh.

' ' '

3 3

' ' ' ' ' '

ABC ABC ABC

BHC AHC AHB

S S S

AH BH CH AA BB CC

A H  B H C H  A H  B H  C H   S  S  S 

Nếu chứng minh được ABC ABC ABC 9

BHC AHC AHB S S S S S S       

  thì có điều phải chứng minh.

Mà ABC ABC ABC BHC AHC AHB 9

BHC AHC AHB ABC ABC ABC

S S S S S S S S S S S S              

Vì SBHCSAHCSAHB SABC  ABC ABC ABC 9

BHC AHC AHB S S S S S S         

Bước 4: Trình bày lời giải

GV hướng dẫn HS chứng minh theo cấu trúc suy diễn

' ' '

3 3

' ' ' ' ' '

ABC ABC ABC

BHC AHC AHB

S S S

AH BH CH AA BB CC

A H  B H C H  A H  B H  C H   S  S  S  (1)

Mặt khác ABC ABC ABC BHC AHC AHB 9

BHC AHC AHB ABC ABC ABC

S S S S S S S S S S S S              

Vì SBHCSAHCSAHB SABC  ABC ABC ABC 9

BHC AHC AHB S S S S S S          (2) Từ (1) và (2) ta có 6 ' ' ' AH BH CH A H  B H C H  Bước 5:Nghiên cứu sâu lời giải

Sau khi chứng minh được bài toán hoàn toàn tương tự HS suy nghĩ hệ thức còn đúng nếu AA’, BB’, CC’ là các đường trung tuyến, các đường phân giác ta có các bài toán mới.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi G là giao điểm của ba đường trung tuyến

AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng 6 'G 'G 'G

AG BG CG A  B C  .

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, gọi I là giao điểm của ba đường phân giác

AA’, BB’,CC’. Chứng minh rằng 6 'I 'I 'I

AI BI CI A B C  .

Từ đó HS có thể đề xuất một bài toán mới tổng quát hơn.

Bài toán 3: Cho tam giác ABC, O là một điểm bất kì trong tam giác, kéo dài

OA, OB,OC cắt các cạnh đối diện của tam giác lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh

rằng 6

'O 'O 'O

AO BO CO A  B C  .