Biện pháp 2: Xây dựng một số bài toán hình học kết thúc mở hỗ trợ suy

8. Cấu trúc của luận văn

2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng một số bài toán hình học kết thúc mở hỗ trợ suy

luận ngoại suy

Theo Mogetta, một bài toán hình học kết thúc mở được nhận ra bởi các đặc điểm sau [30]:

- Phát biểu bài toán thường chỉ là những mô tả rất ngắn gọn về các bước dựng hình theo trình tự và không đề nghị bất cứ một phương pháp giải cụ thể nào.

- Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống như “Chứng minh rằng…”, các bài toán hình học kết thúc mở thường yêu cầu HS tự đề xuất giả thuyết. Các câu hỏi của bài toán thường được diễn đạt dưới dạng: “Em tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình … có thể trở thành những hình dạng nào…?”.

- Trong khi các bài toán truyền thống yêu cầu HS chứng minh một kết quả đúng đã được khẳng định từ trước, các bài toán hình học kết thúc mở chứa đựng yếu tố mở theo quan điểm khuyến khích suy nghĩ “phân kì” của HS. HS được tự do

khám phá và suy luận để đưa ra nhiều giả thuyết khác nhau, đánh giá chúng để chọn một giả thuyết tốt nhất trước khi tìm kiếm con đường chứng minh. Do đó, ngay cả khi bài toán được xem là chỉ có một câu trả lời đúng, nó cũng đem lại một hướng tiếp cận “mở” cho HS ngay từ đầu qua việc tạo điều kiện cho các em thoải mái thể hiện năng lực toán học ở các mức độ khác nhau tùy theo trình độ của từng cá nhân. Cấu trúc của các câu hỏi trong bài toán kết thúc mở cũng ủng hộ HS khảo sát tất cả các tùy chọn có thể xảy ra cho một câu trả lời, chẳng hạn: “Trong điều kiện… thì hình… trở thành…”, “Hình… có thể trở thành những hình dạng…”.

Bài toán kết thúc mở giúp HS được tự do khám phá và suy luận để đưa ra nhiều giả thuyết khác nhau, đánh giá chúng để chọn một giả thuyết tốt nhất trước khi tìm kiếm con đường chứng minh.

Biện pháp này giúp HS phát triển khả năng quan sát những biểu diễn trực quan đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa, khả năng xác định căn cứ ở mỗi bước lập luận của HS, khả năng chuyển từ lập luận ngoại suy sang chứng minh hình học.

Ví dụ 2.4. Cho tam giác ABC về phía ngoài tam giác dựng các tam giác ABD

và BCE vuông cân tại B. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE.

Hình 2.7

Đây là dạng bài toán kết thúc mở HS chưa biết được kết luận cần chứng minh. HS phải đưa ra giả thuyết ngoại suy và sử dụng suy luận ngoại suy để chứng minh được giả thuyết.

C1: Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BDE

D1: ? C1: ? D2: ? C2: EH = CK

W1: Công thức tính diện tích W2: ? D1:BD =AB; đường cao EK và CK

D3: ? C3: BCK = BEH

W3: Định lí các trường hợp bằng nhau của tam giác D3: BC = BE, BHF = BKC = 900,

?EBH = KBC

D4: C4: EBH = KBC

W4: Quy tắc suy luận D4: KBC + DBE = 1800; EBH + DBE = 1800.

HS nhận thấy đáy của hai tam giác ABC và BDE bằng nhau nên HS suy nghĩ đến dựng đường cao từ E và C xuống các đáy BD và AB. Để chứng minh diện tích hai tam giác bằng nhau HS lập luận chứng minh hai đường cao bằng nhau. Để chứng minh hai đường cao bằng nhau cần chứng minh hai tam giác chứa hai đường cao bằng nhau. Và để chứng minh hai tam giác bằng nhau cần chứng minh hai góc

EBH = KBC. Khi trình bày lời giải bài toán HS sử dụng suy ngược lùi để chuyển sang chứng minh suy diễn.

Để giải quyết bài toán HS phải sử dụng suy luận ngoại suy để đưa ra kết luận cần chứng minh “Diện tích hai tam giác ABC và BDE bằng nhau”. Trong quá trình tìm con đường giải quyết HS chọn những cách giải đơn giản phù hợp để giải. Sau khi giải quyết xong bài toán HS có thể đặt ra các vấn đề: “Còn cách nào khác không”, “Nếu dựng ra ngoài các tứ trên ba cạnh của tam giác thì các tam giác tạo thành có mối quan hệ gì?”,…

Ví dụ 2.5. Trên trang hình GeoGebra, dựng nửa đường tròn đường kính AB =

a + b; C là một điểm di động trên AB sao cho AC = a; BC = b. Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại M. Cho HS thay đổi vị trí của C trên đoạn AB và quan sát hình cho biết

Hình 2.8

a) Tìm điều kiện của a, b để MC =OM ? Giải thích? Cấu trúc ngoại suy:

D: ? C: MC =OM

W:?

Để tìm được a, b để MC =OM, HS cần đi tìm kiếm dữ liệu để đưa ra kết luận. HS suy nghĩ đến tính MC và OM theo a, b. HS tính được MC  ab theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, 1

2 2

a b

MC MO AB  do tam giác MOC vuông tại

C. Như vậy ta có

2

a b

ab   . Để MC=MO HS kéo rê C O và nhận thấy ab. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống OM GV yêu cầu HS.

Hình 2.9

b)Tìm điều kiện của a, b để MCMH? Giải thích?

Tương tự như trên HS phải đi tính MH và MC. HS sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO suy ra MH 2ab

a b



 . Từ tính chất trong tam giác vuông

MHC luôn cóMH MC, HS suy ra biểu thức 2ab ab

ab  . Dấu bằng xảy ra

Qua ví dụ trên ta có mối quan hệ 2a 2 b a b ab a b   

 , dấu bằng xảy ra khi

ab.

Như vậy, biểu diễn trực quan không chỉ được sử dụng với mục đích minh họa, các biểu diễn trực quan này có thể được dùng để thách thức HS tiến hành các suy luận và giải thích. Ví dụ trên minh họa cho việc xây dựng một bài toán kết thúc mở để phát hiện mối liên hệ giữa các giá trị trung bình cộng, trung bình nhân và

trung bình điều hòa của hai số không âm a, b thông qua biểu diễn trực quan của các giá trị này.

Việc khám phá những tri thức mới là thế mạnh của suy luận ngoại suy. Tình huống đưa ra cho HS cần chứa những chướng ngại, khó khăn đòi hỏi các em phải tiến hành hoạt động thích ứng với môi trường và qua đó kiến tạo tri thức mới.

Ví dụ 2.6. Để hình thành khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác GV cho HS làm bài tập “Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác; D, E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, AC,AB. Nhận xét về mối quan hệ giữa 3 điểm D, E, F”.

Những bài tập gắn với thực tiễn cũng giúp HS phát triển năng lực suy luận ngoại suy:

Ví dụ 2.7. Nêu các phương án để đo chiều cao của cột mà không phải leo lên đỉnh cột hình.

Hình 2.10

Với dạng bài toán kết thúc mở gắn với thực tế HS có thể đưa ra các phương án khác nhau để đo chiều cao của cột và khi đưa ra các phương án HS phải sử dụng

lập luận ngoại suy để chọn phương án của mình và tìm các dữ liệu để đưa ra các bước thực hiện các phương án đó. Chẳng hạn HS có thể sử dụng tam giác đồng dạng để đo chiều cao của cột. HS phải suy luận cần làm những bước nào mới tính được chiều cao của cột.

Hình 2.11

Các bước như sau:

-Đặt cọc AC thẳng đứng (vuông góc với mặt đất).

-Điều khiển thước ngắm sao cho đi qua đỉnh C’ của tháp. Sau đó xác định giao điểm B của AA’ với CC.

-Đo AA’, AB và chiều cao cọc AC. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính chiều cao của cọc.