8. Cấu trúc của luận văn
1.5.2. Các thành tố của năng lực suy luận ngoại suy
Thông qua nghiên cứu về năng lực suy luận, suy luận ngoại suy kết hợp với quá trình thực nghiệm, phân tích suy luận của các nhóm HS, từ đó có thể đề xuất lăm thành tố của năng lực suy luận ngoại suy:
a, Thành tố 1: Khả năng quan sát những biểu diễn trực quan đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa
Theo Arcavi (2003): Trực quan hóa là quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh sơ đồ…) trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ. Trực quan hóa nhằm mô tả giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để hiểu. Các biểu diễn trực quan như hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu được xem là công cụ để trực quan hóa nhằm giúp HS hiểu được các đối tượng trừu tượng. Biểu diễn trực quan được thừa nhận như là một thành phần chính của suy luận ngoại suy. Nó định hướng và hỗ trợ tích cực cho quá trình giải quyết vấn đề. Đặc biệt là biểu
diễn trực quan động với sự hỗ trợ của máy tính đã và đang có nhiều đóng góp trong việc khám phá tri thức mới [29].
Trong môi trường học tập với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động HS có điều kiện để tiến hành các thử nghiệm toán học thông qua thao tác trên các đối tượng được biểu diễn. Với các kết quả quan sát được cho các trường hợp riêng, HS vận dụng các suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy để đưa ra các phỏng đoán, đề xuất các giả thuyết, khám phá các quy luật và mối quan hệ mới, hay xây dựng các lí giải.
Ví dụ 1.6. Cho hai hình vuông ABCD và EFGH cạnh a, được đặt sao cho đỉnh E trùng với tâm của ABCD còn đình F có thể di chuyển được. Khi di chuyển F
nhận xét về phần giao của hai hình vuông.
Hình 1.6 Hình 1.7
Đầu tiên HS quan sát hình vẽ và sẽ suy nghĩ đến hình dạng của tứ giác
EMCN có phải là tứ giác đặc biệt không? Và HS sẽ bác bỏ ngay giả thuyết này khi kéo rê vị trí của điểm F. HS tiếp tục quan sát suy nghĩ và đưa ra giả thuyết về mối quan hệ giữa hai đường chéo của tứ giác trên liệu có vuông góc hoặc bằng nhau không? Và HS cũng bác bỏ luôn giả thuyết khi kéo rê ngẫu nhiên điểm F và nhận thấy giá trị của góc giữa hai đường chéo và độ dài hai đường chéo không luôn bằng nhau. Trong quá trình kéo rê điểm F HS nhận thấy một trường hợp đặc biệt khi tứ giác EMCN là hình vuông (Hình1.7) thì diện tích tứ giác EMCN bằng 1
tứ giác ABCD không đổi. HS đưa ra giả thuyết “Diện tích tứ giác EMNC không đổi và bằng 1 2
4a ”. HS kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết bằng công cụ đo đạc tính toán và nhận thấy giả thuyết trên là đúng. HS tìm cách chứng minh giả thuyết trên.
Ta có cấu trúc ngoại suy như sau:
D: ? C: 1 2
4
EMCN
S a
W: ?
HS phải tìm kiếm dữ liệu để chứng minh cho kết luận 1 2 4
EMCN
S a . Dựa vào kéo rê vào trường hợp đặc biệt như trên HS suy nghĩ đến kẻ đường cao từ E xuống
BC và DC và đi chứng minh hai tam giác bằng nhau EMH và ENK (với H, K là chân đường cao hạ từ E xuống BC và DC) từ đó có được điều phải chứng minh.
Như vậy, nếu có năng lực quan sát biểu diễn trực quan để đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa HS sẽ dễ dàng khám phá được các tri thức mới, giải quyết được các dạng bài toán khó, nhất là các bài toán quỹ tích và các bài toán dạng kết thúc mở.
b, Thành tố 2: Khả năng phát hiện quy luật hay tính chất toán học nhờ việc sử dụng quy nạp
Khi phải khám phá một quy luật hay tính chất toán học để đưa ngay ra kết quả là một việc khó khăn. HS sử dụng ngoại suy để bước đầu khám phá giả thuyết mang tính thăm dò nhằm giải thích cho một số trường hợp đã biết. Sau đó HS mở rộng giả thuyết ngoại suy này bằng cách kiểm chứng cho các trường hợp chưa biết bằng suy luận quy nạp nhằm tăng cường tính có lí của các giả thuyết hay tiến hành một phép suy luận ngoại suy khác khi có một phản ví dụ hay khi tổng quát hóa nên là quá khó. Suy luận ngoại suy sẽ hỗ trợ suy luận quy nạp tìm ra một giả thuyết mang tính tổng quát hóa nhằm giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
Ví dụ 1.7. GV yêu cầu HS thực hiện theo nhóm cho biết “Có bao nhiêu cặp đối đỉnh được tạo ra bởi n đường thẳng phân biệt”.
HS thực hiện theo nhóm, kết quả của một nhóm HS như sau:
Hình 1.8. Bài làm của HS
Hình 1.9. Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy
Một số HS có thể đưa ra ngay câu trả lời, nhưng một số khác có thể sẽ cảm thấy giải bài toán trực tiếp là một nhiệm vụ khó khăn. HS có thể nghĩ đến giải các bài toán đơn giản hơn.
Với 1 đường thẳng, có 0 cặp góc đối đỉnh. Với 2 đường thẳng, có 2 cặp góc đối đỉnh: (1-3) và (2-4). Với 3 đường thẳng, có 6 cặp góc đối đỉnh: (1-4); (2-5); (3- 6);(1,2-4,5); (2,3-5,6) và (3,4-1,6). Tương tự với 4, 5, 6 đường thẳng có tương ứng 12, 20, 30 cặp góc đối đỉnh (Hình 1.9). Tổ chức dữ liệu vào bảng như sau:
Bảng 1.2. Bảng dữ liệu về số đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh tương ứng
Số đường thẳng 1 2 3 4 5 6 Số cặp góc đối đỉnh 0 2 6 12 20 30
HS cố gắng đề xuất một giả thuyết về mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được bằng suy luận ngoại suy, chẳng hạn như mối quan hệ giữa số cặp góc đối đỉnh mỗi khi số đường thẳng tăng thêm một:
Nhưng HS gặp khó khăn trong việc tổng quát hóa bằng quy nạp nên HS đã đưa ra giả thuyết ngoại suy khác về quan hệ giữa đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh được tạo ra: T n n. 1 trong đó T là số cặp góc được tạo thành bởi n đường thẳng. Sau đó HS phải sử dụng suy luận quy nạp để kiểm tra giả thuyết mình đưa ra.
Như vậy, ngoại suy khi kết hợp với quy nạp giúp HS đưa ra những giả thuyết mang tính tổng quát hóa, làm tiền đề cho việc khám phá các quy luật toán và mở rộng hơn là khám phá các tính chất, các định lí toán học cơ bản.
c, Thành tố 3: Khả năng xác định căn cứ ở mỗi bước lập luận
Đây là khả năng mà HS sử dụng căn cứ của mỗi bước lập luận trong trình bày lời giải bài toán. Các căn cứ chính là định nghĩa, định lý hay tiên đề được thừa nhận đưa vào trong các bước lập luận chứng minh của các em.
Ví dụ sau đây mô tả thảo luận của hai HS bằng phương pháp ghi âm để thấy các căn cứ mỗi bước lập luận trong chứng minh bài toán. Trong phân tích lập luận chúng tôi kí hiệu Di, Ci và Wi lần lượt là các luận cứ, kết luận và luận chứng.
Ví dụ 1.8. Cho tam giác ABC về phía ngoài tam giác dựng các tam giác ABD
và BCE vuông cân tại B. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE.
Lập luận của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin
1. Hoa: Mình vẽ hình trước nhé.
2. Quang: ừ.
3. Hoa: Hai tam giác này liệu có bằng nhau không nhỉ? Nếu bằng nhau thì
HS nhận thấy hai tam giác cần so sánh có hai cạnh bằng nhau
(BDBA) nên dựng hai đường cao EH và CK tương ứng.
có thể suy ra hai tam giác có diện tích bằng nhau.
4. Quang: ừ, nhưng mình thấy hai tam giác này không bằng nhau vì góc
ABC và góc DBE không bằng nhau?
5. Hoa: Hai tam giác này có hai cạnh cặp cạnh bằng nhau!
6. Quang: uh, nếu mình sử dụng công thức diện tích tam giác thì ta sẽ xét các đường cao tương ứng, BD với
AB có bằng nhau không? Có bằng nhau.
7. Hoa: ừ.
8. Quang: Giờ mình chỉ cần vẽ đường cao, hạ đường cao tương ứng với hai cạnh đáy nữa và so sánh chúng với nhau, là biết diện tích hai tam giác ABC và BDE.
9. Hoa: Đúng rồi, giờ ta đi dựng đường cao EH và CK.
10.Quang: Như vậy là có đáy bằng nhau rồi.
11.Hoa: giờ chỉ cần so sánh EH và
CK.
12.Quang: ừ.
13.Hoa: Liệu EH = CK không?
14.Quang: Mình đo EH = CK rồi đấy, đúng mà, nhưng mình phải kiểm chứng xem.
Hình vẽ của HS:
HS lập luận vì đáy bằng nhau nên cần so sánh hai đường cao EH và CK.
C1: Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BDE
D1: ? C1: ? W1: Công thức tính diện tích D1:BD AB; đường cao EH và CK D2: C2: EH = CK W2: ?
HS lập luận hai đường cao EH và CK bằng nhau bằng việc tìm kiếm các dữ liệu để xác minh hai tam giác BCK và tam giác BEH bằng nhau.
15. Hoa: Xem tam giác BCK với BEH
có bằng nhau không?
16.Quang: Có góc vuông này, cạnh huyền BE = BC theo giả thiết.
17.Hoa: Đúng rồi.
18.Quang: Giờ mình cần chứng minh thêm một cạnh hoặc một góc nữa bằng nhau.
19.Hoa: BH và BK chắc không được rồi, vậy chỉ còn xem góc có bằng nhau không?
20.Quang: Xem EBH và KBC
hoặc BEH và BCK.
21.Hoa: Đúng rồi, góc EBH và
KBC cùng bù với góc DBE nên suy ra EBH = KBC.
22.Quang: À, rồi như vậy ta đã chứng minh được hai góc bằng nhau suy ra hai tam giác bằng nhau.
23.Hoa: Như vậy hai cạnh bằng nhau dẫn đến diện tích hai tam giác bằng nhau.
Quang: OK
W3: Định lí các trường hợp bằng nhau của tam giác
D3: BC = BE, BHF = BKC = 900, ?EBH = KBC
D4: C4: EBH = KBC
W4: Quy tắc suy luận
D4: KBC + DBE = 1800; EBH + DBE = 1800.
Như vậy, HS đã chứng minh hai tam giác bằng nhau để giải quyết bài toán. Từ đó, HS bắt đầu bằng việc chứng minh hai cạnh của hai tam giác bằng nhau.
Ta thấy trong từng bước suy luận HS cần phải xác định được các căn cứ, căn cứ đúng mới có thể đưa ra hướng làm đúng, nếu các căn cứ sai thì dẫn đến chứng minh sai. Vì vậy GV cần rèn luyện cho HS luôn luôn xác định căn cứ trong các bước lập luận của mình.
d, Thành tố 4: Khả năng kiểm tra, đánh giá các giả thuyết dựa vào các suy luận
Trong quá trình HS lập luận để tìm ra cách giải quyết các vấn đề đặt ra HS sẽ đưa ra các giả thuyết dựa trên quan sát của mình, các giả thuyết có thể đúng có thể sai. HS cần phải hiểu và áp dụng các quy tắc như các tam đoạn luận phổ biến, quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến… để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết mình đặt ra. Nếu giả thuyết đúng HS sẽ tiếp tục con đường đó còn nếu sai HS phải bác bỏ giả thuyết để tìm ra con đường chứng minh khác.
Ví dụ sau đây mô tả thảo luận của hai HS bằng phương pháp ghi âm để thấy các suy luận của HS sử dụng các quy tắc suy luận để tìm ra con đường chứng minh. Trong phân tích lập luận chúng tôi kí hiệu Di, Ci và Wi lần lượt là các luận cứ, kết luận và luận chứng.
Ví dụ 1.9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền
BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a, Tính độ dài DE.
b, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH.
Lập luận của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin
a, Trứ: Có tính trực tiếp được DE
không nhỉ? Linh: Chưa đâu.
Trứ: Vậy xem DE có bằng đoạn nào mà tính được không?
Linh: Đúng rồi AH DE vì AHDE là hình chữ nhật do
90o
ADH HDA AEH
. Hình vẽ của HS C1: DE D1: ? C1 W: ? D2: C2: ADEHlà hình chữ nhật W: Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
Trứ: Đúng rồi từ đó suy ra được
AH DE.
Linh: Vậy AH tính được chưa?
Trứ: AH tính được rồi dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Linh: Ừ, đúng rồi.
b, Trứ: Để chứng minh M là trung điểm của BH ta cần chứng minh gì nhỉ? Linh: Ta cần chứng minh MH MB. Trứ: MB và MH có nằm trong tam giác nào bằng nhau không? Liệu
DBM DMH Linh: Không! Vì nếuDBM DMH thì DBM MHD màMHD HCA,
tức là ABC cân nhưng giả thiết không cho.
Làm thế nào nhỉ?
Trứ: Liệu nó có bằng đoạn nào không? Linh: Đúng rồi tam giác BDH vuông.
D2: ADH HDA AEH 90o
D3: C3 : AH DE
W: Tính chất hình chữ nhật D3: ADEH là hình chữ nhật
Trong quá trình đi tính DE HS không tìm được trực tiếp DE HS phải đi tìm kiếm dữ liệu để tính DE đó là AH.
D4: C4: AH
W: Hệ thức lượng trong tam giác D4: BH 4cm; CH 9cm
D5: ? C5: MH MB
W: ?
Đây là ngoại suy sáng tạo, HS phải tìm các dữ liệu để chứng minh MH MB.
HS đưa ra giả thuyếtDBM DMH. HS sử dụng quy tắc bắc
cầuDBM HCA vì cùng bằng BHD
và quy tắc suy luận A B,B A
.
(DBM HCA ABCcân nhưng
ABC
không cân nên hai góc trên không bằng nhau dẫn đến điều giả sử là sai).
Trứ: Vuông thì sao nhỉ
Linh: Nếu MH MBthì DM là đường trung tuyến.
Trứ: ok, vậy ta cần chứng minh
BM MH DM .
Linh: Đúng rồi! Vì sao DM MH nhỉ. Trứ: LiệuDOM HOM ?
Linh: Có OM chung rồi, còn yếu tố nào bằng nhau không?
Trứ: Có DOHO nữa. Linh: Vì sao thế nhỉ?
Trứ: Vì ADHE là hình chữ nhật mà Linh: đúng rồi thế là suy ra được
DM MH chỉ cần chỉ ra BM DM
nữa là được.
Trứ: Làm thế nào để chứng minh
BM DM đây?
Linh: Có đoạn nào cùng bằng hai đoạn trên không nhỉ?
Trứ: Chưa chỉ ra được đâu hai đoạn này nằm trong một tam giác ta đi chứng minh tam giác này cân tại D là được.
Linh: Vậy ta cần chứng minh
BDM MBD Linh: Ta có MBD ACM 900 0 90 MBD ADE mà gócACM ADE (vì cùng bằngAED ) NênBDM MBD.
Để chứng minh M là trung điểm của BH HS đã sử dụng quy tắc bắc cầu để xác con đường chứng minh.
D6: ? C6: DM MH
W: tính chất bắc cầu
D6: DM MH ; BM DM
D7: ? C7: DM MH
W: Tính chất hai tam giác bằng nhau D7: DOM HOM
D8: ? C8: DOM HOM
W: Định lí hai tam giác bằng nhau D8: OM chung;DOHO ?
Như vậy để chỉ ra DM MH , HS tìm kiếm các dữ liệu để chứng minh hai tam giác
DOM HOM
, HS đã sử dụng các suy luận ngoại suy đơn tuyến cần tìm các luận chứng để tìm ra con đường chứng minh.
Tóm lại, khi đưa ra một giả thuyết HS cần nắm vững các quy tắc suy luận để vận dụng các quy tắc suy luận kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết mới định hướng được con đường giải quyết các vấn đề đặt ra. Nếu HS không nắm được các suy luận rất có thể bị sai lầm trong chứng minh hoặc không tìm ra đường con đường