7. Cấu trúc luận văn
1.3.3. Vai trò của việc khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học
Trong khi tìm lời giải của bài toán hình học, có bài toán có thể tìm được nhiều cách giải khác nhau, có bài toán thì chỉ tìm được một số ít cách giải, và có những bài toán tuy không phải là khó những nếu chỉ sử dụng tường minh những dữ kiện đề bài cho thì HS sẽ gặp khó khăn.
Khai thác thêm những yếu tố phụ là một con đường hữu ích để giải toán hình học, giúp cho HS có thể giải được các bài toán mà khi giải bằng các phương pháp thông thường gặp khó khăn. Đó là những bài toán mà HS chưa thể chuyển về các bài toán quen thuộc hoặc tách thành những bài toán đã biết.
Do đó, HS phải phân tích và nhìn nhận bài toán dưới những khía cạnh khác nhau, khai thác dữ kiện tiềm ẩn trong các yếu tố đề bài đã cho để từ đó khéo léo tìm ra yếu tố phụ hợp lý làm tăng các dữ kiện bài toán để có thể quy lạ về quen, đơn giản hóa bài toán.
Qua việc vẽ yếu tố phụ giúp việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, đôi khi còn đưa ra được lời giải độc đáo, ngắn gọn mang tính phát triển bài toán góp phần phát triển các năng lực tư duy cho HS.
Tóm lại, vai trò của việc khai thác yếu tố phụ trong việc giải bài tập hình học được thể hiện như sau:
- Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ sẽ gặp bất lợi.
- Tìm đuợc các cách giải khác, trình bày lời giải một số bài toán được gọn hơn.
- Giúp cho việc nghiên cứu sâu bài toán.
Ví dụ 1.3 [21, tr.30]: Cho đường tròn (O, R), AC và BD là hai đường kính.
Xác định vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
(Xem hình 1.2)
Ta kí hiệu SABCD: Diện tích tứ giác ABCD.
Tứ giác ABCD có OA= OC=R và OB = OD = R nên là hình bình hành Mà AC = BD = 2R
⟹ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
⟹ SABCD = AB.BC
Theo bất đẳng thức Cô- si ta có AB2 + BC2 ≥ 2.AB.BC
Có AB2 + BC2= AC2 = 4R2 (định lý Py- ta- go) không đổi.
Vậy SABCD lớn nhất khi AB2 = BC2⇔ AB = BC.
Hình chữ nhật ABCD có hai cạnh bên bằng nhau là hình vuông, nên hai đường chéo vuông góc.
Vậy hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất khi: AB = BC ⇔ AC BD. Ở cách làm này, HS sẽ gặp phải khó khăn sau:
Từ công thức tính SABCD HS liên hệ với bất đẳng thức Cô- si. Và khi xét trường hợp xảy ra dấu “=” thì tiếp tục vận dụng định lý Py- ta- go trong tam giác vuông. Việc làm này đòi hỏi HS phải linh hoạt, chắc kiến thức. Đồng thời cũng mất nhiều thời gian.
Cách 2: (kẻ thêm đường phụ)
Phân tích bài toán
Dễ nhận ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật, do đó SABCD= AB.AD. Mặt khác ∆ABD vuông tại A có BD không đổi, AH là đường cao, ta có:
SABCD= AH.2R nên SABCD (max) ⇔ AH (max)
Đường cao AH của ∆ABD là “chìa khóa” để giải bài toán =>kẻ đường cao AH. B C A D O Hình 1.3 B C A D O Hình 1.4 H
Lời giải
Kẻ AH BD (H ∈ BD); SABD = 1
2 AH.BD.
Mà ABCD là hình chữ nhật ⟹ SABCD = 2SABD = AH.BD Vì AH ≤ AO, DB= 2R nên SABCD ≤ 2R2 (không đổi).
Dấu “=” xảy ra ⇔ AC BD. Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Ví dụ này chứng tỏ việc vẽ thêm hình phụ không những đưa ra được lời giải ngắn gọn hơn mà với việc không cần sử dụng đến bất đẳng thức Cô – Si hay định lý Py-ta-go làm cho lời giải trở nên đơn giản hơn so với cách giải không kẻ thêm hình phụ.
Ví dụ 1.4: Cho hình thang ABCD (AB // DC) có đường cao bằng 4cm, đường chéo BD = 5cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD.
Phân tích (Xem hình 1.3): Với giả thiết hai đường chéo AC và BD vuông
góc với nhau và độ dài BD cho trước.Ta sẽ nghĩ ngay đến công thức SABCD = ½ AC.BD .Nhiệm vụ đặt ra là phải tính AC. Khi thử các cách (xét các tam giác vuông, xét các tam giác chứa AC,…) đều không thu được kết quả. Đến đây, sẽ xuất hiện nhu cầu sử dụng yếu tố phụ.
Nhận xét:
Nhận thấy rằng đường phụ BE // AC, E DC Sẽ giúp ta tính được AC
Bài giải
+ Từ B kẻ BE song song với AC (E DC)
⟹ ABEC là hình bình hành.
⟹ AC = BE
Vì BE // AC; BD ⏊ AC ⟹ BD ⏊ BE
∆ DBE vuông tại B có BH là đường cao
D H C E A B
⟹ 2 2 2 1 1 1 BE BD BH 22. 22 BH BD BH BD BE = 3 20 (cm) ⟹ AC = BE = 3 20 (cm). Vậy ( ) 3 50 . 2 1 2 cm BD AC SABCD