Biện pháp 1: GV chủ động dạy cho HS một số cách tì- 123docz.net

7. Cấu trúc luận văn

2.2.1. Biện pháp 1: GV chủ động dạy cho HS một số cách tìm ra yếu tố phụ trong

trong bài toán hình học

Một trong những khó khăn đối với HS là đầu tiên các em phải tìm ra được yếu tố phụ chứa đựng trong bài tập. Tuy nhiên, HS khá, giỏi chỉ quen với kiến thức và kỹ năng thông thường. Khi gặp bài toán chưa thể đưa về dạng quen thuộc, mà nếu không biết cách vẽ thêm thì sẽ gặp khó khăn. Vì vậy, trước hết, GV cần tổ chức những tình huống DH giúp HS tìm ra yếu tố phụ cần khai thác trong bài toán hình học.

Đối với bài tập hình học ở THCS, có một số cách sau đây để giúp HS xác định được yếu tố phụ:

2.2.1.1. Nhận diện bài toán và đưa về những dạng các bài toán đã gặp

Các bài toán mà HS chưa thể chuyển về các bài toán quen thuộc hoặc tách thành những bài toán đã biết thường phải sử dụng yếu tố phụ. Vì vậy, để giải những bài toán hình học phải kẻ thêm yếu tố phụ ta thường sử dụng phương pháp là thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý hay bài toán quen thuộc nào đó. Vì vậy GV có thể hướng dẫn HS nhận diện bài toán và đưa về những dạng các bài toán đã gặp để giải được những bài tập dạng này.

Những tình huống nghĩ đến và sử dụng cách xác định yếu tố phụ này: chúng ta sẽ gặp những dấu hiệu quen thuộc, từ những dấu hiệu đó hãy cố gắng liên hệ với những bài toán đã giải, những định lý, tính chất đã được chứng minh hoặc ta đã biết cách giải, và sử dụng những kết quả quen thuộc đã biết đó để giải bài toán mới này.

Cách thức thực hiện hoạt động này: Nhận diện bài toán và dùng thao tác quy lạ về quen.

Ví dụ 2.1: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD= AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CE=1

2 CD.

Phân tích (Xem hình 2.1):

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.

Muốn chứng minh một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy phải chứng minh CE = CM hoặc CE = DM.

Chọn CE = DM.Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M.

Ta suy ra nếu chứng minh được ∆EBC = ∆MBC thì ta có được điều phải chứng minh.

Việc hướng dẫn

HS kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học sinh các câu hỏi gợi mở, ví dụ:

Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào?

Vậy để chứng minh CE = CM ta kẻ thêm đường phụ nào?

Với HS khá, giỏi ta có thể hỏi: Để chứng minh CE= CM ta phải chứng minh điều gì?

Bài giải:

Gọi M là trung điểm của DC Xét ∆EBC và ∆MBC có BC chung (1) Hình 2.1 B A C D E M / /

Vì MD= MC (GT); DB= BA (GT)

⟹ BM là đường trung bình của ∆ADC

⟹ BM=AC 2 = AB 2 = BE (2) Vì MBĈ = Ĉ (hai góc so le trong) Mà Ĉ = B̂ (∆ABC cân) ⟹MBĈ = B̂ (3) Từ (1) (2) (3) ⟹∆EBC = ∆MBC (c.g.c) ⟹ EC = MC (hai cạnh tương ứng) Hay EC =DC 2 (Đpcm)

2.2.1.2. Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để giải bài toán

Khi giải bài tập hình học, HS thường gặp khó khăn trong việc tìm mối liên hệ giữa các giả thiết hoặc giữa giả thiết với kết luận. Mà một trong những mục đích quan trọng của yếu tố phụ là tạo ra sự liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho với điều kiện cần phải tìm. Hay nói cách khác là kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để giải toán.

Những tình huống nghĩ đến và sử dụng cách xác định yếu tố phụ này: Khi xuất hiện sự so sánh giữa các đoạn thẳng, các góc, chu vi, diện tích các hình.

Cách thức thực hiện hoạt động này: Nhận diện bài toán và dùng cách xét tương tự để tạo ra yếu tố phụ có mối liên hệ với những đại lượng cần so sánh. Đây chính là đối tượng trung gian “thứ 3” giúp việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn.

Ví dụ 2.2: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho BNM̂ = 900. Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng FB  AC.

Phân tích (Xem hình 2.2):

Ta thấy BFĈ là 1 góc của ∆BFC đối chiếu với định lý tổng ba góc của một tam giác.

Ta có: FBĈ + BFĈ + BCF̂ = 1800, nhưng ta chưa thể tính được FBĈ + BCF̂

bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra

được số đo góc BFĈ . Vậy không thể vận dụng định lý để chứng minh.

Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại không? Đó là câu hỏi lớn mà GV nên đặt ra cho HS và hướng dẫn HS có thể tự đặt ra câu hỏi tương tự.

Liệu BF có là đường cao của ∆BNC được không?

Để chứng minh BF là đường cao của ∆BNC ta phải chứng minh BF đi qua điểm đặc biệt nào trong tam giác? Từ đó, ta suy ra việc chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC.

Do sự phân tích tổng hợp ta đi đến việc dựng NE  BC tại E nhằm tạo ra điểm O là giao của NE và BF để chứng minh O là trực tâm của ∆BNC.Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó để đưa ra các câu hỏi gợi mở cho HS, chẳng hạn:

Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gì của ∆BNC?

Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC thì ta phải có điểm nào? Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đường cao của ∆BNC?

Với NE là đường cao của ∆BNC và NE giao BF tại O. Ta chứng minh I có tính chất gì ?

Bài giải

Kẻ NE  BC. E∈BC

NE cắt BF tại O và CO cắt BN tại I. Ta sẽ chứng minh CI  BN F N M D C B A . Hình 2.2 E O ô I

để suy ra O là trực tâm. Ta có ON  BC; AB  BC

⟹ ON // AB. Mà NA = NF nên ON là đường trung bình của ∆BFA.

⟹ ON // AB // CM và ON=1/2 AB = CM

⟹ ONMC là hình bình hành

⟹ OC // NM hay CI // NM mà NM  BN

⟹ CI  BN

⟹ O là trực tâm của ∆ BCN hay BFAC (Đpcm)

2.2.1.3. Dựa vào biến đổi đại số để xác định yếu tố phụ

Trong hình học có một số định lý, tính chất được biểu hiện dưới dạng các biểu thức đại số. Trong các bài toán thì những biểu thức này thường tồn tại ẩn tàng, chưa ở dạng quen thuộc nên chúng ta phải biến đổi để đưa chúng về dạng quen thuộc. Từ đó xác định được yếu tố phụ phù hợp với biểu thức đại số đó. Qua đó, HS sử dụng được các định lý, tính chất vào bài toán.

Những tình huống nghĩ đến và sử dụng cách xác định yếu tố phụ này: Đối với những bài tập mà kết quả cần tìm (hoặc cần chứng minh) liên quan đến đại lượng, biểu thức, công thức hình học, ta có thể liên tưởng đến và tìm những yếu tố phụ tạo ra tình huống, đối tượng thỏa mãn điều kiện - giả thiết của định lý, tính chất,...

Cách thức thực hiện hoạt động này: Dùng các biến đổi tương đuơng trong đại số để đưa kết quả cần tìm về dạng quen thuộc.

Ví dụ 2.3: Cho ∆ABC có Â = 2B ̂. Chứng minh rằng BC2 = AC2 + AC.AB

Phân tích (Xem hình 2.3):

Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh?

Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Py- ta- go vì công thức của nó rất gần với công thức này, ở đây GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định cần sử dụng

định lý Py-ta-go vì không tạo ra góc vuông liên quan đến độ dài ba cạnh luôn được

Ngoài định lý Py-ta-go còn có cách làm khác không?

Hướng suy nghĩ sẽ chuyển sang định lý Talet và tam giác đồng dạng Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về tỷ số mà có thể dùng tam giác đồng dạng.

Đến đây giáo viên có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab= cd dựa vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB + AC.

Từ đó HS đưa ra hai cách vẽ yếu tố phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một đoạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB.

Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh nào để vận dụng được giả thiết?

Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của AC một đoạn bằng AB.

Bài giải:

Xét ∆ABC và ∆BDC có C ̂ chung (1)

Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho AD = AB. (*) Ta có ∆DAB cân tại A nên D̂ = DBÂ

BAĈ = D̂ + DBÂ (góc ngoài của tam giác) = 2D̂

Mà BAĈ =2 ABĈ (GT) ⟹D̂ = ABĈ (2) Từ (1), (2) ⟹∆ABC ∽∆ BDC (Trường hợp 3)

⟹AC

BC = BC

DC hay AC.DC = BC2 (**)

Mà AC.DC= AC (DA +AC) = AC.AD + AC2 (***) Từ (*) (**) (***) ⟹ Đpcm / B C A D Hình 2.3