a) Vẽ thêm tam đều
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng yếu tố phụ là đường tròn
Việc vẽ thêm đường tròn nói chung sẽ giúp bài toán có thêm những yếu tố mới như: Góc, cạnh, cung.
Ta thường nghĩ đến cách này khi việc tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng, góc gặp khó khăn.
Sau đây là hai cách thường dùng để tạo ra yếu tố phụ là đường tròn.
a) Vẽ thêm đường tròn dựa vào các điểm đã cho
Khi cần đến việc xuất hiện yếu tố mới liên quan đến đường tròn, GV gợi ý hướng dẫn HS tìm ra một vài (lớn hơn hoặc bằng 2) điểm gắn với kết luận cần có ở bài toán, vẽ đường tròn đi qua các điểm đó, nhờ vậy tạo ra các yếu tố mới thuận lợi cho việc giải quyết bài toán.
Ví dụ 2.16: Cho đường thẳng xMy vuông góc với AB tại M. Trên tia Mx
lần lượt lấy C và D sao cho MC = MA, MD = MB. Đường tròn đường kính AC cắt đường tròn đường kính BD tại N (N khác A và M). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Phân tích (Xem hình 2.16):
GV: Ta phải phân tích mối liên hệ giữa MN và các điểm có trong hình. HS: Đường tròn đường kính AC cắt đường tròn đường kính BD tại N và M GV: Điểm N còn có gì đặc biệt?
HS: N, C, B thẳng hàng
GV: Từ đó ta biết được góc nào? HS: ANĈ =ANB̂ = 90°
GV: Hay là góc ANB̂ nhìn AB dưới một góc 90°. Vậy yếu tố phụ ở đây là gì?
HS: Đường tròn đường kính AB
Bài giải:
∆AMC vuông tại M có MA = MC (GT) nên là tam giác vuông cân
⟹ ACM̂ = 45°
Ta có ANM̂ = ACM̂ = 45°(hai góc nội tiếp cùng chắn AM);
ANB̂ = ANM̂ + MNB̂ = 90°⟹ MNB̂ = 90° - ANM̂ = 45°
Do đó N thuộc đường tròn đường kính AB. Gọi E là giao điểm MN và AB (E khác N). Ta có ANM̂ = MNB̂ = 45° ⟹ AE = EB
⟹ E cố định.
Vậy MN luôn đi qua một điểm cố định E
b) Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp tam giác, tứ giác
Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp tam giác và tứ giác sẽ xuất hiện mối liên hệ giữa các góc, cạnh với nhau trong hình. Vì khi đó, các góc trong tam giác (tứ giác) sẽ là các góc nội tiếp trong đường tròn. Các cạnh là dây cung (đường kính). Bài toán sẽ có thêm những giả thiết mới thuận lợi cho việc giải toán.
Ví dụ 2.17:Cho ∆ABC cân tại A, có AB = AC = 6cm, BC = 9,6cm. Vẽ AH BC tại H. M là điểm trên tia AH sao cho AM = BM. Tính độ dài đoạn thẳng CM.
Phân tích (Xem hình 2.17):
GV: Từ giả thiết có thể tính ra ngay độ dài của CM không? HS: Không.
GV: Do vậy, cần phải tìm ra tính chất đặc biệt của CM. Qua giả thiết ta thấy điểm M có quan hệ thế nào với ∆ABC?
HS: AM = BM ⟹ M thuộc đường trung trực của BC hay M là tâm đường tròn ngoại tiếp
GV: Vậy MC là gì?
HS: MC là bán kính đường tròn ngoại tiếp GV: Vây dễ dàng tìm ra yếu tố phụ
HS: Chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài giải: Hình 2.17 A M B H □ C D /
Vẽ đường tròn tâm M bán kính AM.
Gọi D là giao điểm AM và đường tròn (M; MA) (D #A)
∆ABC cân tại A, AH là đường cao (GT)
⟹ AH là đường trung trực của đoạn BC
⟹ BM = CM, BH = HC = ½ BC = 4,8cm và AM = BM (GT). Nên AM = BM = CM
Ta có ABD̂ = 900 (B thuộc đường tròn bán kính AD)
∆HAB vuông tại H ⟹ AH2 + BH2 = AB2 (định lí Pi-ta-go) AH2 + 4,82 = 62⟹AH2 = 3,62. Vậy AH = 3,6cm
Xét ∆BAD vuông tại B, BH là đường cao ⟹AH.AD = AB2
Nên AD = 6
2
3,6 ⟹AD = 10 cm. Vậy CM = ½ AD = 5cm