7. Cấu trúc luận văn
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng điểm phụ
a) Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc của đường thẳng với đường tròn
Vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc của đường thẳng với đường tròn sẽ làm xuất hiện các điểm mới. Từ đó tạo ra tam giác mới, tứ giác mới có mối liên hệ về góc và cạnh với các tam giác đã có trong hình vẽ. Hoặc tạo ra các điểm đặc biệt như trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội (ngoại) tiếp tam giác (tứ giác).
Ta thường dùng cách vẽ này khi giữa hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) chưa hoặc ít có mối liên hệ về độ dài, về góc. Hay trong giả thiết xuất hiện những đường đặc biệt của tam giác.
Ví dụ 2.4 [21, tr.5]: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có Â = D̂ = 900. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ∆MAD cân.
Phân tích (Xem hình 2.4):
GV: Dự đoán ∆MAD cân tại đâu? HS: Cân tại M
GV: Để chứng minh
∆MAD cân tại M ta chứng minh điều gì?
HS: MA = MD hoặc
DAM ̂= ADM̂
GV: Từ ADĈ = 900, MA = MD. Ta liên tưởng đến điều gì?
HS: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
GV: Để áp dụng định lý trên ta cần tạo ra yếu tố phụ nào?
HS: Điểm E là giao của AM và CD. Ta sẽ có tam giác DAE vuông tại D.
Bài giải: 2 1 M D C A B E Hình 2.4
AM cắt DC tại E. Xét ∆MAB và ∆MCE có: M̂ = M1 ̂2 (đối đỉnh).
MB = MC (GT)
MBÂ = MCÊ (2 góc so le trong do AB // CD).
⟹∆CME = ∆BMA (g.c.g) ⟹ MA = ME (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác vuông DAE vuông tại D. Có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⟹ DM = AM = ME hay ∆DMA cân tại M
b) Vẽ điểm chia trong hoặc chia ngoài của đoạn thẳng
Vẽ thêm điểm chia trong hoặc chia ngoài giúp tạo ra những đoạn thẳng tỷ lệ. Từ đó, xuất hiện thêm yếu tố về góc bằng cách nối các điểm. Tạo ra tam giác cân, đều hoặc các tam giác đồng dạng hay áp dụng được những hệ quả của định lý Ta –lét.
Ta thường dùng cách vẽ này khi cần tìm ra mối liên hệ về độ dài của các đoạn thẳng, độ lớn của các góc.
Ví dụ 2.5: Cho ∆ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = ½ BC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC ở E. Gọi M là điểm trên đoạn thẳng DE sao cho DM = BD. Chứng minh rằng ADM̂ = 2DAM̂
Phân tích (Xem hình 2.5)
GV: Hai góc ADM̂ và DAM̂ có mối liên hệ gì với nhau không?
HS: Chúng là hai góc của ∆DAM
⟹DAM̂ + ADM̂ + DMÂ = 180° hoặc
DAM̂ + ADM̂ = AMÊ (góc ngoài tam giác) GV: Từ những điều trên rất khó để giải quyết bài toán. Vậy chúng ta cần tạo thêm yếu tố nào nữa?
HS: Cần tạo ra một góc trung gian.
GV: Chú ý đến giả thiết BD = ½ BC; DE//BC để tìm cách vẽ phù hợp.
Hình 2.5 A B C D E M N / □
HS: Gọi N là trung điểm cạnh BC. Ta có BDMN là hình bình hành nên
ADM̂ = BNM̂.
Bài giải:
Gọi N là trung điểm cạnh BC. ∆ABC vuông tại A, AN là đường trung tuyến
⟹ AN = BN = CN = ½ BC. Mà DM = BD = ½ BC Do đó BN = BD = DM
Tứ giác BDMN có BN // DM và BN = DM. Nên là hình bình hành
⟹ BD // MN; MN = BD. Do đó ABN̂ = ADM̂
Mà AN = BN ⟹∆NAB cân tại N ⟹ABN̂ = BAN̂ (hai góc đồng vị) Xét ∆NAM có AN = MN (= BD)
⟹∆NAM cân tại N ⟹MAN ̂= AMN̂ (1)
Vì AD // MN ⟹DAM̂ = AMN̂ (hai góc so le trong) (2) Từ (1) (2) ⟹MAN ̂= DAM̂
Vậy ADM̂ = ABN̂ = BAN̂ = DAM̂ + MAN̂ = 2DAM̂ (Đpcm)