Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng thêm- 123docz.net

7. Cấu trúc luận văn

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng thêm đường phụ

a) Nối hai điểm cho trước

Cách này sẽ tạo ra các đoạn thẳng mới, tam giác hoặc các góc mới có mối liên hệ với các cạnh hoặc các hình đã cho.

Ta thường dùng cách làm này khi giả thiết xuất hiện tỷ số giữa các đoạn thẳng hoặc giữa hai đoạn thẳng, tam giác cần xét chưa có hoặc có ít mối quan hệ về độ dài.

Ví dụ 2.6: Cho ∆ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác và xy //BC. Chứng minh rằng: Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường thẳng xy = 1

3 tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó.

Phân tích (Xem hình 2.6):

GV: Yêu cầu học sinh làm rõ kết luận bài toán

CC’  xy; GG’  xy Chứng minh: GG’ = CC

′+AA′+BB′ 3

GV: Các đoạn thẳng trong công thức trên có mối liên hệ như thế nào với nhau? Liên hệ gì đối với đường

thẳng xy đã cho?

HS: Chúng song song với nhau và cùng vuông góc với xy. GV: Để chứng minh bài toán ta cần thêm mối liên hệ về độ dài. Vậy cần tạo ra một yếu tố phụ để tạo ra mối liên hệ về độ dài giữa chúng. Cụ thể là:

- Yếu tố phụ cần gắn với: tỷ số CC

′+AA′+BB′

3 và độ dài GG’. Trong đó 4 đoạn thẳng có liên quan phải là khoảng cách giữa 4 điểm (gồm có 3 đỉnh và một trọng tâm của tam giác ABC).

- Bốn khoảng cách đó chính là độ dài của các đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng xy. Điều đó giúp HS nghĩ đến các hình thang

HS: Kẻ các yếu tố phụ là các đường vuông góc với xy

GV: Gợi ý để HS phát hiện yếu tố phụ là đường trung tuyến BG kéo dài, xác định được yếu tố phụ là các điểm N, điểm E.

HS: Nối một đỉnh nào đó của tam giác ABC với trọng tâm G thì đường thẳng nối 2 điểm đó phải đi qua trung điểm cạnh đối diện. Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC và lấy một điểm E là trung điểm của BG từ đó ta có: BE = EG = GN = 1 3 BN Bài giải: A’ x y E’ G C E B A G C’ B’ N N’ Hình 2.6

Kẻ BG cắt AC tại N. Lấy E là trung điểm của BG. Kẻ EE’  xy; NN’  xy

AA’  xy; BB’  xy; CC’  xy; GG’  xy

Tứ giác BB’G’G là hình thang vì BB’ // GG’ (cùng vuông góc với xy) Có EE’ // BB’ (cùng vuông góc với xy)

BE = EG ⟹ EE’ là đường trung bình của hình thang BB’G’G.

⟹ EE’ = BB

′+GG′ 2 (1)

Tương tự NN’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C

⟹ NN’ = CC

′+AA′ 2 (2)

Ta lại có: GG’  xy; EE’  xy NN’  xy; EG = NG

⟹ GG’ cũng là đường trung bình của hình thang EE’N’N

⟹ GG’ = EE ′+NN′ 2 (3) Từ (1), (2), (3) ⟹ d (G; xy) = GG’ = CC ′+AA′+BB′ 3 (Đpcm)

b) Dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước từ một điểm đã cho

Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện các góc bằng nhau (ở vị trí so le trong (ngoài), đồng vị), các góc trong cùng phía bù nhau và đặc biệt là hai tam giác bằng nhau, đồng dạng với nhau. Dựa vào mối quan hệ giữa song song và vuông góc ta có thể tạo ra các góc vuông.

Ta thường dùng cách này khi đã có các đường thẳng song song hoặc vuông góc trong hình vẽ. Hoặc giả thiết có những đoạn thẳng tỷ lệ với nhau.

Ví dụ 2.7: Cho ∆ABC có Â < 900. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa đỉnh C, vẽ tia vuông góc AB tại A, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa đỉnh B, Vẽ tia vuông góc

với AC tại A. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng đường cao AH của ∆AED lại là đường trung tuyến của ∆ABC.

Phân tích (Xem hình 2.7):

GV: AH là đường trung tuyến của ∆ABC ta phải chứng minh điều gì? HS: AH đi qua trung điểm của BC hay AH cắt BC tại M, Chứng minh MB = MC

GV: Xét xem có tam giác nào chứa MB và MC bằng nhau không? HS: Không. Dẫn đến việc vẽ thêm yếu tố phụ

GV: Ta đã có ∆MAC cần tạo ra 1 tam giác mới chứa BM

HS: Qua B kẻ Bx // AC. Bx cắt AM tại Q. Ta có ∆BAQ chứa BM.

Bài giải: AH cắt BC tại M Qua B kẻ Bx // AC, Bx cắt AM tại Q; BQ //AC, AC  AE ⟹ BQ  AE. Do: QB  AE; AB  AD ⟹ ABQ̂ = 90° + EAB̂ Ta có :

ABQ̂ = AEB̂ + EAB̂ =900 +

EAB ̂ (1)

DAÊ = BAD̂ + EAB̂ = 900 + EAB̂ (2) Từ (1) (2) ⟹ ABQ̂ = DAÊ

Xét ∆ABQ và ∆DAE có

BAQ̂ = ADÊ = 900 - QAD̂

/ M Q E x B C D A H Hình 2.7

AB = AD (GT)

ABQ̂ = DAÊ ⟹∆ABQ = ∆DAE (g.c.g)

⟹AE = BQ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆BMQ và ∆CMA có

Q̂ = MAĈ (hai góc so le trong);

BQ = AC = AE

MBQ̂ = MCÂ (hai góc so le trong)

⟹∆BMQ = ∆CMA (g.c.g) ⟹ MB = MC (hai cạnh tương ứng)

Vậy M là trung điểm của BC, AM là đường trung tuyến ứng với BC của ∆ABC

c) Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước từ một điểm đã cho

Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau, đồng dạng với nhau. Hoặc nửa tam giác đều, các đường thẳng song song với nhau.

Ta thường vẽ đường vuông góc khi hình vẽ có các góc với số đo cụ thể (chẳng hạn góc 300, 600, 450, …) hoặc có đường phân giác,...hoặc bài toán cho một góc có số đo là 300, 600, 1200, 1500.

Nếu cho góc 300 (hoặc 600), ta kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có một góc bằng 300 hoặc 600.

Nếu cho góc 1200 (hoặc góc 1500), ta thường tính góc kề bù với góc đó rồi kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có chứa góc kề bù.

Ví dụ 2.8 [26, tr.19]: Cho hình vuông ABCD các điểm M, N, P, Q lần lượt

trên các cạnh AB, BC, CD, AD, sao cho MP  NQ. Chứng minh rằng NQ = MP.

Phân tích (Xem hình 2.8):

GV: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường dùng cách nào? HS: Quy về chứng minh hai tam giác bằng nhau

HS: Chưa xuất hiện những tam giác chứa chúng

GV: Ta cần tạo ra hai tam giác chứa hai cạnh trên để xét. Đọc kỹ giả thiết để tìm ra yếu tố phụ có lợi nhất?

HS: Ta vẽ thêm MH  DC tại H và PK  AD tại K sẽ tạo ra nhưng góc vuông thuận lợi cho việc chứng minh ∆KNQ = ∆HMP, từ đó suy ra NQ = MP

Bài giải: Vẽ MH  DC tại H, NK  AP tại K. Tứ giác ABNK là hình chữ nhật (có Â = B̂ = K̂ = 900) ⟹ KN = AB (1) Tương tự ta có B̂ = Ĉ = Ĥ = 900 ⟹ Tứ giác BCHM là hình chữ nhật ⟹ MH = BC (2) Mà AB = BC (ABCD là hình vuông) (3) Từ (1) (2) (3)⟹ KN = MH Xét ∆KNQ và ∆MHP có Ĥ = K̂ = 900; MH = KN {NK ⊥ AD DC ⊥ AD ⟹ NK // DC Mà MH  DC ⟹ NK  MH ⟹KNQ̂ = HMP̂ (cùng phụ MIN̂) ⟹∆KNQ = ∆HMP (g.c.g) ⟹ NQ = MP

d) Vẽ thêm đường phân giác

Vẽ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều, tâm đường tròn nội (bàng) tiếp tam giác.

Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,…) vào hai tam giác có mối liên hệ về góc, về cạnh. Hay phải tìm tỷ số giữa hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

P H D Q K C N B A M Hình 2.8 I

Ví dụ 2.9: Cho ∆ABC, Â = 600. Phân giác BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng ∆DOE cân

Phân tích (Xem hình 2.9):

GV: Từ Â = 600 ta suy ra được số đo của những góc nào?

HS (làm ra nháp): BOĈ =120° Ô1 = 60°

GV: Dự đoán ∆EOD cân tại điểm nào?

HS: Cân tại O. Nên cần chứng minh EO = OD

GV: Bằng cách xét các tam giác chứa hai cạnh trên thì ta có được kết quả mong muốn không?

HS: Không.

GV: Vậy ta cần tạo ra một đoạn thẳng trung gian.

HS: Ta kẻ tia phân giác OF của tam giác BOC chính là đoạn trung gian để so sánh OD với OE (sẽ tạo ra 4 góc bằng nhau) sẽ có lợi cho việc giải toán

Bài giải

BOĈ = 180°- (OBĈ + OCB̂) = 180°- (𝐵̂ 2 + 𝐶̂ 2) = 180° - (90° - 𝐴̂ 2) = 90° + 𝐴̂ 2 ⟹BOĈ = 120° Ô1 = 180° - BOĈ (E, O, C thẳng hàng) = 180° - 120° = 60° 1 2 3 A C F E B D O 4 Hình 2.9

Ô1 = Ô = 4 60° (hai góc đối đỉnh) Vẽ tia phân giác OF của BOĈ (F ∈ BC) Ta được Ô1 = Ô2 = Ô 3= Ô4 = 60°

Xét ∆BOE và ∆BOF có BO chung

ABÔ = OBF̂ (BO là phân giác của B̂)

Ô1 = Ô2

⟹∆BOE = ∆BOF (g. c. g)

⟹ OE = OF (1)

Tương tự ∆COD = ∆COF (g. c. g)

⟹ OD = OF (2)

Từ (1) và (2) ⟹ OD = OF = OE Hay ∆OED cân tại O.

e) Vẽ thêm đường trung tuyến

Vẽ thêm đường trung tuyến sẽ làm xuất hiện các đoạn thẳng bằng nhau. Từ trọng tâm suy ra các tỷ số.

Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn chứng minh một tam giác là vuông khi biết trung điểm cạnh huyền hoặc đề bài xuất hiện trung điểm của đoạn thẳng. Hoặc khi cần chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 2.10: Cho ∆ABC có BC = 2AB. Trên BC lấy điểm N sao cho BN = ¼ BC. Trên tia đối của tia NA lấy điểm D sao cho ND = NA. Chứng minh ∆BCD vuông

Phân tích (Xem hình 2.10):

GV: Dự đoán tam giác BDC vuông tại đâu? HS: Vuông tại D

HS: Dùng định lý Py- ta - go đảo, chứng minh BDĈ = 90° hoặc 2 góc nhọn phụ nhau. Nhưng những cách trên đều khó thực hiện.

GV: Từ BC = 2AB ta nghĩ đến điều gì? HS: Trung điểm của BC. Liên tưởng đến định lý trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và ngược lại

GV: Vậy yếu tố phụ ở đây là gì?

HS: Vẽ thêm yếu tố phụ là đường trung tuyến BM và chứng minh DM = ½ BC

Bài giải:

Kẻ trung tuyến DM (M thuộc cạnh BC) Xét ∆ABN và ∆DMN có ANB̂ = DNM̂ (đối đỉnh) AN = ND (GT) BN = NM = ¼ BC = ½ BM ⟹∆ABN = ∆DMN (c.g.c) ⟹ AB = DM (hai cạnh tương ứng) ⟹ DM = ½ BC

Vậy tam giác BDC vuông tại D

f) Kẻ thêm đường kính

Khi vẽ đường phụ là đường kính của đường tròn làm xuất hiện các góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), đoạn thẳng có độ dài bằng hai bán kính. Tạo ra quan hệ song song hoặc vuông góc với dây cung thuận lợi cho việc giải toán. Xuất hiện các góc có đỉnh nằm trong (trên) đường tròn.

Ta thường dùng cách này khi các góc hoặc các dây trên đường tròn chưa hoặc có ít mối quan hệ với nhau.

Hình 2.10 M N D A B C

Ví dụ 2.11: Cho ∆ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của Â của ∆ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E có AD = AE

Chứng minh AB2 + AC2 = 4R2 với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Phân tích (Xem hình 2.11):

GV: Hệ thức trên cho ta nghĩ đến định lý nào? HS: Định lý Py – ta – go trong tam

giác vuông

GV: Tam giác vuông này thỏa mãn điều kiện nào?

HS: Hai cạnh góc vuông lần lượt bằng AB, AC và có cạnh huyền bằng đường kính của đường tròn (O).

GV: Vậy yếu tố phụ cần vẽ ở đây là gì? HS: Đường kính AG

Bài giải:

Gọi F là giao điểm của AD và đường tròn (O) (F khác A) Vẽ đường kính AG .

Ta có ABĜ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Sđ GB + sđFC+ sđAC + sđBF = sđAG = 180° (1)

BAF̂ = FAĈ (AD là đường phân giác) ⟹ sđBF= sđFC (2)

AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù BAĈ và CAx̂ nên DAÊ = 900

∆DAE vuông có AD = AE (GT) nên là tam giác vuông cân

⟹ADÊ = 450 . Mà ADÊ =sđAC + sđBF

⟹ sđAC + sđBF = 900 (3) Từ (1); (2) và (3) => GB = AC

∆BAG vuông tại B nên AB2 + BG2 = AG2 (áp dụng định lí Py-ta-go)

Hình 2.11 E D .. .. G F C A B x O D

Do đó: AB2 + AC2 = (2R)2

Vậy: AB2 + AC2 = 4R2 (Đpcm)

g) Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn

Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn làm xuất hiện góc vuông (góc tạo bởi bán kính và tiếp tuyến), góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Ta thường dùng cách này khi cần tìm mối liên hệ giữa bán kính và một cát tuyến nào đó, hoặc gặp khó khăn khi tính góc nội tiếp đường tròn.

Ví dụ 2.12: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R). Qua A vẽ cát tuyến

ABC (B, C thuộc đường tròn (O)). Chứng minh rằng AB.AC = OA2 – R2

Phân tích (Xem hình 2.12): GV: Từ hệ thức ta nghĩ đến định lý nào? HS: Định lý Py – ta – go GV: Để áp dụng định lý Py – ta – go ta cần có điều gì?

HS: 1 tam giác vuông.

GV: Vậy yếu tố phụ ở đây là gì?

HS: Kẻ tiếp tuyến AM. Ta sẽ có tam giác vuông AMO

Bài giải:

Vẽ AM tiếp tuyến của đường tròn (O) (M ∈ (O))

⟹AMÔ = 900

Xét ∆AMB và ∆ACM có:

MAB̂ chung

AMB̂ = ACM̂ = ½ sđ BM

⟹∆AMB ~∆ACM (Trường hợp 3)

⟹ AM

AC = AB

⟹ AB.AC = AM2 (1)

Xét ∆OAM vuông tại M

OA2 = OM2 + AM2 (Định lý Py - ta -go) (2)

Nên AM2 = OA2 – R2. Từ (1) (2) ⟹ AB.AC = OA2 – R2 (Đpcm)

h) Vẽ tiếp tiếp tuyến chung và đường nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Vẽ tiếp tuyến chung và đường nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có tác dụng:

Trường hợp hai đường tròn tiếp xúc trong: Cách làm này sẽ tạo ra các góc nội tiếp bằng nhau.

Trường hợp hai đường tròn tiếp xúc ngoài: Tạo ra các góc vuông

Ta thường dùng cách này khi cần tìm mối liên hệ của các dây cung hoặc các góc nội tiếp thuộc hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Ví dụ 2.13: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong

tại A. Vẽ các dây cung AB, AC của (O), AB và AC lần lượt cắt đường trong (O’) tại D và E (D # A, E # A). Chứng minh rằng BC // DE.

Phân tích (Xem hình 2.13):

GV: BC// DE suy ra điều gì?

HS: ADÊ = ABĈ (2 góc đồng vị bằng nhau)

GV: Khi chứng minh điều trên ta sẽ gặp khó khăn gì?

HS: 2 góc này là 2 góc nội tiếp không cùng thuộc một đường tròn.

GV: Dẫn đến việc tạo ra một góc trung gian để so sánh. Từ giả thiết bài toán hãy tìm ra yếu tố phụ cần kẻ.

HS: Vẽ đường phụ là tiếp tuyến chung Ax của (O) và (O’).

Bài giải: C O’ O B A . . D x E Hình 2.13

Vẽ tiếp tuyến chung Ax của hai đường tròn (O) và (O’), tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bởi AC không chứa điểm B.

Xét đường tròn (O’) có xAC ̂ = ADÊ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung)

Xét đường tròn (O) có xAC ̂ = ABĈ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung)

Do đó ADÊ = ABĈ ⟹ BC // DE (hai góc đồng vị bằng nhau)

i) Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau

Việc vẽ dây chung của hai đường tròn cắt nhau có những lợi ích sau: Dây chung hợp với cát tuyến chung của hai đường tròn tạo ra hai góc nội tiếp (của hai đường tròn) kề bù nhau. Tạo ra tứ giác nội tiếp đường tròn. Từ tính chất đoạn nối tâm là đường trung trực của dây chung suy ra những đoạn thẳng và góc bằng nhau.

Ta thường dùng cách này khi tìm mối liên hệ giữa các nội tiếp của hai đường tròn cắt nhau

Ví dụ 2.14: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A,

B lần lượt kẻ các cát tuyến EAF và GBH. Chứng minh rằng EG // FH

Phân tích (Xem hình 2.14):

GV: Vì EG // FH tương đương với điều gì?

HS: EGB̂ + BHF̂ = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau) GV: Chứng minh điều trên ta sẽ gặp khó khăn nào?