9. Cấu trúc của luận văn
1.2.4. Các bình diện nghiên cứu ngôn ngữ toán học
1.2.4.1. Từ vựng
Từ vựng toán học là một khía cạnh quan trọng trong NNTH và có rất nhiều nét đặc trưng riêng. Trên cơ sở đó có thể coi: Tập hợp các biểu tượng, ký hiệu, từ, cụm từ dùng trong toán học được gọi là từ vựng toán học.
*) Trong Lý thuyết tập hợp và Lôgic toán thường sử dụng các ký hiệu sau:
Ký hiệu các tập hợp cụ thể: N, Z, Q, R, C, N*, Q+, R+, … Trong chứng minh định lí hoặc giải quyết các vấn đề toán học thường sử dụng các kí hiệu tập hợp như [a; b], (a; b], [a; b), (a; b), (; b], [a; + ). Ký hiệu (tập rỗng) là tập hợp không chứa phần tử nào. Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, C, …, X, Y, Z và các phần tử của tập hợp được ký hiệu bằng chữ cái in thường a,
b, c, …, y, z. Ký hiệu để chỉ một phần tử thuộc vào một tập hợp. Ký hiệu của các phép toán trong tập hợp là (phép giao), (phép hợp), \ (phép lấy hiệu), S hoặc
(quan hệ hai ngôi), × (tích Đề các của tập hợp). Ký hiệu “=” chỉ sự bằng nhau của hai tập hợp. Ký hiệu chỉ tập con thực sự của hai tập hợp A và B (A là tập con của B và A B). Ký hiệu chỉ A là tập con của tập B và A = B. Các ký hiệu , ,
biểu thị sự phủ định của các quan hệ.
Trong Lôgic toán thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, … để ký hiệu mệnh đề. Phủ định của mệnh đề A là “không A”, ký hiệu là A hoặc 𝐴̅. Ký hiệu các phép toán lôgic (phép hội), (phép tuyển), (phép kéo theo), (phép tương đương). Đồng thời các ký hiệu , còn biểu thị quan hệ hệ quả, quan hệ tương đương. Ký hiệu , còn thay thế cho từ hoặc, từ và khi biểu thị mối quan hệ giữa hai mệnh đề. Bên cạnh đó còn có một vài ký hiệu đặc biệt , chỉ toán tử toàn thể và tồn tại.
Ngoài ra, Lý thuyết tập hợp và Lôgic toán còn sử dụng các dấu ngoặc đơn () để tách các bộ phận riêng biệt, các dấu chấm câu để kết thúc.
*) Ký hiệu cơ bản trong đại số bao gồm:
Trong đại số, chúng ta sử dụng các số và mối quan hệ giữa chúng [47]. Các chữ số được dùng để biểu diễn trong hệ thập phân là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Các chữ số biểu diễn trong hệ nhị phân bao gồm 0 và 1. Số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân, hai phần này được ngăn cách nhau bởi kí hiệu “,”. Dấu “” có hai chức năng: biểu thị số âm và dấu trong phép toán trừ.
Các phép toán được ký hiệu “+, , ×, :”, các ký hiệu này được đặt giữa các thành phần trong phép tính. Ngoài cách biểu thị này ký hiệu “:” còn được biểu thị dưới dạng một phân số. Ký hiệu <, >, = chỉ mối quan hệ giữa các số hoặc các biểu thức.
Trong tính toán gần đúng dùng ký hiệu “”. Các biến số thường sử dụng các chữ cái in thường trong bảng chữ cái như a, b, c, …, x, y, z và các chữ cái trong bảng chữ cái với các chỉ số x1, x2, x3, …
Như vậy, ký hiệu toán học là một nhân tố chủ yếu của từ vựng toán học và HS được học ở tất cả các bậc học trong hệ thống giáo dục quốc dân. Ban đầu, HS được làm quen với các chữ số và thực hành trong hệ ghi cơ số 10. Sau đó là các ký hiệu đơn giản về phân số, phân số thập phân, số thập phân và các ký hiệu ban đầu về hình học. Tiếp đến HS được biết đến các ký hiệu trong Đại số, Giải tích và Hình học. Hệ thống các ký hiệu trong NNTH giúp HS sử dụng trong giao tiếp và giải quyết các vấn đề toán học một cách nhanh gọn, chính xác. Pimm(1991) cho rằng, các ký hiệu toán học minh họa cho cấu trúc toán học, giúp cho việc thao tác toán học một cách thuận lợi, thường xuyên và phát triển TD lôgic, chính xác, chặt chẽ.
Bên cạnh ký hiệu toán học thì từ, cụm từ là một phần không thể thiếu trong từ vựng toán học và được dùng để biểu diễn nội dung toán học cụ thể. Các từ và cụm từ xuất hiện trong toán học có thể được chia thành ba loại sau:
Loại 1. Từ, cụm từ có ý nghĩa trong NNTN được sử dụng để thiết lập các bối cảnh trong toán học hoặc đóng vai trò là lời dẫn trong bài toán, trong một nội dung toán học cụ thể. Chẳng hạn như các từ, cụm từ sau: cho, bao nhiêu, mấy, thông báo, kết quả, bảng, viết, tìm, xác định, có thể, biết, nhiều hơn, ít hơn, …
Loại 2. Những từ, cụm từ chỉ xuất hiện trong NNTH và có một nghĩa duy nhất. Chẳng hạn, cạnh huyền, đồ thị, tam giác cân, hình bình hành, phương sai, độ lệch chuẩn, bản số, hàm số, ánh xạ, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, …
Ví dụ 1.13. Nghĩa của từ phương sai, cạnh huyền, đồ thị, bài giải, đáp số.
Phương sai: Số đặc trưng sự phân tán của một đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó.
Đồ thị: hình vẽ biểu diễn sự biến thiên của một hàm số.
Loại 3. Những từ có ý nghĩa khác với ý nghĩa sử dụng trong NNTN. Chẳng hạn các từ: thương, chia, nhân, cộng, ba, chín, hai, năm, cạnh, góc, …
1.2.4.2. Cú pháp
Cú pháp trong NNTH có thể hiểu là các quy tắc kết hợp ký hiệu, từ, cụm từ thành câu để truyền tải nội dung toán học với độ chính xác cao. Khi đó câu trong toán học có thể là câu theo nghĩa trong NN nhưng cũng có thể là các biểu thức, công thức toán học.
Câu trong NNTH phải đảm bảo độ chính xác, rõ ràng và đơn giản. Chẳng hạn xem xét câu “ba cộng năm bằng tám” trên phương diện NN Việt thì thấy xuất hiện danh từ (ba, năm, tám), động từ (cộng), tính từ (bằng). Tuy nhiên nếu xem xét từ góc độ toán học thì đây là một mệnh đề đúng và được chuyển thể sang các ký hiệu toán học theo đúng cú pháp là “3 + 5 = 8”. Các cách viết khác đều là sai cú pháp: “3 = + 5 8”, “= + 358”, “8 = + 35”, ….
Một điều lưu ý là cách viết trong NNTH thì đôi khi các ký hiệu có thể bị ẩn đi trong các biểu thức.
Ví dụ 1.14. Thay cho việc viết 9 × y, 9.y, 9 y thì có thể viết là 9y mà người đọc vẫn hiểu đúng. Tương tự như vậy với các biểu thức: x = 1x; x = x + 0; x = x1. Trong số học, các số nguyên có thể coi là các số thập phân viết ẩn đi phần thập phân: 5 = 5,0 = 5, 00; hoặc các hỗn số như 31
2 = 3 + 1
2.
1.2.4.3. Ngữ nghĩa
Ngữ nghĩa trong NNTH có thể hiểu là nghĩa của biểu tượng, ký hiệu, thuật ngữ, khái niệm, tiên đề, định lí, … trong toán học. Do tính đơn trị nên trong NNTH các từ luôn xác định về nghĩa, vì thế trong NNTH không có hiện tượng đa nghĩa.
Để hiểu được các ký hiệu toán học thực tế là phải hiểu được nghĩa, vai trò của các ký hiệu đó trong từng ngữ cảnh khác nhau. Cụ thể:
ngữ cảnh. Chẳng hạn, ký hiệu “” có thể mang nghĩa là trừ trong biểu thức 15 3 nhưng cũng có thể mang nghĩa là “âm” khi biểu thị các số nhỏ hơn không; Ký hiệu “ 1” ở trên số mũ trong lí thuyết ánh xạ có nghĩa là ánh xạ ngược với ánh xạ đã cho còn trong Đại số đại cương có nghĩa là phần tử nghịch đảo.
- Vị trí của các ký hiệu cũng ảnh hưởng đến ngữ nghĩa của chúng. Chẳng hạn 34 và (3)4 có nghĩa khác nhau; các biểu thức tn = 2n, tn = 2n, tn = n2 có nghĩa khác nhau do sự khác nhau ở vị trí của các ký hiệu.
- Các công thức tương tự nhau với các chữ cái khác nhau có nghĩa khác nhau phụ thuộc vào ngữ cảnh.
Chẳng hạn các biểu thức a2 + b2 = c2, x2 + y2 = r2, x2 + y2 = z2 là tương tự nhau nhưng lại có nghĩa khác nhau.