giải bài tập toán của học sinh
2.2.5.1. Mục đích và ý nghĩa của biện pháp
Khi dạy trên lớp cũng như hướng dẫn học sinh tự học ở nhà, hệ thống bài tập phân bậc sẽ giúp giáo viên có tư liệu phong phú, phù hợp với nhu cầu điều kiện và phương pháp tự học toán để dạy giải bài tập theo hướng tăng cường hoạt động tự học của học sinh. Từ đó, giáo viên sẽ có những gợi ý hướng dẫn yêu cầu và tổ chức cho học sinh thực hiện những hoạt động tham gia vào quá trình giải bài tập trên lớp, giúp cho việc tự học dễ dàng hơn. Nếu không có hệ thống bài tập phân bậc thì học sinh có thể gặp khó khăn vì những hạn chế về kiến thức so với trình độ của các em, sẽ dễ dẫn đến nản lòng và chờ đợi sự giảng giải của giáo viên một cách thụ động. Biện pháp này có tác động đến sự phát triển đồng bộ tất cả các thành tố của năng lực tự học.
Đối với hoạt động tự học ở nhà, giáo viên chọn lọc những câu hỏi bài tập phù hợp để giao nhiệm vụ cho từng học sinh. Có thể phân ra 3 mức độ yêu cầu cả về số lượng và độ khó, có kèm theo với những hướng dẫn gợi ý cách tự học để giải được
bài tập. Điều này có tác động đến phát triển năng lực đọc hiểu kiến thức Hình học 10 trong sách giáo khoa, sách bài tập, tài liệu tham khảo; năng lực xây dựng kế hoạch tự học, sử dụng hợp lý thời gian cho tự học; kết hợp giữa tự học với các hoạt động học tập có hướng dẫn của giáo viên và năng lực tự kiểm tra, đánh giá kết quả quá trình tự học toán; phát hiện và sửa chữa sai sót khi học Hình học 10.
2.2.5.2. Tổ chức thực hiện biện pháp
Để chọn lọc xây dựng và phân loại hệ thống bài tập Hình học 10 dành cho học sinh tự học giáo viên cần thực hiện như sau:
- Hệ thống bài tập được chọn ra từ sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo thuộc nội dung quy định ở chương trình Toán 10 để đảm bảo vừa sức phù hợp với từng loại đối tượng, cho học sinh thấy cần và có khả năng giải được bài tập đó.
- Đảm bảo có tính phân bậc: để học sinh tự học và giải được thì các bài tập cần được sắp xếp và sử dụng theo những mức độ khác nhau cả về số lượng và độ khó. Giáo viên dựa trên một số căn cứ sau để xây dựng và phân loại hệ thống bài tập:
+ Căn cứ vào sự phức tạp của hoạt động giải toán.
+ Căn cứ vào bình diện nhận thức (tăng dần về mức độ khái quát).
+ Căn cứ vào nội dung của hoạt động giải toán (từ vận dụng trực tiếp đến vận dụng sáng tạo).
+ Căn cứ vào sự phức hợp và chất lượng của hoạt động giải toán.
+ Phối hợp nhiều phương diện của hoạt động giải toán làm căn cứ để phân bậc. Ở nội dung này, giáo viên có thể xây dựng các hệ thống bài tập trên 3 mức độ như sau:
+ Bài tập dễ: Lựa chọn những bài tập chỉ cần trực tiếp vận dụng lý thuyết như như loại bài tập này ít bước giải, không đòi hỏi suy luận phức tạp, chủ yếu để củng cố lý thuyết và kiểm tra kỹ năng cơ bản như: nhận diện, thể hiện khái niệm, định lý, quy tắc phương pháp có sẵn đối với một dạng bài tập đơn giản quen thuộc. Mức độ này phù hợp với học sinh trung bình và yếu.
+ Bài tập trung bình: Lựa chọn những bài tập đòi hỏi có thêm một vài bước vận dụng trung gian, cần đến một vài thao tác tư duy lôgic và những kiến thức Toán học khác. Loại bài tập này phù hợp với những học sinh trung bình và khá.
+ Bài tập khó: Lựa chọn những bài tập có tính chất phức tạp, yêu cầu các kết quả khái quát hơn, đòi hỏi phải áp dụng lý thuyết một cách tổng hợp và sáng tạo, cần đến những thao tác tư duy bậc cao và thường phải dùng đến nhiều kiến thức, áp dụng kỹ thuật biến đổi nhất định để chuyển đổi đưa về các dạng bài tập đã biết (quy lại về quen). Các bài tập ở mức độ này phù hợp với học sinh khá giỏi.
- Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính cân đối cả về số lượng kiến thức và thời gian sử dụng theo quy định của chương trình và tạo cơ hội rèn luyện kỹ năng tự học. Tuy nhiên, mỗi đối tượng học sinh cũng cần phải có những nỗ lực nhất định thì mới giải được các bài tập cả về số lượng và mức độ hoàn thiện. Đồng thời có thể giao cho học sinh một số bài tập gắn liền với thực tiễn góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn được phân bậc phù hợp với các đối tượng học sinh:
+ Đối với học sinh yếu thường chỉ là những bài tập ngắn, có “vỏ” ngôn ngữ thực tế nhưng bản chất hoàn toàn tương tự với ví dụ bài tập đã học, thậm chí được gợi ý rõ về định hướng sử dụng lý thuyết hoặc câu hỏi mở, chỉ cần quan sát thực tế xung quanh để trả lời mà không cần yêu cầu định lượng chính xác và chi tiết không đòi hỏi lập luận phức tạp.
+ Đối với học sinh trung bình thì bài tập gắn với nội dung thực tế không quá phức tạp có thể mô hình hóa chuyển về bài toán áp dụng được kiến thức để giải.
+ Đối với học sinh khá giỏi, mức độ phức tạp cao hơn cả về hình thức biểu đạt ở dạng thực tiễn cũng như yêu cầu tư duy lập luận để chuyển được về dạng bài tập toán học thuần túy, có thể nâng cao hơn bằng cách cần phải giải các dạng toán trung bình trước khi áp dụng.
2.2.5.3. Ví dụ
Ví dụ 2.10. Khi dạy học nội dung Vectơ, giáo viên có thể xây dựng hệ thống bài tập phân bậc như sau:
Dạng 1. Một số khái niệm vectơ
Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Chỉ ra các vectơ bằng nhau (khác 0 ) mà có điểm đầu và điểm cuối trong các điểm A, B, C, D, O.
Bài 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. uur a) Chỉ ra các vectơ (khác 0 ) và cùng phương với OA .
uur b) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ AB .
uur c) Vẽ các vectơ bằng vectơ
AB và có điểm đầu là O, C, D.
d) Chỉ ra các vectơ bằng nhau (khác 0 ) mà có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác.
Ở dạng bài tập 1, hoạt động chủ yếu của học sinh là nhận dạng và thể hiện khái niệm (NLTP 3).
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: Sử dụng khái niệm vectơ đối, vectơ bằng nhau; quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành; tính chất cộng (trừ) vectơ, nhân vectơ với một số; hệ thức trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để chứng minh theo một trong các cách sau:
Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại. Chú ý: Thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.
Cách 2: Biến đổi cả hai vế thành cùng một biểu thức.
Cách 3: Biến đổi tương đương điều phải chứng minh được kết quả là một khẳng định luôn đúng.
Cách 4: Xét hiệu vế trái và vế phải, sau đó tính toán, biến đổi để được kết quả bằng 0 .
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:
uur uuur uuur uuur r 1) AB CD BC DA 0
uur uuur uuur uur 2) AB CD AD CB
uuur uuur uuur uuur uuur 3) AC BD AD BC 2MN
uur uur uur uur r 4) IA IB IC ID 0
uuur uur uur 1) CO OB BA
uuur uuur uuur 2) DA DC DB
uuur uuur uuur uuur 3) DA DB OD OC
uuur uuur uuur uuur 4) MA MC MB MD
uuur uuur uuur uuur uuur 5) MA MB MC MD 4MO
Bài 3. Cho ABC có ba đường trung tuyến lần lượt là AM , BN, CP . D là
trung điểm của AM. Chứng minh: uuur uuur uur
r
1) AM BN CP 0 uuur uur
uuur
2) AC 2AP 2BM
uuur uuur uuur r 3) 2DA DB DC 0
uur uur uuur uuur
4) 2OA OB OC 4OD , với O là điểm tùy ý.
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: uur uuur uuur
uur
1) AB CD AD CB
uur uuur uuur uuur 2) AB CD AC BD
uuur uuur uuur uuur uur uur 3) AC DE CD EC CB AB
uur uuur uur uuur uuur uur 4) BA DC FE FC DA BE
uuur uur uuur uuur uuur 5) ED BE CF BF CD
uuur uur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uur 6) AD BE CF AE BF CD AF BD CE
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh: uur uur uuur uuur r
1) OA OB OC OD 0 uuur uuur uuur r 2) DA DB DC 0
uur uuur uuur uuur 3) AB AC AD 2AC
4) MA MC MB MD
Bài 3. Cho G và G’ lần lượt là trọng tâm của uuur uuur uuur uuur
AA' BB ' CC ' 3GG ' .
Dạng bài tập 2, học sinh cần nghiên cứu đề bài, nhận diện và nhớ lại, tóm tắt những kiến thức cần thiết (NLTP 1, 2, 3) và khai thác các khái niệm về vectơ, quy tắc đã học để giải toán (NLTP 3, 4). Ngoài ra, các em cần phải kiểm tra lại tính chính xác, lập luận của lời giải (NLTP 6).
Dạng 3. Tính độ dài của vectơ tổng (hiệu)
Phương pháp: Biến đổi hoặc dựng vectơ tổng (hiệu) cần tính độ dài thành một
r
vectơ u duy nhất. Sau đó, sử dụng các tính chất trong tam giác, tứ giác đặc biệt để r
tính độ dài u .
Bài tập vận dụng:
uur uuur uur uuur
Bài 1. Cho ABC đều cạnh a. Tính: AB AC
,
AB AC .
uuur uuur uur uuur
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính: uur uuur uuur uuur uuur
AC AD , AB AD , AB AC AD , AC AD . Bài tập tự luyện: Bài 1. Cho uur uuur uur uuur
ABC vuông tại A có AB a, AC 2a . Tính:
AB AC , AB AC
. uuur uuur uur
uuur
Bài 2. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính: uur uur uur uuur uur uuur uuur uur uuur BC BD , BA BD , OA OB , OA BD , BA OD BC , 3OA 2OD .
Dạng bài tập 3, ngoài việc nhận dạng và thể hiện các khái niệm, quy tắc học sinh cần xem lại và nhớ lại những kiến thức ở lớp dưới, cụ thể là tính độ dài các đường đặc biệt trong tam giác, hình vuông,… để giải bài tập (NLTP 1, 3).
Dạng 4. Xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
Phương pháp: Để xác định điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước, ta làm như sau:
- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng AM
biết, v là vectơ đã xác định.
r r - Dựng hình: Lấy điểm A làm gốc, dựng vectơ v . Khi đó, M là điểm đầu của v .
Bài tập vận dụng: Cho ABC . Xác định điểm: uuur uuur uur
a) M thỏa mãn: MA MB AB . uur uuur uuur uur b) N thỏa mãn: NA NB NC BA.
uur uur uuur c) P thỏa mãn: PA 2PB BC
. uur uur
r
d) Q thỏa mãn: 3QA 2QB 0 .
Bài tập tự luyện: Cho ABC . Xác định điểm: uuur uuur uur
a) D thỏa mãn: DA DB BA . uur uur uuur r b) F thỏa mãn: FA FB FC 0 .
uuur uuur uur uur c) E thỏa mãn: 2AE EC EB CA .
uuur uuur uuur d) H thỏa mãn: 2HA 2HB 3BC .
Dạng 5. Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo các vectơ cho trước
r r
Phương pháp: Phân tích (biểu diễn) một vectơ x theo hai vectơ u , v không cùng phương cho trước tức là xác định các số thực k1, k2 sao cho x k1u k2 v
( k1, k2 là duy nhất). Bài tập vận dụng: Bài 1. Cho MB 3MC
ABC có trọng tâm G. Lấy M thuộc cạnh BC sao cho
a) Phân tích vectơ AG theo hai vectơ b) Phân tích vectơ MA theo hai vectơ
AB, AC .
AB, AC .
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Biểu diễn AM theo hai vectơ b) Biểu diễn OD theo hai vectơ
Bài tập tự luyện:
AB, AC .
AD, MD .
a) Phân tích vectơ AM theo hai vectơ b) Phân tích vectơ AG theo hai vectơ
AB, AD .
AB, AD với G là trọng tâm CDM .
Bài 2. Cho ABC . Gọi H, K lần lượt thuộc hai cạnh AB, AC sao cho 3AH 2AB, 3AK AC . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 4BM 3MC . Phân
tích BM theo hai vectơ AH , AK .
Dạng bài tập 4 và 5, không chỉ là ghi nhớ, nhận dạng và thể hiện ở mức độ thấp, mà học sinh phải biết cách biến đổi, vận dụng các quy tắc, tính chất đã học một cách có hệ thống, logic để đi đến mục đích cuối cùng (NLTP 3, 4). Hai dạng bài tập này có mối liên hệ mật thiết với nhau, đều cần học sinh có kỹ năng dựng hình (NLTP 2), để giải dạng 4 học sinh cần biết phân tích vectơ còn với dạng 5 đòi hỏi học sinh phải xác định được các điểm thỏa mãn giả thiết cho trước.
Dạng 6. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đi qua một điểm Phương pháp:
- Để chứng minh ba điểm A, M, N phân biệt thẳng hàng ta chứng minh
AM , AN cùng phương, tức là AM k AN k 0. Cụ thể:
+ Trường hợp 1. Chứng minh A, M, N thẳng hàng (với A là một đỉnh của đa giác): Phân tích: AM x1 AB y1 AC, AM x2 AB y2 AC . AM k AN với k x1 x2 y1 . y2 + Trường hợp 2. Chứng minh I, M, N thẳng hàng: Phân tích: AM x1 AB y1 AC, AM x2 AB y2 AC, AI x3 AB y3 AC . IM AM AI x1 x3 AB y1 y3 AC IN AN AI x2 x3 AB y2 y3 AC IM k IN với k x 2 x 3 y 2 y 3 . x1 x3 y1 y3
và chứng minh ba điểm A, B, I thẳng hàng.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Trên đoạn MI lấy điểm M sao cho BM 2MI . Chứng minh ba điểm A, M, C thẳng hàng.
Bài 2. Cho ABC . Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi
JA JC 0, IB 2AI , BK 2BC . a) Chứng minh: I, J, K thẳng hàng.
b) Cho H là điểm thay đổi, L là điểm xác định bởi
HL luôn đi qua một điểm cố định. Bài tập tự luyện:
HL 3HC 4HB . Chứng minh:
Bài 1. Cho ABC có I là điểm đối xứng B qua C. Gọi J là trung điểm AC và
K là điểm trên cạnh AB sao cho AB 3AK . Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 2. Cho ABC . Gọi M là một điểm di động, N là điểm thỏa mãn
MN MA 3MB 2MC . Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định.