Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ
2.2. Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB
2.2.2. Phân tích chi tiết nhóm T’
a) Kiểu nhiệm vụ T’1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Bảng 2.3. Kỹ thuật – công nghệ (thứ nhất) của KNV T’1
Kỹ thuật Công nghệ
𝝉′𝟏.𝟏:
- Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng.
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng
- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
- Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt phẳng: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó
Ví dụ 1/SGK/ trang 49
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho 𝐴𝑀
𝐵𝑀= 1 và 𝐴𝑁
𝑁𝐶 = 2. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với (BCD) (h.2.20).
Lời giải trong SGK:
Trong mặt phẳng (ABC), vì 𝐴𝑀
𝑀𝐵 ≠𝐴𝑁
𝑁𝐶 nên đường thẳng MN và BC cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là E. Vì D, E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (𝐷𝑀𝑁) ∩ (𝐵𝐶𝐷) = 𝐷𝐸.
Nhận xét: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng, ngoài điểm chung có sẵn do điểm cùng thuộc hai mặt phẳng, ta thường tìm hai đường thẳng cắt nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng. Kỹ thuật giải quyết làm xuất hiện KNV mới T’’1:Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.
Kỹ thuật để giải quyết KNV này không được SGK hay SGV đề cập đến mà hai đường thẳng cần tìm thường xuất hiện “đột ngột” trong lời giải của sách.
Bảng 2.4. Các bài tập của T’1 - 𝝉′𝟏.𝟏 trong SGK
Bài tập điểm chung đã có sẵn
6a/ trang 54 7a/trang 54 8a/trang 54 10d/trang 54
Bài tập điểm chung có được nhờ thực hiện KNV T’’1 7b/trang 54 10b/trang 54 2c/trang 71 1a/trang 77 3a/trang 77
Trong bảng 2.4, KNV T’’1 tuy không xuất hiện tường minh nhưng số lượng bài tập cần dùng đến nó tương đối nhiều. Tuy nhiên, khi phân tích các bài tập trong SGK, chúng tôi nhận thấy các đường thẳng cần tìm đều có sẵn ngay trong tên mặt phẳng. Chẳng hạn:
Bài tập 3a/ trang 77: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Lời giải trong SGV:
Ngoài điểm chung S có sẵn, để tìm điểm chung thứ hai thì hai đường thẳng cắt nhau cần tìm là AD và BC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng.
Trong trường hợp tên mặt phẳng chưa có ngay đường thẳng cần tìm (bài 10b/trang 77) thì SGK đã chuẩn bị câu a để học sinh dễ dàng tìm ra hai đường thẳng:
Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Lời giải trong SGV:
Nhờ câu a) mặt phẳng (SBM) trùng với (SBN) và hai đường thẳng cần tìm ở câu b) là BN và AC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng.
Từ đó, chúng tôi dự đoán đối với học sinh mặt phẳng là các tam giác có các đỉnh trong tên mặt phẳng và để tìm điểm chung của hai mặt phẳng học sinh sẽ kéo dài cho các cạnh của tam giác cắt nhau.
Bảng 2.5. Kỹ thuật – công nghệ (thứ hai) của KNV T’1
Kỹ thuật Công nghệ
𝝉′𝟏.𝟐:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng - Tìm phương của giao tuyến (tức là tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng)
- Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng
- Hệ quả: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó”
Ví dụ 1/SGK/trang 58
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Lời giải trong SGK:
Các mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và
lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AD, BC
nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC (h.2.35).
Nhận xét: Để tìm phương của giao tuyến dẫn đến KNV mới T’’2: Tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.
KNV T’’2 được chúng tôi thêm vào loại L1 của nhóm T. Cũng giống như KNV T’’1, kỹ thuật giải quyết cũng không được nêu tường minh, hai đường thẳng đó thường được chỉ rõ trong lời giải và chỉ cần chứng minh chúng song song. Tuy nhiên, SGK không chú trọng kỹ thuật này để giải quyết của KNV T’1. SGK chỉ có một bài tập của KNV T’1 - 𝝉′𝟏.𝟐(bài 2a/trang 63)
b) Kiểu nhiệm vụ T’2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Bảng 2.6. Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’2
Kỹ thuật Công nghệ
𝝉′𝟐: Tìm đường thẳng b chứa trong (P) sao cho d cắt b tại A. Suy ra A d P
Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt phẳng
Ví dụ 4/SGK/trang 51
Cho BCD và điểm A không thuộc (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).
Lời giải trong SGK:
Nhận xét: Phương pháp được trình bày rõ trong SGK: “Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.” (trang 51) tức là nảy sinh KNV mới T’’3: Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn. KNV này được bổ sung vào L1 của nhóm T.
Bảng 2.7. Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’’3
Kỹ thuật Công nghệ
- Nếu đường thẳng cần tìm có sẵn trong mặt phẳng trên hình biểu diễn thì ta cho đường thẳng này cắt với đường thẳng đề bài cho. (𝝉′′𝟑.𝟏)
Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt phẳng
- Nếu đường thẳng cần tìm không có sẵn trong mặt phẳng thì dùng kỹ thuật
𝝉′′𝟑.𝟐
𝝉′′𝟑.𝟐: Chọn mp chứa d và cắt P theo giao tuyến d’
- Gọi I d ' d. Khi đó I d P
- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng
- Điều kiện xác định đường thẳng chứa trong mặt phẳng
Bảng 2.8. Các bài tập của KNV T’’3 trong SGK Kỹ thuật 𝝉′′𝟑.𝟏 𝝉′′𝟑.𝟐 Bài tập 6a/trang 54 9a/trang 54 10a/trang 54 3a/trang 60 2b/trang 71 2d/trang 71 1b/trang 77 5a/trang 53 8b/trang 54 10c/trang 54 10d/trang 54 1a/trang 71 2b/ trang 77 3b/trang 78
Ví dụ bài tập 5a/SGK/ trang 53
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (𝛼) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (𝛼) và M là trung điểm đoạn SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
Lời giải trong SGV:
Nhận xét: Ngoại trừ trường hợp đường thẳng cần tìm có sẵn ngay trong mặt phẳng, thông thường, kỹ thuật giải bài toán đưa về KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, trong đó mặt phẳng phụ chứa đường thẳng của đề bài. Tuy nhiên, việc lựa chọn mặt phẳng phụ sao cho dễ tìm giao tuyến lại phụ thuộc vào kinh nghiệm của người giải. Chẳng hạn, như bài tập 5a trên nếu ta chọn mặt phẳng phụ là (SAD) thì việc giao tuyến của (SAD) và (MAB) không phải đơn giản với học sinh vì theo như phân tích ở kiểu nhiệm vụ T’1, học sinh thường kéo dài các cạnh của tam giác trong hai mặt phẳng cắt nhau để tìm điểm chung nhưng hai cạnh SD và MB lại không đồng phẳng.
c) Kiểu nhiệm vụ T’3: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Bảng 2.9. Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’3
Kỹ thuật Công nghệ
𝝉′𝟑:Chứng minh a song song với một đường thẳng b nằm trong
Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm trên và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên )
thì a song song với
Hoạt động 2/SGK 61
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không?
Nhận xét: SGV đưa vào hoạt động 2 với mục đích củng cố cho định lý 1. Kỹ thuật giải quyết KNV này là trước khi đưa về KNV T5: Chứng minh hai đường thẳng song song phải thực hiện của KNV T’’4: Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn. Cũng giống như các KNV T2, T’’1, T’’2, T’’3; KNV T’’4 được xếp vào loại L1 của nhóm T, kỹ thuật của T’’4 không được SGK, SGV nêu rõ, đường thẳng cần tìm được chỉ thẳng trong lời giải của sách.
SGK có hai bài tập cho KNV T’3 (bài 1a, 1b/SGK 63)
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).
Lời giải trong SGV:
Trên hình biểu diễn, đường thẳng cần tìm đã có sẵn và học sinh chỉ cần chứng minh nó song song với đường thẳng đề bài cho.